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Remarque - Si q est non dégénérée alors son noyau est réduit au vecteur nul. 5.2. Construire une base orthogonale. Soit q une forme quadratique définie sur un
Formes quadratiques réelles. Exemples et applications
2 nov 2014 = 0 donc q est non-dégénérée. – Soit f et g deux formes linéaires sur E de dimension n alors pour n ? 3 la forme quadratique q(x)= ...
chapitre 2 formes quadratiques
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE. On dit que q est régulière (ou non dégénérée). Si. { }. Sinon on dit qu'elle est dégénérée.
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
En dimension finie une forme bilinéaire symétrique b sur E ×E est donc non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible.
Formes quadratiques groupe orthogonal
Un plan hyperbolique est un espace vectoriel P de dimension 2 muni d'une forme bilinéaire symétrique b non dégénérée
Formes Quadratiques Réelles-171
Une forme quadratique sur un espace vectoriel E de dimension finie est tout La restriction d'une forme quadratique non dégénérée à un sous-espace.
FORMES QUADRATIQUES ET EXTENSIONS EN
socier à E une forme quadratique non dégénérée (de rang n ou n+1 ) ; c'est et de caractéristique résiduelle 2 et la forme Q non dégénérée.
UNE BREVE HISTOIRE DES FORMES BILINEAIRES 1
les formes quadratiques avant les formes bilinéaires c'est l'approche
Algèbres de Clifford dégénérées et revêtements des groupes
espace de dimension minimale avec forme quadratique non dégénérée Qi contenant E et induisant Q sur E où F' est un espace de dimension 1.
Leçon 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et
voir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la des coniques affines non dégénérées doit être connue et les propriétés clas-.
[PDF] Formes quadratiques - Université de Rennes
Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ? est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0} o`u q est la forme quadratique associée `a ?
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Une forme quadratique q est dite non dégénérée quand sa forme polaire l'est On définit le noyau et le rang d'une forme quadratique comme ceux de sa forme
[PDF] Cours MAT244 Formes quadratiques séries et séries de Fourier
Définitions 1 12 Soit q une forme quadratique sur E On dit que q est dégénérée (resp non-dégénérée) si la forme bilinéaire associée est dégénérée
[PDF] Formes quadratiques réelles Exemples et applications
2 nov 2014 · Remarque : det(M) = 0 ? q est non-dégénérée o`u M est la matrice associée `a la forme quadratique q Exemples : – Dans l'exemple précédent M=
[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { } Sinon on dit qu'elle est dégénérée
[PDF] Chapitre 2 Formes quadratiques
On dit que b est non dégénérée si son noyau est réduit à {0} Dans ce cas la matrice Aq est inversible Plus généralement on appelle rang de q le rang de
[PDF] Formes bilinéaires et quadratiques
On l'ap- pelle le rang de la forme bilinéaire b (resp de la forme quadratique associée) Lorsque b est non dégénérée (i e de rang n i e de noyau
[PDF] Panorama sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
On dit d'un sous-espace F de E qu'il est totalement isotrope si la restriction de q `a F est nulle Lemme 12 Si q est une forme quadratique définie et non-
[PDF] Chapitre 14 :Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Une fbs/fq de rang n est dite non dégénérée III Cas des réels : positivité • Définition : Soit R ? EQ : une forme quadratique sur le R-ev E
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1 4 Formes quadratiques non dégénérées Définition 1 5 Soit q : E ? R une forme quadratique de forme polaire b On dit que 1 q est non dégénérée si b
Comment montrer qu'une forme quadratique est non dégénérée ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .Quand Dit-on qu'une forme quadratique est dégénérée ?
Elle est dégénérée si et seulement s'il existe x = 0 tel que, pour tout y ? E, ?(x, y) = 0. Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ? E ; ?(x, y)=0}.Comment déterminer la forme quadratique ?
Caractérisation des formes quadratiques
L'application définie par ? ( x , y ) ? E × E , f ( x , y ) = 1 2 [ Q ( x + y ) ? Q ( x ) ? Q ( y ) ] est bilinéaire symétrique. Si ces conditions sont satisfaites, est la forme quadratique associée à et la forme bilinéaire symétrique est souvent appelée forme polaire associée à- Pour montrer que ?1 ? 1 et ?2 ? 2 sont des formes quadratiques, il faut trouver pour chacune une forme bilinéaire symétrique que nous noterons ?1 ? 1 ou ?2 ? 2 telle que ?1(A,A)=?1(A) ? 1 ( A , A ) = ? 1 ( A ) et ?2(A,A)=?2(A) ? 2 ( A , A ) = ? 2 ( A ) .
