[PDF] TD n°5 : Factorisation canonique - Math93
La factorisation canonique est une méthode qui permet de factoriser des expressions (trinôme) du Ce qui nous donne une forme factorisée de F
[PDF] La forme canonique - Editions Ellipses
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3
[PDF] Déterminer la forme canonique - Editions Ellipses
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3 2
[PDF] Trinômes du second degré - Labomath
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + second degré ax2 + bx + c est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme
[PDF] Une fonction quadratique peut sécrire sous trois formes différentes
La forme canonique où (h k) est le sommet f(x)=a(x-h)²+k • La forme générale (polynôme du 2º degré): f(x) = ax² + bx + cord • La forme factorisée où x
[PDF] Le second degré Mon Cours de Maths
développer On verra bientôt comment passer de la forme développée à la forme factorisée Forme canonique C'est une combinaison d'un carré et d'une somme
[PDF] Forme canonique dun trinôme du second degré - Emmanuel Morand
On appelle trinôme du second degré une expression littérale de la forme ax2 + bx + c avec a b c ? R Factoriser en une étape `a l'aide des identités
[PDF] SECOND DEGRÉ (Partie 1) - maths et tiques
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ? ? et ? sont des nombres réels f (x) = 2x2 ? 20x +10 = 2 x2 ?10x
[PDF] 1 Forme canonique 2 Calcul des coordonnées du sommet et
La forme canonique de f est de la forme f(x) = a(x ? ?)2 + ? 2 3 A partir de la forme factorisée f(x) = a(x ? x1)(x ? x2) Coordonnées du sommet S :
[PDF] 30971_ch11_2nde14pdf
Tout trinôme f (x) = a x² + b x + c ( a 0 ) peut s'écrire sous la forme a ( x + )² + Cette écriture est la forme canonique du trinôme c) La forme factorisée
[PDF] La forme canonique
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3
[PDF] Déterminer la forme canonique
La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée factorisée et canonique EXEMPLE 1 ( ) 2 1 3 2
[PDF] TD n°5 : Factorisation canonique - Math93
La factorisation canonique est une méthode qui permet de factoriser des expressions (trinôme) du type : Algorithme et exemple avec le trinôme : 1 Si on
[PDF] SECOND DEGRÉ (Partie 1) - maths et tiques
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ? ? et ? sont des nombres réels f (x) = 2x2 ? 20x +10 = 2 x2 ?10x
[PDF] Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités
Pour trouver une forme canonique il faut deviner à quelle identité remarquable le début de l'expression correspond Exemple Mettre sous forme canonique : D'
[PDF] Exercice 1 : Déterminer la forme canonique des fonctions trinomes
Exercice 1 : Déterminer la forme canonique des fonctions trinomes suivantes : 1 f(x) = ?2x2 + 12x ? 14 2 f(x)=2x2 ? x + 1 3 f(x)=2x2 ? x ? 1
[PDF] le second degré - 1 forme factorisée - MathACoeur
Cette forme s'appelle la forme développée du polynôme Elle est unique Méthode : Pour obtenir la forme canonique d'un polynôme du second degré
[PDF] Chapitre 1 - Second degré
Forme canonique développée et factorisée d'un polynôme de degré 2 f • Signe d'un polynôme du second degré f avec résolution d'inéquations • Variation d'un
[PDF] FORME CANONIQUE DUN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
La forme canonique permet de déterminer l'extremum correspondant au sommet S La forme factorisée quand elle existe permet de déterminer les racines et le signe
[PDF] Exercices supplémentaires – Second degré
Partie A : Forme canonique équations inéquations factorisation Factoriser si possible les trinômes suivants en un produit de deux polynômes de
Comment passer de la forme factorisée à la forme canonique ?
Développement : il est très facile de partir de la forme canonique pour aboutir à l'expression développée. Factorisation : la forme canonique se factorise gr? à l'identité a2?b2 a 2 ? b 2 =(a?b)(a+b). = ( a ? b ) ( a + b ) . ?f(x)=2(x?3)(x+2).Quelle est la formule de la forme canonique ?
La forme canonique : f(x)=a(x?h)2+k où h et k sont les coordonnées du sommet. La forme générale : f(x)=ax2+bx+c où c est l'ordonnée à l'origine. La forme factorisée : f(x)=a(x?x1)(x?x2) où x1 et x2 sont les zéros de la parabole.Comment déterminer la forme canonique de F ?
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f (x) = ?(x - ?)2 + ? où ?, ? et ? sont des nombres réels. ? 40 est la forme canonique de f. + ? , où ? et ? sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.- Propriété Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme : f ( x ) = a ( x ? ? ) 2 + ? où ? = ? b 2 a et ? = f ( ? ) .
