V-formes-quadratiques.pdf
Remarque - Si q est non dégénérée alors son noyau est réduit au vecteur nul. 5.2. Construire une base orthogonale. Soit q une forme quadratique définie sur un
Formes quadratiques réelles. Exemples et applications
2 nov 2014 = 0 donc q est non-dégénérée. – Soit f et g deux formes linéaires sur E de dimension n alors pour n ? 3 la forme quadratique q(x)= ...
chapitre 2 formes quadratiques
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE. On dit que q est régulière (ou non dégénérée). Si. { }. Sinon on dit qu'elle est dégénérée.
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
En dimension finie une forme bilinéaire symétrique b sur E ×E est donc non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible.
Formes quadratiques groupe orthogonal
Un plan hyperbolique est un espace vectoriel P de dimension 2 muni d'une forme bilinéaire symétrique b non dégénérée
Formes Quadratiques Réelles-171
Une forme quadratique sur un espace vectoriel E de dimension finie est tout La restriction d'une forme quadratique non dégénérée à un sous-espace.
FORMES QUADRATIQUES ET EXTENSIONS EN
socier à E une forme quadratique non dégénérée (de rang n ou n+1 ) ; c'est et de caractéristique résiduelle 2 et la forme Q non dégénérée.
UNE BREVE HISTOIRE DES FORMES BILINEAIRES 1
les formes quadratiques avant les formes bilinéaires c'est l'approche
Algèbres de Clifford dégénérées et revêtements des groupes
espace de dimension minimale avec forme quadratique non dégénérée Qi contenant E et induisant Q sur E où F' est un espace de dimension 1.
Leçon 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et
voir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la des coniques affines non dégénérées doit être connue et les propriétés clas-.
[PDF] Formes quadratiques - Université de Rennes
Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ? est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0} o`u q est la forme quadratique associée `a ?
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Une forme quadratique q est dite non dégénérée quand sa forme polaire l'est On définit le noyau et le rang d'une forme quadratique comme ceux de sa forme
[PDF] Cours MAT244 Formes quadratiques séries et séries de Fourier
Définitions 1 12 Soit q une forme quadratique sur E On dit que q est dégénérée (resp non-dégénérée) si la forme bilinéaire associée est dégénérée
[PDF] Formes quadratiques réelles Exemples et applications
2 nov 2014 · Remarque : det(M) = 0 ? q est non-dégénérée o`u M est la matrice associée `a la forme quadratique q Exemples : – Dans l'exemple précédent M=
[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { } Sinon on dit qu'elle est dégénérée
[PDF] Chapitre 2 Formes quadratiques
On dit que b est non dégénérée si son noyau est réduit à {0} Dans ce cas la matrice Aq est inversible Plus généralement on appelle rang de q le rang de
[PDF] Formes bilinéaires et quadratiques
On l'ap- pelle le rang de la forme bilinéaire b (resp de la forme quadratique associée) Lorsque b est non dégénérée (i e de rang n i e de noyau
[PDF] Panorama sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
On dit d'un sous-espace F de E qu'il est totalement isotrope si la restriction de q `a F est nulle Lemme 12 Si q est une forme quadratique définie et non-
[PDF] Chapitre 14 :Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Une fbs/fq de rang n est dite non dégénérée III Cas des réels : positivité • Définition : Soit R ? EQ : une forme quadratique sur le R-ev E
[PDF] Formes quadratiques - IUT du Littoral Côte dOpale
1 4 Formes quadratiques non dégénérées Définition 1 5 Soit q : E ? R une forme quadratique de forme polaire b On dit que 1 q est non dégénérée si b
Comment montrer qu'une forme quadratique est non dégénérée ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .Quand Dit-on qu'une forme quadratique est dégénérée ?
Elle est dégénérée si et seulement s'il existe x = 0 tel que, pour tout y ? E, ?(x, y) = 0. Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ? E ; ?(x, y)=0}.Comment déterminer la forme quadratique ?
