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La factorisation canonique est une méthode qui permet de factoriser des expressions (trinôme) du Ce qui nous donne une forme factorisée de F
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La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3
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La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3 2
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Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + second degré ax2 + bx + c est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme
[PDF] Une fonction quadratique peut sécrire sous trois formes différentes
La forme canonique où (h k) est le sommet f(x)=a(x-h)²+k • La forme générale (polynôme du 2º degré): f(x) = ax² + bx + cord • La forme factorisée où x
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développer On verra bientôt comment passer de la forme développée à la forme factorisée Forme canonique C'est une combinaison d'un carré et d'une somme
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On appelle trinôme du second degré une expression littérale de la forme ax2 + bx + c avec a b c ? R Factoriser en une étape `a l'aide des identités
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On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ? ? et ? sont des nombres réels f (x) = 2x2 ? 20x +10 = 2 x2 ?10x
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La forme canonique de f est de la forme f(x) = a(x ? ?)2 + ? 2 3 A partir de la forme factorisée f(x) = a(x ? x1)(x ? x2) Coordonnées du sommet S :
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Tout trinôme f (x) = a x² + b x + c ( a 0 ) peut s'écrire sous la forme a ( x + )² + Cette écriture est la forme canonique du trinôme c) La forme factorisée
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La factorisation canonique est une méthode qui permet de factoriser des expressions (trinôme) du type : Algorithme et exemple avec le trinôme : 1 Si on
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Pour trouver une forme canonique il faut deviner à quelle identité remarquable le début de l'expression correspond Exemple Mettre sous forme canonique : D'
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Exercice 1 : Déterminer la forme canonique des fonctions trinomes suivantes : 1 f(x) = ?2x2 + 12x ? 14 2 f(x)=2x2 ? x + 1 3 f(x)=2x2 ? x ? 1
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Cette forme s'appelle la forme développée du polynôme Elle est unique Méthode : Pour obtenir la forme canonique d'un polynôme du second degré
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Forme canonique développée et factorisée d'un polynôme de degré 2 f • Signe d'un polynôme du second degré f avec résolution d'inéquations • Variation d'un
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La forme canonique permet de déterminer l'extremum correspondant au sommet S La forme factorisée quand elle existe permet de déterminer les racines et le signe
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Partie A : Forme canonique équations inéquations factorisation Factoriser si possible les trinômes suivants en un produit de deux polynômes de
Comment passer de la forme factorisée à la forme canonique ?
Développement : il est très facile de partir de la forme canonique pour aboutir à l'expression développée. Factorisation : la forme canonique se factorise gr? à l'identité a2?b2 a 2 ? b 2 =(a?b)(a+b). = ( a ? b ) ( a + b ) . ?f(x)=2(x?3)(x+2).Quelle est la formule de la forme canonique ?
La forme canonique : f(x)=a(x?h)2+k où h et k sont les coordonnées du sommet. La forme générale : f(x)=ax2+bx+c où c est l'ordonnée à l'origine. La forme factorisée : f(x)=a(x?x1)(x?x2) où x1 et x2 sont les zéros de la parabole.Comment déterminer la forme canonique de F ?
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ?, ? et ? sont des nombres réels. ? 40 est la forme canonique de f. + ? , où ? et ? sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.- Propriété Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme : f ( x ) = a ( x ? ? ) 2 + ? où ? = ? b 2 a et ? = f ( ? ) .
1. Déterminer la forme canonique
1 1Déterminer
la forme canoniqueQuand on ne sait pas! La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée, factorisée et canonique.EXEMPLE 1
2 1 3 2 Ax x . Ici, A est sous forme factorisée.EXEMPLE 2
22 11 21Bx x x. Ici, B est sous forme développée.
EXEMPLE 3
23 25Cx x. Ici, C est sous forme canonique.
La forme canonique de l'expression
2A x ax bx c est du type :
2 Ax axQue faire ?
Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c. Ensuite on calcule les valeurs de et à l'aide des formules de cours : 2 b a et2 - 4 4 b ac a On peut maintenant mettre A sous forme canonique en remplaçant et par leur valeur dans la formule : 2 Ax ax REMARQUE On constate avec cette égalité que l'on a : A .EXEMPLE 4
23 52Ax x x .
On a : 3, 5, 2ab c .
On en déduit :
5 6 et 1 12Second degré
On trouve alors :
2 513 6 12 Ax x
Conseils
Il faut faire attention aux signes dans les calculs, ainsi le moins devant la barre de fraction pour le calcul de s'applique à l'ensemble de la fraction. Il faut prendre garde également au fait que le carré d'un nombre négatif est un nombre positif : par exemple, le carré de -3 s'écrit 23, et non pas
23 qui est égal à -9.
Il est toutefois plus facile de calculer la valeur de en considérant l'égalité : A celle du départ.Exemple traité
Mettre sous forme canonique l'expression suivante : 225Ax x x
SOLUTION
On repère les valeurs de a, b et c : 1, 2, 5a bc .On calcule :
2 1 22b a On calcule ensuite , le plus simple est de le calculer avec : 2
1 215 6A (ce calcul est plus rapide et moins
générateur de fautes de signe). On peut donc conclure sur la forme canonique de A : 2116Ax x ou
216Ax x ou si l'on préfère :
261Ax x
Exercices
ExErcicE 1.1 Mettre sous forme canonique
228Ax x x.
ExErcicE 1.2 Mettre sous forme canonique
236 1Bx x .
