[PDF] REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS





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Equation dune droite

4- Dans un repère orthonormal les droites D et D' d'équations respectives y = ax+b et y = a'x+b' sont perpendiculaires si et seulement si le produit de 



Détermination de léquation cartésienne dune droite passant par le

et perpendiculaire à la droite d. ü Exercice 1. On considère le point A : H2 -3L et la droite d ª x + 3 y ã 1. Recherchons une équation cartésienne de la 



Premi`ere S-méthode Table des mati`eres 1 Déterminer si deux

vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires. Table des mati`eres 4.2 Exemple : perpendiculaire `a une droite définie par une équation .



Dr:! = -3x+3 Dz:! =2x -l Do:y=2y 2

perpendiculaire à la droite D d' équation 5x r y -2 = 0 . Pour chacun des cas suivants que dire des droites D et D' d'équations respectives ? a. D 



1ère A - SERIE 35 – Les droites Equation dune droite droites

Equation d'une droite droites parallèles



Equations de droites

Si la droite n'est pas verticale on sait que son équation est de la Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs.



VECTEURS ET DROITES

ne sont pas colinéaires. II. Equations de droite. 1) Vecteur directeur d'une droite. Définition : D 



Soit d est la droite déquation : 3 . 1) Trouver un vecteur normal à d

2) Trouver une équation de la droite ? passant par ( ). A 1;2 et perpendiculaire à d. Exercice 2 : Dans chacun des cas suivants dites si les droites.



Chapitre 4 - Équations cartésiennes de plans et de droites

(b) Montrer que les droites (RG) et (SG) sont perpendiculaires. 2. On désigne par I le milieu de [TP] et par J le milieu de [V R]. (a) Calculer 



REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^. 2.



[PDF] Les droites Equation dune droite droites parallèles perpendiculaires

Droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs pentes sont inverses et opposées l'une de l'autre



[PDF] PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES - maths et tiques

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles c) Propriété 3 Si deux droites sont parallèles toute 



[PDF] DROITES DU PLAN - maths et tiques

Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite 1 Vecteur directeur https://www maths-et-tiques fr/telech/Algo_EqDroite pdf



[PDF] équation dune droite - AlloSchool

Connaître et déterminer l'équation réduite d'une droite ? Connaître le cas de parallélisme de deux droites en utilisant ses coefficients directeur



[PDF] vecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires

Rappels : Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0(a b et c réels avec (a;b) = (0; 0) ) et le vecteur ?? u (?b;a) est 



[PDF] ÉQUATIONS DE DROITES 1 Activités - Perpendiculaires

Équations de droites Seconde ÉQUATIONS DE DROITES 1 Activités ACTIVITÉ 1 Le plan est muni d'un repère (O;ij) orthogonal



[PDF] Équations cartésiennes de plans et de droites - Perpendiculaires

Théorème 4 1 Le plan est muni d'un repère (O;? k) • Tout plan P de l'espace admet une équation de la forme ax +by +cz = d avec (a; b ; c) = (0; 0; 0)



[PDF] 6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires en O



[PDF] Détermination de léquation cartésienne dune droite passant par le

Détermination de l'équation cartésienne d'une droite passant par le point A et perpendiculaire à la droite d ü Exercice 1 On considère le point A : H2 -3L 



Fiche explicative de la leçon : Équations de droites parallèles et

Dans cette fiche explicative nous allons apprendre comment écrire l'équation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre droite

:
1

REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗

On a :

∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .

Démonstration :

∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel que

Exemple :

La droite passant par le point

1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite

Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo

Soit les points

2 3 -1 et 1 -3 2

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère

2

Correction

- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repère

Donc -1+3=0 soit =

Et donc :

=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0

Le point a donc pour coordonnées Q

5 3 1 0 R.

Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan

Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,

Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.

Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points

tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o

- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-

- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).

On note E l'ensemble des points

vérifiant l'équation +++=0

Alors le point Q

0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.

Soit un vecteur ⃗

. Pour tout point , on a : .⃗=V+

W+

-0 -0

E est donc l'ensemble des points

tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.

Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗

1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le

point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1

Correction

Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal

à un vecteur normal de l'autre.

4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Vidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.

Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.

Correction

Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est

orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0

Les vecteurs ⃗ et ′

sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.

Partie 3 : Applications

Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.

Soit

1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.

Correction

a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.

On a :

-2 0 3

Comme :

.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas

parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5

Le point

, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+3

2-+3-2=0

On a donc : 2

1-2

-2+3 -3+3 -2=0

5-11=0 soit =

D'où :

=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU

Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().

Correction

On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().

On a :

-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-

Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du

système paramétrique de ().

On a ainsi :

1-2

2

2-

et donc

1-2

2-1

2-+2

1-2

2-1

4-

Or,

et sont othogonaux, donc : =0

1-2

-2

2-1

×2+

4-

-1 =0 -2+4+4-2-4+=0

9-8=0

6 8 9

Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :

1-2×

8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -

Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ

Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :

-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.

1) Démontrer que les plans ′ sont sécants.

2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection .

Correction

1) et′ sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Un vecteur normal de est ⃗ -1 2 1 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -1 3 Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2) Le point

de , intersection de et de ′, vérifie donc le système suivant : i -+2+-5=0

2-+3-1=0

On choisit par exemple comme paramètre et on pose =. On a alors : -+2+-5=0

2-+3-1=0

=-2++5 -+3=1-2 =-2++5 -+3 -2++5 =1-2 =-2++5 --6+3+15=1-2 =-2++5 -7=-14-5 =2+ 5 7 =-2 V 2+ 5 7 W ++5 =2+ 5 7 =1- 3 7 Ce dernier système est une représentation paramétrique de , avec ∈ℝ. 7 RÉSUMÉ : Pour démontrer des positions relatives droite de vecteur directeur ⃗. plan de vecteur normal ⃗. et sont...quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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