Caractérisation des formes quadratiques
L'application définie par ? ( x , y ) ? E × E , f ( x , y ) = 1 2 [ Q ( x + y ) ? Q ( x ) ? Q ( y ) ] est bilinéaire symétrique. Si ces conditions sont satisfaites, est la forme quadratique associée à et la forme bilinéaire symétrique est souvent appelée forme polaire associée à- Pour montrer que ?1 ? 1 et ?2 ? 2 sont des formes quadratiques, il faut trouver pour chacune une forme bilinéaire symétrique que nous noterons ?1 ? 1 ou ?2 ? 2 telle que ?1(A,A)=?1(A) ? 1 ( A , A ) = ? 1 ( A ) et ?2(A,A)=?2(A) ? 2 ( A , A ) = ? 2 ( A ) .
Lecon 171 : Formes quadratiques
reelles. Coniques. Exemples etapplications.Developpements :
Ellipsode de John Loewner, Formes de Hankel.
Bibliographie :
Rombaldi, De Seguin Pazzis, Gourdon, Grifone, Rouviere, Escoer.Rapport du jury :
Dans cette lecon, la loi d'inertie de Silvester doit ^etre presentee ainsi que l'orthogonalisation simultanee. L'algorithme de Gauss doit ^etre enonce et pou-voir ^etre explique sur une forme quadratique deR3; le lien avec la signaturedoit ^etre clairement enonce et la signication geometrique des deux entiersretscomposant la signature d'une forme quadratique reelle doit ^etre explique. Ladierentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme qua-dratique importante qui merite d'^etre presentee dans cette lecon. La denitiondes coniques anes non degenerees doit ^etre connue, et les proprietes clas-siques des coniques doivent ^etre donnees. On pourra presenter les liens entrela classication des formes quadratiques et celles des coniques; de m^eme il est
interessant d'evoquer le lien entre le discriminant de l'equationax2+bx+c= 0et la signature de la forme quadratiqueax2+bxy+cy2. S'ils le desirent, les can-didats peuvent aussi aller vers la theorie des representation et presenter l'indi-catrice de Schur-Frobenius qui permet de realiser une representation donneesur le corps des reels.
1 Formes quadratiques reelles
1.1 Formes bilineaire et formes quadratiques
Denition 1(Romb p463).Forme bilineaire, forme bilineaire symetrique. Exemple 2(Romb p463).(x;y)7!l1(x)l2(x)est bilineaire, de m^eme avecla somme.Denition 3(Romb p466).Forme quadratique.
Exemple 4(Seguin p31).Tr(AAt), le determinant en dimension2,x7! l1(x)l2(x).Proposition 5(Romb p466).Qforme unK-ev.
Proposition 6(Romb p469).q(x) =2x.
Remarque 7(Romb p466).Pas unicite des formes bilineaires associees aune forme quadratique. Exemple.Proposition 8(Romb p466).Forme polaire.
Proposition 9(Romb p467).Formules de polarisation. Proposition 10(Romb p467).Qest de dimensionn(n+ 1)=2. Exemple 11.Exemple de forme quadratique.q1(x;y) = 3x2+ 6xyProposition 12(Escoer p631).Une forme quadratique est un polyn^omehomogene de degre2en les coordonnees, pour toute base.
1.2 Representation matricielle
Denition 13(Romb p467).Matrice d'une forme quadratique.Proposition 14(Romb p467).q(x) =tXAX.
Exemple 15(Gourdon p230).Dans la base canonique,mat(q1) = (3;3;3;0). Proposition 16(Seguin p32).[Romb p467] Formule de changement de bases.Remarque 17(Seguin p32).Les matrices representant une m^eme formequadratique constituent une classe d'equivalence dansSn.
1.3 Orthogonalite, noyau et rang
Denition 18(Romb p468).Orthogonal deXrelativement a.Exemple 19.ker() =E?,f0g?=E.
Exemple 20(Seguin p70).Orthogonal deSndansMnpour la trace. Proposition 21(Romb p468).X?est un sev deE,X(X?)?, siXY alorsY?X?.Denition 22(Romb p468).Noyau deq.
Denition 23(Romb p468).Vecteur isotrope.
