[PDF] Formes Quadratiques Réelles-171

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Formes Quadratiques Réelles-171

0. Prequel

Une forme quadratique sur un espace vectorielEde dimension finie est tout simplement une fonction polynomiale homogène de degré2en les coordonnées (ce qui ne dépend pas de la base choisie). En caractéristique différente de2, les formes quadratiques sont en bijection avec les formes bilinéaires symétriques; la bijection est donnée par la fameuse formule b(x;y) =12 (q(x+y)q(x)q(y)); et l"avantage de cette " forme polaire » est de pouvoir définir une matrice (symétrique) associée dans une base fixée. La théorie classique part donc de la forme bilinéaire symétrique, mais en pratique, la définition d"origine de la forme quadratique (le degré2) ne doit pas être perdue de vue. Il y a plusieurs façons d"aborder une forme quadratiqueqde forme polaire b: 1. P arsa matrice (symétrique) dans une base A:= (b(ei;ej))1i;jn. 2. P arson endomorphisme asso cié', via un produit scalaire :b(u;v) = hu;'(v)i. 3. P arsa form ulep olynomialeexpli cite(par exem plep ourla métho dede

Gauss).

Comme d"habitude en algèbre linéaire, il ne faut pas se leurrer : une matrice symétrique est bien tentante car elle permet de faire des calculs plutôt que des raisonnements. Mais il ne faut jamais oublier que cette matrice n"est que l"ombre d"un objet plus géométrique : la forme quadratique dont elle est la matrice dans la base canonique deKn. Cette forme quadratique est plus souple (et solide à la fois!) : elle permet de passer à la géométrie et de faire plus aisément des considérations de changements de bases. Peaux de bananes classiques et pièges à mammouths : 1. Ne pas confondre le no yaude la forme quadratique (qui est un sous- espace) et le cône isotrope (qui est juste un cône). Le premier est inclus dans le second, strictement sauf dans les cas positifs ou négatifs. 1

2.Ne pas confondre non dégénéré et d éfinip ositif.

3. L arestriction d"une form equadratique non dégénérée à un sous-espace Fpeut être dégénérée. En fait, le noyau de cette restriction est égal à F\F?. En revanche, la restriction reste non dégénérée pour un produit scalaire. 4. Dans le même ordre d"idée, même dans le cas non dégénéré, l"orthogo- nal d"un sous-espaceFn"est pas toujours en somme directe avec son orthogonalF?. 5. I ly a plusieurs classifications des coniques !La classification affine (G= GA2), la classification euclidienne (G= Is2(E), voir le groupe des similitudesG=RIs2(E)) pour se restreindre au programme, et la classification projective (G= PGL3(R)). Tout ce qui suit est (sauf exception) dans le livre [1].

I. Les fondamentaux

1. Orbites de congruence p ourl"action de GLn(R)par congruence sur S n(R), classifiées par la signature (théorème de Sylvester), [1, V-1.4.1(ii), B.3]. 2. L essta bilisateursd"orbites son tles group esorthogonaux. F ormenor- male. GroupesO(p;q), [1, V-1.4.7]. 3. L ienen treréduction et congruence 270-272 : le théorème d"orthog ona- lisation simultanée, [1, V-5.3, 5.4, 5.5, 5.6]. Ne pas louper : deux matrices sontOn-congruentes si et seulement si elles sontOn-semblables. 4. Co niquesréelles. Classification affine, classification euclidienne, [1, V- 6]. 5. L eterme d"ordre 2dans le développement de Taylor d"une fonctionC2 deRndansRest une forme quadratique. En cas de singularité, cette forme quadratique (en fait, sa signature) décide de quel type est cette singularité.

II. Questions classiques du jury

1.

Métho dede Gauss, [1, V-1.3.1].

2. Soit f,gdeux formes linéaires sur un espace vectoriel réelE. Montrer quefgest une forme quadratique. Quelle est son rang et sa signature? [1, V-D.2] 3. P ourquoiune matrice symétriq uedéfinie p ositiveSpeut s"écrire sous la formeS=tPP, [1, V-B.3.7 (iv)]. 2

4.P ouvez-voustrouv erune matrice symétrique non d iagonalisable?