Trinômes du second degré
A. Fonctions trinômes du second degré
On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et
a non nul. ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme.1. Forme canonique
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² +
avec α=-b2a et β=c-b2
4a.Démonstration
Vérifions :
a(x-α)2+β=a(x+b 2a)2 +c-b24a=a(x2+b
ax+b24a2)+c-b2
4a=ax2+bx+b2
4a+c-b2
4a =ax2+bc+c2. Variations
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a.Si a > 0Si a < 0
Démonstration
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + .On se place dans le cas a > 0.
KB 1 sur 5x
a(x - )² + x a(x - )² + Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v. On a alors u - < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u - et v - sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )². Multiplier par a > 0 et ajouter ne change pas l'ordre des nombres, donca(u - )² + > a(v - )² + et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ]. On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x - x1)(x - x2).Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x - x1)(x - x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² + = 0, soit a(x - )² = - et finalement
(x-α)2=-β a.On sait que α=-b
2a et β=c-b2
4a, donc -β
a=-c a+b24a2=b2-4ac
4a2. En posant = b² - 4ac, on
obtient l'équation : (x+b 2a)24a2. Le nombre est appelé discriminant du trinôme. On peut
alors distinguer plusieurs cas : -si < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. -si = 0, alors l'équation devient (x+b 2a)2 =0 et elle a une solution unique x=-b 2a. -si > 0, on a 2 possibilités : soit x+b 4a2=2asoit x+b
2a=- 4a2=-2aKB 2 sur 5
Théorème 1
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On appelle discriminant de cette équation le réel = b² - 4ac. 2a. •Si = 0, l'équation a une seule solution x0=-b 2a. •Si < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme.Théorème 2 (factorisation)
On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0) et son discriminant = b² - 4ac.
•Si > 0, le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2).•Si = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x0)².
On dit alors que x0 est une racine double.
•Si < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.Exemples
1) Résoudre x² - 5x + 6 = 0.
On a = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1. Il ya donc deux solutions qui sont : x1 =5 - 1 2 =42 =2 et x2 =5 1
2 =6 2 =3. On a la factorisation x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).2) Résoudre 4x² - 4x + 1= 0.
On a = (- 4)² - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0. Il a donc une seule solution x1 =4 8 =1 2.On a la factorisation 4x² - 4x + 1= 4
x-12 2
3) Résoudre x² + x + 1 = 0.
On a = 1² - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = - 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1
ne peut pas être factorisé.C. Signe du trinôme
On considère la fonction trinôme définie par f (x) = ax² + bx + c et son discriminant .
Le signe du trinôme va dépendre de l'existence d'éventuelles racines. •Si > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x - x1)(x - x2).KB 3 sur 5
On a alors le tableau de signe suivant :
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a entre les racines.
•Si = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On a alors la factorisation f (x) = a(x - x1)². ax² + bx + c est du signe de a.•Si < 0, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solutions, le trinôme ne peut pas être factorisé en un
produit de facteurs du premier degré. ax² + bx + c est du signe de a.En résumé :
ax² + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu'elles existent.Exemples
1) Étudier le signe de x² - 5x + 6.
L'équation x² - 5x + 6 = 0 a deux solutions x1 = 2 et x2 = 3. On en déduit le tableau de signes
suivant : x² - 5x + 6 est positif sauf si x est entre 2 et 3.2) Étudier le signe de 4x² - 4x + 1.
L'équation 4x² - 4x + 1 = 0 a une solution unique x1 =12. On en déduit que 4x² - 4x + 1 est
toujours positif.3) Étudier le signe de x² + x + 1
L'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions, x² + x + 1 est donc toujours positif.Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction trinôme est une parabole.Le signe de a indique le sens de la parabole.
Le signe de indique le nombre de racines, donc le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.KB 4 sur 5x
x - x1 x - x2 a(x-x1)(x-x2)x1x2 0 0 00++ signe de asigne de asigne de -a x x²-5x+623 00++- a > 0a < 0 > 0 = 0 < 0KB 5 sur 5
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] format mémoire universitaire
[PDF] eric emmanuel schmitt pdf
[PDF] normes présentation ulaval
[PDF] guide de rédaction ulaval fsa
[PDF] page titre ulaval
[PDF] présentation thèse ppt
[PDF] guide pour la rédaction et la présentation des thèses 2017
[PDF] nombre de pages d'une thèse
[PDF] mise en page thèse word
[PDF] forme rondo sonate
[PDF] présentation thèse doctorat ppt
[PDF] forme binaire
[PDF] structure menuet
[PDF] forme scherzo