Remarque 24(Seguin p52).Deux formes quadratiques proportionnelles ontles m^emes vecteurs isotropes. Sixest un vecteur isotrope, l'ensemble desvecteurs de~xsont isotropes. L'ensemble des vecteurs isotropes constitue doncun c^one de sommet0. D'ou la denition suivante.
Denition 25(Seguin p52).[Romb p468] C^one isotrope. Proposition 26(Gourdon p230).Le noyau est inclus dans le c^one. Contre exemple 27(Seguin p52).(0;1;1;2)a un c^one non nul mais unnoyau nul. Remarque 28.Le c^one est stable par multiplication scalaire mais pas paraddition. Denition 29(Romb p469).Forme quadratique non degeneree.Exemple 30(Seguin p51).Tr(A2)est non degeneree.
Proposition 31(Romb p465).qest non degeneree si et seulement si samatrice est inversible. Exemple 32(Grifone p 303).On peut ^etre non degeneree et avoir un c^oneisotrope non vide. q(x) =x21x22:C=fx1= +x2g. q(x) =x21+x22x23:C=fx3= +px21+x22g.
Proposition 33(Seguin p71).Dimension de l'orthogonal dans le cas d'uneforme bilineaire non degeneree.
Proposition 34(Gourdon p233).dim(F)+dim(F?) =dim(E)+dim(F[Ker(q)).
F ??=F+ker(q). Proposition 35(Romb p470).dim(F)+dim(F?)dim(E), l'egalite etantrealisee siqest non degeneree. L'egaliteE=FF?est realisee si etseulement si la restriction deqaFest non degeneree.
Proposition 36(Seguin p50).Rang d'une forme quadratique. Proposition 37(Romb p469).qest non degeneree si et seulement si sonrang vautn. Contre exemple 38.q(x;y) =x2y2,F=~(1;1) =F?. DoncE6=FF?. Exemple 39(Seguin p51).Exemple de calcul sur une forme quadratique.1.4 Formes quadratiques positives et denies
Denition 40(Romb p477).[Gourdon p234] Forme quadratique positive. Denition 41(Romb p477).[Gourdon p230] Forme quadratique denie. Proposition 42(Gourdon p231).Denie implique non degeneree.ker(q)C q. Contre exemple 43(Gourdon p231).Exemple 44.A7!Tr(tAA)est denie positive.A7!Tr(A2)ni positive, ni negative,q(x;y;z) =x2+y2est positive,q(x;y) =x2y2ni positive, ninegative.Exemple 45.qest denie siCq=f0g.
Proposition 46(Gourdon p235).Inegalite de Cauchy Schwarz.Proposition 47(Gourdon p235).Une forme quadratique positive est nondegeneree si et seulement si elle est denie.
Proposition 48(Gourdon p235).Minkowski.
Proposition 49(Gourdon p235).Siqest positive alorspqest une norme.2 Reduction et classication des formes qua-
dratiques2.1 Reduction en forme diagonale : reduction de Gausset theoreme spectral
Denition 50(Gourdon p231).Basesq-orthogonales.
Remarque 51(Gourdon p231).Dans une telle base, la matrice deqestdiagonale. Exemple 52(Seguin p88).Pour la forme quadratiqueq(x) =Paix2i, labase canonique est orthogonale. Proposition 53(Gourdon p231).Existence de baseq-orthogonale. Corollaire 54(Seguin p231).Toute forme quadratique est representee parune matrice diagonale. Application 55(Gourdon p231).[Romb p476] AvecAsymetrique.Theoreme 56(Romb p471).Reduction de Gauss.
Remarque 57.Cette decomposition s'obtient de facon eective, en eliminantdes variables au fur et a mesure de la construction desliet en utilisant l'iden-
titexy= (1=4)((x+y)2(xy)2). Exemple 58(Romb p487).Exemple avec une forme quadratique.Proposition 59(Gridone p305).Siqest une forme quadratique, il existeune baseq-orthonormee si et seulement siqest denie positive, ie sa formepolaire est un produit scalaire.