Bon ben déjà pas surR, alors disons surC:(1ii1) 5. P ourquoiune fo rmequadratique d éfinieest-elle forcémen tdéfi niep osi- tive ou définie négative, [1, V-D.1]? 6. Dessiner les nap pesquadratiques en dimension 3, i. e.les surfaces d"équationq(u) =k,u2R3,k2R. 7. Si une matrice symétrique est définie p ositive,toutes ses sous-matrices principales sont symétriques définies positives voir [1, V-D.3] pour une considération plus générale. 8. L ethéorème de Witt dans le cas réel, [1, V-D.15]. Dans le cas où qjF est non dégénéré (plus facile). Le cas oùqjFest dégénéré demande le gonflement hyperbolique, voir [1, V-D.14].. 9. On supp oseque qest une forme quadratique sur un espace réel de dimensionn, de signature(s;t), avecs+t=n. Quelle est la dimension d"un sous-espace isotrope maximal?Réponse :minfs;tg: 10. Quelle est la signature de la forme quadratique tr(tAA)sur l"espace M n(R)? Et la formetr(A2)? Au fait, pourquoi ce sont bien des formes quadratiques? Voir [1, V-D.8)].

III. Les rigolos

1. Ca ractérisationgéométrique des v aleurspropres d"une matrice symé- trique réelle par sa forme quadratique associée, [1, V-D27]. D.27 2. T outh yperplancon tientune matrice ort hogonale,[1, V-D.7+VI-B.10]. 3. L egroup eOn(R)est un sous-groupe compact maximal deGLn(R)(ap- plication de la décomposition polaire), [1, VI-1.2.3]. 4. T outsous-group efini de GLn(R)est conjugué à un sous-groupe du groupe orthogonal, [1, VI-1.2.5] 5. L ecône d"Ap olloniusX2+Y2Z2= 0deR3dont les sections sont les coniques. 6. Soit qune forme quadratique surR3de signature(2;1), montrer que la surface d"équationq(u) = 1dansR3est une surface réglée. On peut voir qu"elle est non vide grâce à Sylvester, puis, que pour toutusolution, le sous-espaceq-orthogonal àucontient un élément isotrope non nul v, ce qui prouve que la droite affineu+vest incluse dans l"ensemble solution. Voir aussi, [1, VI-B.16, 7)].

IV. Les développements

1. Théorème de Sylv ester,[1, V-1.4.1, B.3]. Niv eau: 2, Originalité : 1 3

2.L "adhérencedes orbites de congruence, [1, V-1.5.2]. Niv eau: 4, Origi-

nalité : 4 3. L ienen treréduction et congruence : le théorème d"orthogonalisation simultanée, [1, V-5.4]. Niveau : 3, Originalité : 2 4. Critère p ourla signature d"une matrice symétrique réelle par les mi- neurs principaux, [1, V-D.3]. Corollaire 5.6. Niveau : 2, Originalité : 3 5.

Déco mpositionp olairee tapplications :

(a) Etude du group eO(p,q)+O(p,q) est compact ssi la forme quadra- tique est définie, [1, V-B.5, VI-A].Niveau : 4, Originalité : 3 (b) T outh yperplancon tientune matrice orthogonale, [1, V-D.7+VI-

B.10]. Niveau : 3, Originalité : 5

6. F ormesde Hank el,[1, V-D.26]. Niv eau: 4, Originalité : 3 7. Représen tationsur l"espace des formes bilinaires symétriques, [2, X- B.21]. Indicateur de Frobenius Schur, [2, X-E.6]. Niveau : 5, Originalité : 4

Références

[1] Philipp eCaldero et Jérôme Germoni. Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries. Calvage et Mounet, 2017. [2] Philipp eCaldero et Jé rômeGermo ni.Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries-Tome 2. Calvage et Mounet, 2015. 4 Allez, c"est pas tous les jours Noël! Voilà les goodies!

Exercice 0.1.[**Nullstellensatz quadratique]

SoitEun espace vectoriel de dimension finie sur un corpsKde caractéristique différente de2et soientq,q0deux formes quadratiques non dégénérées sur

E, de formes polaires respectives'et'0. On note

C q:=fu2E; q(u) = 0g le cône isotrope deq. On suppose qu"il existeunon nula, que l"on supposera fixé dans la suite dansCq, et on veut montrer queCq0=Cqsi et seulement siq0etqsont proportionnelles entre elles. Seule la partie " seulement si » mérite que l"on s"y intéresse! On suppose doncCq0=Cq. On noteHu, resp. H

0u, l"hyperplanborthogonal àupour la formeq, resp.q0.

