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Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-1

Cours de Géodésie

Chapitre 1

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE

DIFFÉRENTIELLE

Version 2.0 01/03/2003

Didier BOUTELOUP

Cellule pédagogique et de recherche en astro-géodésie

Didier.bouteloup@ensg.ign.fr

(33) 01 64 15 31 37 -5. 10 6 0 5. 10 6 -5. 10 6 0 5. 10 6 -5. 10 6 0

5. 10 6-5. 10 6

0 5. 10 6 -5. 10 6 0 5. 10 6

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-2

CHAPITRE I

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

1 Introduction __________________________________________________________ 4

1.1 Mathématique_____________________________________________________________ 4

1.2 Géodésique _______________________________________________________________ 4

2 Courbe gauche, Arc paramétré ___________________________________________ 5

2.1 Définitions________________________________________________________________ 5

2.2 Abscisse curviligne_________________________________________________________ 5

2.3 Trièdre de Frenet__________________________________________________________ 7

2.3.a Vecteur tangent ________________________________________________________________7

2.3.b Vecteur unitaire de normale principale, courbure ______________________________________7

2.3.c Vecteur binormal, torsion ________________________________________________________9

2.4 Cinématique d'un point____________________________________________________ 11

3 Nappe paramétrée_____________________________________________________ 12

3.1 Définitions_______________________________________________________________ 12

3.1.a Surface et nappe paramétrée _____________________________________________________12

3.1.b Courbe tracée sur une surface, courbe-coordonnée ____________________________________12

3.2 Éléments différentiels de 1er ordre __________________________________________ 14

3.2.a Métrique d'une surface__________________________________________________________14

3.2.b Surface régulière ______________________________________________________________15

3.2.c Plan tangent, vecteur normal unitaire_______________________________________________16

3.2.d Coordonnées orthogonales, coordonnées symétriques__________________________________16

3.3 Éléments différentiels de 2ème ordre_________________________________________ 18

3.3.a Trièdre de Darboux-Ribaucour ___________________________________________________18

3.3.b Deuxième forme quadratique fondamentale _________________________________________19

3.3.c Courbure normale _____________________________________________________________20

3.3.d Théorèmes de Meusnier_________________________________________________________20

3.3.e Indicatrice de Dupin ___________________________________________________________23

3.3.f Directions principales; rayons de courbure principale__________________________________25

4 Ligne géodésique _____________________________________________________ 26

4.1 Définition________________________________________________________________ 26

4.2 Donnée d'une courbe sur une surface ________________________________________ 27

4.3 Propriété géométrique fondamentale des lignes géodésiques _____________________ 28

5 Application aux surfaces de révolution____________________________________ 28

5.1 Définitions_______________________________________________________________ 28

5.1.a Longitude et latitude; parallèle et méridien __________________________________________29

5.1.b Azimut______________________________________________________________________30

5.2 Formes quadratiques fondamentales, directions principales _____________________ 30

5.3 Lignes géodésiques________________________________________________________ 32

5.3.a Équations différentielles caractéristiques____________________________________________32

5.3.b Relation de Laplace____________________________________________________________33

5.3.c Relation de Clairaut____________________________________________________________34

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-3

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-4

CHAPITRE I

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

1 Introduction

1.1 Mathématique

La géométrie est la branche des mathématiques qui étudie les formes et les figures dans l'espace, leurs relations entre elles et leurs propriétés. On distingue entre autre : Partie de la géométrie ayant recours au calcul algébrique et analytique .Elle facilite l'étude des propriétés géométriques des courbes et des surfaces et de leurs représentation graphique ou la recherche de " lieux géométriques ». Branche de la géométrie visant à étudier les propriétés locales (au voisinage d'un point) et intrinsèques des courbes et des surfaces. La géométrie différentielle est née de la possibilité d'un interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude des courbes

1.2 Géodésique

La géodésie étudie la forme de la terre et dans ce but elle substitue à sa surface topographique des surfaces plus ou moins régulières servant de support :

Surface de référence (ellipsoïde)

Surface de niveau (géoïde)

Ce sont des surfaces à courbure lentement variable et très peu différentes de la

sphère. L'étude des propriétés élémentaires des courbes et des surfaces de révolution

constitue un préambule à l'étude de la géométrie de l'ellipsoïde et des représentations

planes. Dans ce chapitre et dans la suite de ce cours, nous assimilerons l'espace physique à 3 R.