UFR MATH EMATIQUESFormes quadratiques
On se place sur unR-espace vectorielEdedimension nien.1.Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques
1.1.Formes bilineaires symetriques
Denition 1 {Une forme bilineaire surEest une application':EE!Rlineaire par rapport a chacune de ses variables. Elle est dite symetrique si elle verie de plus :8(x;y)2EE; '(x;y) ='(y;x). Remarque -Si'est une forme bilineaire surE, alors, pour toutx2E,'(0;x) ='(x;0) = 0. Exemple -Soientfetgdeux formes lineaires surE. L'application'deEEdansR denie par'(x;y) =f(x)g(y) est une forme bilineaire denie surE. Proposition 2 {L'ensemble des formes bilineaires (respectivement bilineaires symetriques) sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.1.2.Formes quadratiques Denition 3 {Une forme quadratiqueqsurEest une applicationq:E!Rveriant les deux conditions suivantes :1)8x2E;82R; q(x) =2q(x)
2) L'application (x;y)7!12
[q(x+y)q(x)q(y)] est bilineaire symetrique. Proposition 4 {L'ensemble des formes quadratiques sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.
Theoreme 5 {Il existe un isomorphisme canonique entre l'espace vectoriel des formesquadratiques et l'espace vectoriel des formes bilineaires symetriques.Demonstration :notonsQ(E)l'ensemble des formes quadratiques denies surEetB(E)
l'ensemble des formes bilineaires symetriques.Soitq2Q(E). Posons(q) ='avec'(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)].(q)2B(E), ainsi denie, est bien une forme bilineaire symetrique. Soit'2B(E). Denissons0(')par0(')(x) ='(x;x)pour toutx2E. Un calcul montre que0(')2Q(E). Montrons queest inversible et que son inverse est0. Soit'2B(E). On a0(') = (q)avecq(x) ='(x;x). Or(q) ='0avec0(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)] 12 ['(x+y;x+y)'(x;x)'(y;y)] ='(x;y) par bilinearite de'. On a donc0=IdB(E). On montre de m^eme que0=IdQ(E). L'applicationest donc bijective et1=0. Elle est lineaire par construction, d'ou le resultat. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Denition 6 {Soitqune forme quadratique. L'unique forme bilineaire symetrique'telle que'(x;x) =q(x) pour toutx2Es'appelle la forme bilineaire symetrique associee aq. 1.3. Ecriture matricielleSoit (e1;:::;en) une base deE. Soientxetydeux vecteurs deEde coordonnees respectives (xi)1inet (yj)1jndans la base (e1;:::;en). Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. On a alors par bilinearite de': '(x;y) ='0 nX i=1x iei;nX j=1y jej1 A X1i;jnx
iyj'(ei;ej) Reciproquement, soit (aij)1i;jnune famille de reels telle queaij=ajipour 1i;jn; alors l'application (x;y)7!X1i;jna
ijxiyjest bilineaire symetrique. Denition 7 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surEet soit (e1;:::;en) une base deE. La matriceMdeMn(R) denie parMij='(ei;ej) s'appelle la matrice de' dans la base (e1;:::;en). SiXetYdesignent respectivement les matrices-colonnes des coordonnees dexet deydans la base (e1;:::;en), alors on a'(x;y) =tXMY=tY MXProposition 8 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. SiMest la matrice
de'dans la base (e1;:::;en), alors la matriceM0de'dans la base (e01;:::;e0n) estM0=tPAP, ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en) a la base (e01;:::;e0n).Demonstration :soientxetydes vecteurs deE. NotonsXetY(respectivementX0
etY0) les matrices-colonnes de leurs coordonnees respectives dans la base(e1;:::;en) (respectivement(e01;:::;e0n)). On aX=PX0etY=PY0. On en deduit que '(x;y) =tXMY=t(PX0)M(PY0) =tX0tPMPY0. D'ouM0=tPMP.Denition 9 {Soitqune forme quadratique. La matrice de la forme bilineaire symetrique associee aqdans une baseBs'appelle la matrice deqdans la baseB. Denition 10 {Deux matricesMetM0deMn(K) sont dites congruentess'il existe une matriceP2GLn(K) telle queM0=tPMP. Deux matrices sont donc congruentes si elles representent la m^eme forme bilineaire dans deux bases dierentes deE. Proposition 11 {La congruence est une relation d'equivalence.Demonstration :c'est une relation re exive car, pour toutM2Mn(R),M=tInMIn. Elle est symetrique car, siM0=tPMP, alorsM=tP1MP1. Enn c'est une relation transitive car siM00=tP0M0P0etM0=tPMP, alorsM00=tP0(tPMP)P0=t(PP0)M(PP0)etPP0est bien une matrice inversible.1.4.Recherche de la forme bilineaire associee a une forme quadratique
Soit (e1;:::;en) une base deE. Une forme bilineaire symetrique'est une application deEEdansRdenie par'(x;y) =tXMY=P
i;jmijxiyjouMest la matrice symetrique reelle denie parmij='(ei;ej). { 2 {FORMES QUADRATIQUES
Une forme quadratique s'ecrit donc sous la forme : q(x) =X1i;jnm
ijxixj=nX i=1m iix2i+ 2X1i ijxixj: Reciproquement, si on se donne une forme quadratiqueq, on a alors q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice quiquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice quiquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice quiquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] grille evaluation croquis
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