1. Soit vun vecteur non nul deEet soitDu;v:=fu+v; 2Kg, la droite affine de directionuet " passant par »v. (a) On supp oseici v2Hu. Montrer queCq\Du;vest égal, soit àDu;v, siv2 Cq, soit à l"ensemble vide, siv =2 Cq. (b) On supp oseici v =2Hu. Montrer queCq\Du;vconsiste en un point unique que l"on précisera. 2. (a) Déduire de 1. q ueHu=H0u, puis, qu"il existeu2Ktel que

0(u;?) =u'(u;?).

(b) Déduire ensuite de 1.b) que q0(v) =uq(v)pour toutv =2Hu. Comment conclure queqetq0sont proportionnelles lorsqueK=R ouC? 3.

Mo ntrerque '0(v;w) =u'(v;w)pour toutv;w =2Hu.

On pourra noter que dans ce cas, soitv+w =2Hu, soitv+ 2w =2Hu. 4. Mo ntrerque p ourtout h yperplanHdeE, il existe une base(ei)ideE telle queei=2Hpour touti, puis, conclure queqetq0sont proportion- nelles.a. On voit tout de suite qu"avec les formesq=x2+y2etq0=x2+ 2y2surR2, l"implication serait fausse. b. Commeqest non dégénérée etunon nul, il s"agit bien d"un hyperplan.Soluce 1. On note déjà p ourcommencer que q(u) = 0, et donc q(u+v) =2q(u) + 2'(u;v) +q(v) = 2'(u;v) +q(v): (a) Com mev2Hu, on sait que'(u;v) = 0. La formule ci-dessus 5 prouve queq(u+v) =q(v). On en déduit que siq(v) = 0, D u;v Cqet que sinonDu;v\ Cq=;. (b)

Si v =2Hu, alors'(u;v)6= 0. On obtient0 =q(u+v) =

2'(u;v) +q(v). En caractéristique différente de2, la seule in-

tersection est0u+vpour0:=q(v)2'(u;v). 2. (a) Si on fait une syn thèsede la question 1, on constate que v2Hu si, voir 1.b), et seulement si, voir 1.a),Cq\Du;vest une droite ou le vide. CommeCq=Cq0, il est équivalent de dire quev2H0u.

Donc,Hu=H0u.

Posons'u='(u;?), resp.'0u='0(u;?), dansE, de sorte queHu, resp.H0u, est l"anté-orthogonal de'u, resp.'0u. Plus précisément H u=fx; 'u(x) = 0g=:'uo; H0u=fx; '0u(x) = 0g=:'0uo:

Il vient

K'u= ('ou)?=H?u=H0?

u=K'0u: D"où l"existence deu, qui est clairement non nul. (b) On a bien sûr Cq\Du;v=Cq0\Du;vpar hypothèses. Siv =2Hu, on a alors, par 1.b) : q0(v)2'0(u;v)=q(v)2'(u;v): On obtient l"assertion voulue en utilisant'0(u;v) =u'(u;v). Dans les casRouC, on aq0(v) =uq(v)sur le complémentaire de H u, qui est dense1dansE. Par continuité des formes quadratiques, l"égalité a lieu sur toutE. 3. T outd"ab ord,supp osonsv+w2Hu, alors, par l"absurde, siv+ 2w2 H u, on auraitw= (v+2w)(v+w)2Hu, contrairement à l"hypothèse. Siv+w =2Hu, on peut utiliser la formule classique2'(v;w) =q(v+ w)q(v)q(w), pour déduire aisément notre assertion, par 2.b). Sinon, v+ 2w =2Hu, et on peut utiliser4'(v;w) =q(v+ 2w)q(v)4q(w). 4. Soit Hun hyperplan deE; nous allons construire la base(ei)i. Tout d"abord, on se fixe une base(e0i)ideE, et on construit l"hyperplan H

0d"équationP

ix0i= 0dans cette base. Clairement,H0ne contient aucun des vecteurse0i. SoitgdansGL(E)qui envoieH0surH. Il suffit

de poserei=g(e0i)pour touti, pour obtenir la propriété voulue.1. Six2Huety =2Hu, alorsx+"y =2Hupour tout" >0. On en déduit la densité du

complémentaire. 6 Si l"on poseH=Hu, on voit, par 3), que dans la base(ei)ainsi construite, les matrices de'0et'sont proportionnelles. Donc,'0et' sont proportionnelles, ce qui fournit le résultat attendu. 7quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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