Application 60(Romb p476).Alorsrg(q) =retker(q) =fx2E;l1(x) =0;:::;lr(x) = 0g.
Remarque 61.Le theoreme de pseudo-reduction simultanee (et son in- terpretation en termes de bases orthogonales). SiK=R, siq12Q(E)denie positive etq22Q(E), il existe une base deEorthonormee pourq1et ortho-gonale pourq2.Remarque 62.Cette methode est moins ecace que la methode de Gaussmais permet d'avoir une base orthogonale a la fois pour q et pour le produitscalaire ambiant. Elle est utile pour determiner la forme d'une quadrique surune base orthonormee sans avoir a la dilater/contracter.
Exemple 63.Obtention d'une base orthogonale a la fois pour q et pour<:;: >.Application 64.log concavite du determinant.
Proposition 65.John Loewner.
2.2 Signature d'une forme quadratique reelle
Proposition 66(Seguin p100).[H2G2][Romb p478] Matrice equivalente pourqde rangr. Proposition 67(Romb p479).Il existe un unique couple(s;t)tel que pour toute baseq-orthogonale, le nombre de vecteurseitels queq(ei)>0est egal aset celui tel queq(ei)<0soit egal at. De plus,s+t=rg(q).Denition 68(Romb p479).Signature.
Proposition 69(Romb p480).Caracterisation de la signature en fonctiondes sev.Proposition 70(Gourdon p324).[Romb p480][H2G2] Theoreme d'inertiede Silvester.Classication surRet denition de la signature.
Application 71(Escoer p637).Il y a(n+1)(n+2)=2classes d'equivalencesde formes quadratiques reelles. Denition 72.Deux formes quadratiquesq1;q2sont dites equivalentes s'ilexisteu2GL(E)tel queq2=q1u.Corollaire 73.Deux formes quadratiques reelles sont equivalentes si et seule-ment si elles ont la m^eme signature.
Exemple 74(Grifone p310).Un exemple.
Corollaire 75(Grifone p310).Caracterisation deqdenie positive,qestnon degeneree. Application 76.Il y an+ 1classes d'equivalences de formes quadratiquesnon-degenerees surRnProposition 77.Formes de Hankel.
Proposition 78(Romb p481 + 700).qest denie positive si et seulementsi ses mineurs principaux sont strictement positifs.
Application 79(Romb).S++nest ouvert.3 Application en geometrie dierentielle : etude de la hessienneDenition 80(Rouviere p293).Dierentielle seconde.
Proposition 81.SifestC2alorsd2denit une forme bilineaire symetriquedonc une fq. Proposition 82(Rouviere p294).Forme bilineaire deRnde matrice...Theoreme 83(Rouviere p294).Theoreme de Schwarz.
Remarque 84.On peut ainsi associer a la hessienne de f une forme quadra-tique. Remarque 85.Cette forme quadratique apparait naturellement dans la for-mule de Taylor a l'ordre2.Proposition 86(Rouviere p371).CNS d'extremum.
Exemple 87.f(x) =< Ax;x >< b;x >avecAsymetrique denie po- sitive.Dx(f)(h) = 2< Ax;h >< b;h >=<(2Ax+b);h >s'annule en x0=1=2A1b:EtD2x
0(f)(h;h) =< Ah;h >est denie positive. Doncf
admet un minimum global qui est atteint.Application 88.Resolution deAx=b.
Proposition 89(Rouviere).Lemme de Morse.
Application 90(Rouviere).Etude de la position d'un plan tangent par rap-port a une surface.4 Coniques anes
Remarque 91(Romb p497).On se place dans un plan ane euclidienP. On se donne un repere orthonorme deP, cela revient ) travailler dansR2.4.1 Coniques et formes quadratiques
Denition 92(Romb p524).On appelle conique du planPtout ensembleC de pointsM(x;y)2Pveriant une equation de la formeax2+bxy+cy2+ dx+ey+f= 0, aveca;b;c;d;e;f2R;(a;b;c)6= (0;0;0).Remarque 93(Romb p524).Posons(x;y) =ax2+bxy+cy2+dx+ey+f.Alors=q+l+fouqest la forme quadratique non nulle denie par
q(x;y) =ax2+ 2bxy+cy2,lest la forme lineairel(x;y) =dx+eyetfestune constante. Exemple 94(Romb p524).L'equationxy= 0decrit une conique constitueepar deux droites secantes, d'equationsx= 0ety= 0. L'equationx2+y21 = 0decrit une conique constituee du cercle de centreOet de rayon1.
