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Le second degré

I/ Le premier degré

II/ Le second degré

1/ Définitions

3/ Résolution des équations du second degré

4/ Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique

5/ Variations du second degré

6/ Factorisation

7/

8/ Somme et produit des racines

I/ Le premier degré

Un polynôme du premier degré est une expression algébrique comme 2 x - 3 ou x - 5 ou 6 x etc. Plus généralement, on peut noter a x + b avec a 0.

7 = a x + b avec a = 0 et b = 7 mais, comme a

degré.

Une équation du premier degré est une équation du type 2 x - 3 = 0 ou x - 5 = 0 ou 6 x = 0 etc.

Plus généralement, on peut noter a x + b = 0 avec a 0. Une équation du premier degré a une seule solution. a x + b = 0 est - b a Une fonction affine est une fonction représentée par une droite. f : x ฽ 2 x - 3 est une fonction affine. Une fonction affine est une fonction du type x ฽ a x + b. La fonction x ฽ a x + b est représenté par une droite de coefficient directeur a.

Si a x -

b a

Si a x ).

II/ Le second degré

1/ Définitions

Un polynôme du second degré est une expression algébrique comme 9 x 2 - 6 x + 1 ou x 2 + 4 ou - 5 x 2 + x - 4 etc. Plus généralement, on peut noter a x 2 + b x + c avec a 0.

Attention, 2 x - 3 .

2 x - 3 = a x 2 + b x + c avec a = 0, b = 2 et c = - 3 mais, comme a

polynôme du second degré. Une équation du second degré est une équation comme

9 x 2 - 6 x + 1 = 0

- 5 x 2 + x - 4 = 0 x 2 + 4 = 0

3 x 2 + 4 x = 0

Une équation du second degré est une équation sous la forme a x 2 + b x + c = 0 avec a 0. x 2 - 6 x + 1 = 0, a = 9 ; b = - 6 ; c = 1. - 5 x 2 + x - 4 = 0, a = - 5 ; b = 1 ; c = - 4. x 2 + 4 = 0, a = 1 ; b = 0 ; c = 4. x 2 + 4 x = 0, a = 3 ; b = 4 ; c = 0.

5 x - on du second degré.

Une fonction polynôme du second degré est une fonction du type x ฽ a x 2 + b x + c (a 0).

x ฽ x 2 + 4 x 5 est une fonction polynôme du second degré. Un polynôme du second degré est une expression algébrique du type a x 2 + b x + c (a 0). x 2 + 4 x 5 est un polynôme du second degré.

Forme développée

a x 2 + b x + c avec a 0. est une somme.

Forme factorisée

Une forme factorisée est un produit.

( x - 1 ) ( x - 2 ) est la forme factorisée du polynôme x 2 - 3 x + 2 car ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2 - 3 x + 2. ( x - 3 ) 2 est la forme factorisée du polynôme x 2 - 6 x + 9 car ( x - 3 ) 2 = x 2 - 6 x + 9. - 8 ( 3 x - 2 ) ( 4 - x ) est la forme factorisée du polynôme 24 x 2 112 x + 64 car - 8 ( 3 x - 2 ) ( 4 - x ) = - 8 ( - 3 x 2 + 14 x 8 ) = 24 x 2 112 x + 64. Le polynôme x 2 - 1 se factorise sous la forme ( x - 1 ) ( x + 1 ).

Le polynôme x 2 + 1 ne se factorise pas.

Une quatrième identité

Pour factoriser, vous pouvez utiliser les trois identités que vous connaissez bien : a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 - 2 a b + b 2 = ( a - b ) 2 a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) Il faut aussi savoir que a 2 + b 2 ne se factorise pas. Pour passer de la forme factorisée à la forme développée développer. On verra bientôt comment passer de la forme développée à la forme factorisée.

Forme canonique

( x - 3 ) 2 - 4 est la forme canonique du polynôme x 2 - 6 x + 5. On verra bientôt à quoi cela sert et comment passer de la forme développée à la forme canonique.

3/ Résolution des équations du second degré

x 2 - 9 = 0 a pour solutions - 3 et 3. On dit aussi que - 3 et 3 sont les racines le polynôme x 2 - 9. Certaines équations du second degré se résolvent avec les outils du collège.

Résoudre x 2 = 0

x 2 = 0 x = 0 S = { 0 } En effet, vous savez que 0 est le seul nombre dont le carré est 0.

Le polynôme x 2 a une racine : 0.

Résoudre x 2 = 9

x 2 = 9 x = - 3 ou x = 3 S = { - 3 ; 3 } En effet, vous savez que - 3 et 3 sont les seuls nombres dont le carré est 9.

Le polynôme x 2 - 9 a deux racines : - 3 et 3.

Résoudre x 2 = - 9 S =

En effet, vous savez que x 2 x 2 = - 9 est fausse, quelque soit x.