On le suppose muni d'un repère

(O;i, j,k)R. Nous appellerons la base (i,j,k).

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-5

2 Courbe gauche, Arc paramétré

2.1 Définitions

Soient ,IR

3 R avec ( , , )()IfMxyztftM!" #$%&R

Appelons

()fI. Si f est continue, alors est une courbe de l'espace d'un seul tenant

Définition :

Choisissons

000 et posons ( )tI M ft. Par abus de langage, on note aussi 0 ()Mt.

Par définition, le couple (

f,I) où f est une fonction continue est appelé un arc paramétré. est appelée le support de ( f,I) et 0 t est une origine de (f,I). Fig. 1 Représentation schématique d'un arc paramétré et de son support Abusivement, on dit que ,fI est un paramétrage de . Remarquons qu'il est facile de définir d'autres arcs paramétrés admettant comme support. Pour ce faire, il suffit de se donner une fonction bijective de I vers JR.

Si on note

3 1 (())Jgxfx %&R , alors (g,J) est un autre arc paramétré de support

Inversement, soit (

f,I) et (g,J) deux arcs paramétrés de même support, alors il existe IJ ttt telle que 1 '()tgft

2.2 Abscisse curviligne

Soient ,IR

3 R avec ( , , )()IfMxyztftM %&R

M=f(t)

i j k M o =f(t 0

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-6

le nombre st défini par 0 t t stfudu est appelé abscisse curviligne de

Mft, comptée à partir de

00

Mft, pris pour origine et représente la

longueur de l'arc orienté 0 MM. la longueur l de la courbe entre 0

M et M est définie par :

01 12 n lMMMMMM et le passage à la forme intégrale 000

1/2222

OM d OM dOM d ( ) d ( ) d ( )

t t MM MM tt t xt yt ztl or 0 0 d s s sssl d'où 2222
ddddsxyz qui peut aussi s'écrire 2222
dddd ddddsxyz tttt!"!"!"!" Cette formule est une propriété caractéristique de l'abscisse curviligne.  Application: une hélice

Soient

3 ,,arhR, 0a, 0r et 0h, 3 cos0, avec ( , , ) et sin ()xrta fMxyz y r ttftMzht )!"*+#$ %&*,R ,

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-7

f,[0,a]) est un arc paramétré dont le support est appelé une hélice , r en est le rayon et h le pas.

Prenons

0

0t comme origine. Cherchons l'abscisse

curviligne de cet arc: 2222
dddd ddddsxyz tttt!"!"!"!"

22 22 222

sin cosrtrthrh donc 22 22
d et dsrh s rhtt

Fig. 2 : Hélice de rayon 1 et de

pas 0,25

2.3 Trièdre de Frenet

2.3.a Vecteur tangent

Soient

une courbe, st son abscisse curviligne et 00

Mst son origine. Appelons

ddOMTddft ss!!!!"!" . Par définition de la différentielle, T "tangente" au voisinage de M. De plus, par définition de l'abscisse curviligne, dOMT1ds , et T est unitaire.

Définition :

dOMTd s est appelé vecteur unitaire tangent de en 0 M.

2.3.b Vecteur unitaire de normale principale, courbure

Intéressons nous à

dT d s : M=f(t) i j k M o =f(t 0 TN M 0

Fig. 3 : Trièdre de Frenet

-1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.51 0 2 4 6 8 -1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8

Didier BOUTELOUP / ENSG / 2003 I-8

dT d s est orthogonal à Tquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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