Denition 95(Romb p525).Centre d'une conique.
Proposition 96(Romb p525).M0est un centre si et seulement si(x0;y0)est solution deax0+by0=d=2etbx0+cy0=e=2, soit en termes matriciels A(x0;y0)t=B, ouAest la matrice de la forme quadratique dans la base canonique deR2.Proposition 97(Romb p525).L'ensemble des centres d'une conique est soitvide, soit reduit a un point, soit une droite. Une conique est a centre si etseulement siqest non degeneree.
Remarque 98(Romb p526).Les centres sont les points singuliers de.Exemple 99(Romb p527).yx2= 0n'est pas a centre.
Remarque 100(Romb p527).SiCest une conique a centre, en placantl'origine au centre, cette conique a une equation de la formeq(X) =ouqest une forme quadratique non degeneree etune constante.
4.2 Reduction des coniques
Proposition 101(Romb p527).Il existea1,a2tels queq(X) =a1x21+a2x22dans une certaine base. Proposition 102(Romb p527).Distinction des dierents cas : ellipse, hy- perbole, vide,f(0;0)g.Exemple 103(Romb p527).x2+y2+ 4xy+ 4(x+y)8 = 0.
Proposition 104(Grione p414).Classication ane des coniques en fonc- tion de Q et q. (Dans un grand tableau prenant la signature deQ, la forme deC(q), et la conique resultant de cela).4.3 Denitions par foyer et directrice
Denition 105(Romb p497).Conique de directriceD, de foyerFet d'ex-centricitee. Axe focal. Proposition 106(Romb p499).Equation cartesienne dans(F;i;j). Proposition 107(Romb p500).L'axe focal est un axe de symetrie de laconique. Proposition 108(Romb p507).Sie <1, la coniqueCadmet pour equationdans un certain repere orthonormalx2=a2+y2=b2= 1;a;b2R. C'estune ellipse, qui admet les axes du repere comme axes de symetrie et l'originecomme centre de symetrie. Elle admet en particulier un deuxieme foyerF0etune deuxieme directriceD0.
Proposition 109(Romb p514).Caracterisation bifocale.Proposition 110(Romb).Parametrisation de l'ellipse.
Proposition 111.Sie >1, la coniqueCadmet pour equation dans uncertain repere orthonormalx2=a2y2=b2= 1;a;b2R. C'est une hyperbole,qui admet les axes du repere comme axes de symetrie et l'origine comme centrede symetrie. Elle admet en particulier un deuxieme foyerF0et une deuxiemedirectriceD0.
Proposition 112(Romb p516).Caracterisation bifocale de l'hyperbole. Proposition 113.Une hyperbole admet la parametrisationx(t) = ach(t);y(t) =bsh(t). Proposition 114.Sie= 1, la coniqueCadmet pour equation dans un certain repere orthonormaly2= 2px. C'est une parabole, qui admet l'axeOxcomme axe de symetrie. Proposition 115.Une telle parabole admet la parametrisationx(t) = t2=2p;y(t) =t.
Proposition 116.Par5points du plan passe une conique. Elle est uniquesi et seulement si aucun sous-ensemble de4points parmi les5n'est aligne.
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] grille evaluation croquis
[PDF] forme trigonométrique de 2i
[PDF] forme trigonométrique cos et sin
[PDF] démonstration forme exponentielle nombre complexe
[PDF] nombre complexe forme algébrique
[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+
[PDF] enlever ecriture scientifique casio graph 35+
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+e
[PDF] forme trigonométrique de
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 25+
[PDF] calculatrice ecriture scientifique en ligne
[PDF] confiance au travail définition
[PDF] confiance en soi au travail