Le polynôme x 2

ne équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions. Autrement dit, un polynôme du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 racines. racines. Remarque : un polynôme du premier degré (ax + b avec a 0) a une racine et une seule. Résolution à partir de la forme factorisée

Résoudre ( x - 3 ) ( x + 4 ) = 0

( x - 3 ) ( x + 4 ) = 0 x - 3 = 0 ou x + 4 = 0 x = 3 ou x = - 4 S = { - 4 ; 3 }

Résoudre - 8 ( 3 x - 2 ) ( 4 - x ) = 0

- 8 ( 3 x - 2 ) ( 4 - x ) = 0 ( 3 x - 2 ) ( 4 - x ) = 0 3 x - 2 = 0 ou 4 - x = 0 x = 2 3 ou x = 4 S = { 2 3 ; 4 }

Résoudre ( x - 3 ) 2 = 0

( x - 3 ) 2 = 0 x - 3 = 0 x = 3 S = { 3 }

On peut aussi écrire : ( x - 3 ) 2 = 0 ( x - 3 ) ( x - 3 ) = 0 x - 3 = 0 ou x - 3 = 0

x = 3 ou x = 3 S = { 3 } La solution 3 apparaît deux fois, on dit que 3 est une solution double. On dit aussi que 3 est la racine double du polynôme x 2 - 6 x + 9.

Résolution à partir de la forme canonique

Résoudre ( x - 3 ) 2 - 4 = 0

( x - 3 ) 2 - 4 = 0 ( x - 3 ) 2 = 4 x - 3 = - 2 ou x - 3 = 2 x = 1 ou x = 5

S = { 1 ; 5 }

Résoudre ( x - 3 ) 2 + 4 = 0

( x - 3 ) 2 + 4 = 0 ( x - 3 ) 2 = - 4 S = En effet, vous savez que ( x - 3 ) 2 x - 3 ) 2 = - 4 est fausse, quel que soit x.

Résoudre 5 ( x - 3 ) 2 = 20

5 ( x - 3 ) 2 = 20 ( x - 3 ) 2 = 4 x - 3 = - 2 ou x - 3 = 2 x = 1 ou x = 5 S = { 1 ; 5 }

Exercices : résoudre

- 2 ( x - 1 ) 2 = 0 - 2 ( x - 1 ) 2 = 50 - 2 ( x - 1 ) 2 = - 50

5 ( x - 6 ) ( x + 4 ) = 0

x ( x + 8 ) = 0 ( 2 x - 3 ) 2 - 1 = 0 ( 2 x - 3 ) 2 - 2 = 0 ( 2 x - 3 ) 2 + 3 = 0 x 2 - x = 0 x 2 + 3 x = 0 x 2 + 4 = 0

9 x 2 + 30 x + 25 = 0

Résolution en mettant sous forme canonique

permettent de résoudre certaines équations du second degré. résoudre aussi facilement. En général, vous ne savez pas résoudre les équations du second degré.

Essayez avec x 2 - x -

On y arrive en mettant le polynôme sous forme canonique formule que vous apprendrez et que vous appliquerez.

On va quand même voir comment ça marche.

Résoudre x 2 - 6 x + 8 = 0

On met le polynôme x 2 - 6 x + 8 sous forme canonique : x 2 - 6 x + 8 = x 2 - 2 3 x + 9 - 9 + 8 = ( x - 3 ) 2 - 1 Cela permet de résoudre : x 2 - 6 x + 8 = 0 ( x - 3 ) 2 - 1 = 0 ( x - 3 ) 2 = 1 x - 3 = 1 ou x - 3 = - 1 x = 4 ou x = 2 S = { 2 ; 4 }

Exercice : résoudre x 2 + 4 x - 5 = 0.

On trouve S = { - 5 ; 1 }

Résoudre x 2 + 5 x - 3 = 0

On met le polynôme x 2 + 5 x - 3 sous forme canonique : x 2 + 5 x - 3 = x 2 + 2 5 2 x + 5 2 2 5 2 2 - 3 = ( x + 5 2 ) 2 - 25
4 12 4 = ( x + 5 2 ) 2 - 37
4

Cela permet de résoudre : ( x +

5 2 ) 2 - 37
4 = 0 ( x + 5 2 ) 2 = 37
4 x + 5 2 37
4 ou x + 5 2 37
4 x + 5 2 37
2 ou x + 5 2 37
2 x = 537
2 ou x = 537
2

On peut noter x =

r537 2 S = { 537
2 537
2 Exercices : les courageux pourront chercher les racines des polynômes x 2 + 4 x - 5 ; x 2 - 4 x -

32 ; x 2 - x 6 ; x 2 - 3 x + 2 ; 2 x 2 - 11 x + 5 ; x 2 - 4 ; x 2 - 5 ; 3 x 2 + 30 x + 75 ; x 2 - 3 x + 5 ; x 2

- 3 x - 5 ; x 2 + x - 4 ; x 2 + x + 4.

Dans le cas général

a x ² + b x + c = a ( x ² + b a x + c a = a xb axb a b a c a 2 22

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