1. Déterminer la forme canonique
Solutions
ExErcicE 1.3 Mettre sous forme canonique
231Cx x x .
ExErcicE 1.4 Mettre sous forme canonique 2 11 3Dx x x.ExErcicE 1.5 Mettre sous forme canonique :
32 7 41 3Ex x x x x
Pour vous aider à démarrer
ExErcicE 1.1 Attention, ici on a : 0c
ExErcicE 1.2
Il faut d'abord développer B ou mettre le -3 en facteur dans le carré.ExErcicE 1.3 Il faut ordonner C.
ExErcicE 1.4 Développer D
ExErcicE 1.5 Développer E puis réduire et ordonner.Solutions des exercices
ExErcicE 1.1
Comme 22 8,Ax x x on a alors : 2, 8, 0a bc .
Ceci permet de calculer et .
8 2 4 et 222 828A
La forme canonique de A est donc :
22 28Ax x
ExErcicE 1.2
On développe d'abord B et on obtient
29 36 37.Bx x x
Second degré
On a alors : 9, 36, 37ab c, ce qui permet de calculer les valeurs de et de . On trouve : 362 et 2 1
18BB .
La forme canonique de B est :
29 21Bx x
REMARQUE On pouvait choisir de mettre -3 en facteur dans le carré, ce qui donnait : 22223 2 1 3 219 21Bx xxx .
ExErcicE 1.3
On ordonne C suivant les puissances décroissantes de x, ce qui donne : 231Cx x x
Comme 1, 3, 1ab c, on a alors les valeurs de et . 3 2 et 7 4La forme canonique de C est :
2 3724
Cx x
ExErcicE 1.4
On développe la forme factorisée de D :
26 1.Dx x x On détermine
ensuite et . On trouve 1 12 et 2524
et D peut s'écrire sous la forme suivante : 2 1 25 6 12 24 Dx x
ExErcicE 1.5
On développe d'abord E :
222 7 6 21 3 4 12Ex x x x x x x puis on réduit et on ordonne,
ce qui donne : 2222 21 11 3 4 5 12 25Ex x x x x x x
On a alors 5, 12 ab et 25.c Ce qui permet de calculer les valeurs de et . On trouve = 12 6 10 5 et 6 161 55EE
La forme canonique de E est :
2 6 161 5 55Ex x
2. Résoudre une équation du 2
nd degré 2 2Résoudre une équation
du 2 nd degréQuand on ne sait pas!
Revoir la résolution d'équation du 1
er degré du type xab ou ax b, ainsi que d"équation du 2 nd degré de la forme 2 .xa ou d'une identité remarquable.EXEMPLE 1Résoudre
230xx revient à résoudre : 3 0.xx
EXEMPLE 2 Résoudre
2 1 3 90 4 xx revient à résoudre : 2 1 302 x
Dans le cas d'équations du 2
nd degré, incomplètes, du type 20ax c, se
ramener à une équation de la forme : 2 c x a . On discute ensuite selon le signe de c a de l'existence de solution.EXEMPLE 3 Résoudre
22 60x revient à résoudre :
23.x Il y a donc 2
solutions qui sont : 3 et 3.EXEMPLE 4 Résoudre
23 50x revient à résoudre :
2 5 3 x . Or un carré ne pouvant être négatif, l'équation n'a pas de solution.Que faire ?
Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c.Ensuite on calcule la valeur du discriminant.
2 4b acSecond degré
Si 0, alors l"équation a deux solutions distinctes : 1 xet 2 x.Si 0, alors l"équation a une seule solution :
0 x. Si 0, l"équation n"a aucune solution réelle. elles existent.Si 0, alors les solutions sont :
1 2 b x a et 2 2 b x aSi 0, alors l"équation a une seule solution :
0 2 b x aEXEMPLE 5 Résoudre
25 60xx .
On a : 1, 5, 6ab c .
On en déduit :
25 416 1
Comme le discriminant est positif, l'équation admet 2 solutions. On remplace les valeurs de , ab et . On obtient alors : 1 512 2 x et 2 51
3 2 x
Conseils
,,abc en faisant attention aux signes.Il faut se rapporter à une équation du 2
nd degré dont le second membre est nul : 20ax bx c
Le calcul du discriminant n"est pas toujours nécessaire, en particulier dans le cas d"équations incomplètes. Les formules précédentes ne sont valables que pour des équations du 2 nd degré, pas pour des équations de degré supérieur.2. Résoudre une équation du 2
nd degréExemple traité
Résoudre l'équation suivante :
22 5 70xx
SOLUTION
On repère les valeurs de a, b et c : 2, 5, 7abc .On calcule :
25 4 2 7 25 56 81 .
0, donc l'équation admet 2 solutions.
Les solutions de l'équation sont donc :
15 81 5 9 7
22 4 2
x u et 25 81 5 9
1 22 4x u On peut conclure que l'ensemble solution de l'équation est : 7 ;1 . 2 S
Exercices
ExErcicE 2.1 Résoudre
2 210 34
xx.
ExErcicE 2.2 Résoudre
2 7 20 2 xx .ExErcicE 2.3 Résoudre 3 2 13 17xx x .
ExErcicE 2.4 Résoudre 2 9 8 72xx .
ExErcicE 2.5 Résoudre
24 25 9xx .
ExErcicE 2.6 Résoudre
2 ( 6) 25 0x. ExErcicE 2.7 Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre 37 m et d"aire 76,5625 m 2Second degré
Pour vous aider à démarrer
ExErcicE 2.1
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