[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Systèmes différentielsNous allons voir comment des méthodes d"algèbre linéaire permettent de résoudre des problèmes

d"analyse. Dans ce chapitre, les matrices sont à coefficients réels ou complexes.

1. Cas d"une matrice diagonalisable

1.1. Introduction

Vous savez résoudre les équations différentielles du typex0(t) =ax(t), où la dérivéex0(t)est liée

à la fonctionx(t). Par exemple, siaest une constante, les fonctions solutions sont lesx(t) =x0eat

(oùx02R). Plus généralement, on apprend à résoudre les équationsx0(t) =a(t)x(t)+b(t)oùa

etbsont des fonctions det. Dans tous les cas, l"exponentielle joue un rôle central dans l"écriture

des solutions. Considérons maintenant le système différentiel suivant :x0(t) =a x(t)+b y(t) y

0(t) =c x(t)+d y(t)(S)

La situation se complique car les équations sont enchevêtrées :x0(t)est liée àx(t), mais aussi

ày(t). Donc il faudrait d"abord trouvery(t)pour résoudre la première équation. Mais, dans la

seconde équation,y0(t)est liée ày(t), mais aussi àx(t), que l"on n"a pas encore su trouver!

Pour s"en sortir, la solution consiste à considérer le couple(x(t),y(t))comme une seule variable.

On pose

X(t) =x(t)

y(t) ,X0(t) =x0(t) y 0(t) ,A=a b c d Le système différentiel (S) s"écrit alors simplement : X

0(t) =AX(t).

On a alors envie de dire que, comme pour une équation du typex0(t) =ax(t), les solutions de ce type d"équation seraient les fonctions définies par

X(t) =etAX0

(oùX02R2) et ce sera effectivement le cas, une fois que l"on aura défini ce qu"est l"exponentielle

d"une matrice!

Pour l"instant, nous allons voir comment résoudre un système différentiel dans le cas particulier

où la matrice est diagonalisable. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE2

1.2. Écriture matricielleUnsystème différentiel linéaire homogèneest un système d"équations différentielles de la forme :8

:x 0

1(t) =a11x1(t)+a12x2(t)++a1nxn(t)

x 0 n(t) =an1x1(t)+an2x2(t)++annxn(t)(S) où lesaij(16i,j6n) sont des coefficients constants réels ou complexes.

On pose

X(t) =0

@x 1(t) x n(t)1 A ,X0(t) =0 @x 0 1(t) x 0 n(t)1 A ,A=0 @a

11a1n......

a n1ann1 A Avec cette notation matricielle, le système différentiel (S) devient :X

0(t) =AX(t).Résoudre

le système linéaireX0=AX, avecA2Mn(R)(ouA2Mn(C)) une matrice constante, c"est donc trouverX(t)dérivable (c"est-à-direnfonctionsx1(t),...,xn(t)dérivables) tel que

X0(t) =AX(t), pour toutt2R.

Remarque.

Dans le casn=1, on retrouve simplement une seule équation que l"on écritx0(t) =ax(t)et dont les solutions sont lesx(t) =x0eat, pour n"importe quelle constante (réelle ou complexe) x0. L"ensemble des solutions est un espace vectoriel. En effet, on prouve facilement que l"ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l"ensemble des fonctions dérivables deRdans Rn: la fonction identiquement nulle est solution et, siX1etX2sont solutions, alorsX1+X2 est aussi solution (avec,2R).

Exemple 1(Système diagonal).

SiAest une matrice diagonale à coefficients réels, alors le système s"écritX0=AXavec A=0 B BB@ 100
0 ......0 00n1 C

CCA, c"est-à-dire8

:x 0

1(t) =1x1(t)

x 0 n(t) =nxn(t). On résout indépendamment chaque équationx0 i(t) =ixi(t), dont les solutions sont lesxi(t) = kieit,ki2R. Les solutionsX(t)sont donc les fonctions

X(t) =0

@k 1e1t k nent1 A oùk1,...,knsont des constantes réelles.

Exemple 2(Système triangulaire).

Un système triangulaire n"est pas tellement plus compliqué à résoudre. En effet, siAest une matrice

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE3 triangulaire, on a : 8>>< >:x 0

1=a11x1+++a1nxn

x 0

2=a22x2++a2nxn...

x 0

n=annxnOn résout le système de proche en proche : on peut d"abord intégrer la dernière équation, puis

reporter la solution dans l"équation précédente (qui devient une équation du typex0(t) =ax(t)+

b(t)) et ainsi en remontant intégrer tout le système.

1.3. Cas diagonalisable

Voici un premier résultat qui affirme que si on connaît un vecteur propre deA, alors on peut lui

associer une solution du système différentiel.Proposition 1. Soient A2Mn(R),une valeur propre de A et V un vecteur propre associé. Alors la fonction

X:R!Rn

t7!etV est solution du système différentiel X

0=AX.Démonstration.SoitX(t) =etV. On a alors

X

0(t) =etV=et(V) =etAV=AX(t).

Cela prouve queX(t)est bien solution du système homogèneX0=AX.Exemple 3. SoitA=3 11 1. On aA(X) = (X2)2, la seule valeur propre deAest donc=2. Déterminons un vecteur propre : soitV=(xy)2R2tel queAV=2V; on a alorsx+y=0, et le vecteurV=11 est un vecteur propre deA. Ainsi l"applicationX(t) =e2t11=e2t e2test une solution du système X0=AX, ce que l"on vérifie aussi à la main.Théorème 1. SoitA2Mn(R)une matrice diagonalisable surR. Notons(V1,...,Vn)une base de vecteurs propres et1,...,nles valeurs propres correspondantes. Alors les fonctionsXi(t) =eitVi(16i6n) forment une base de l"espace des solutions du système X0=AX.Démonstration.

Tout d"abord, par la proposition

1 , lesXi(t) =eitVisont bien des solutions du système diffé- rentiel.

Montrons que ces solutions sont linéairement indépendantes. Soientc1,...,cndes réels tels que

c1X1(t)++cnXn(t) =0.

Cette égalité étant vraie pour toutt2R, elle est vraie en particulier pourt=0où elle devient

c1V1++cnVn=0. Cela impliquec1==cn=0 car lesViforment une base deRn. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE4 •SoitPla matrice dont les colonnes sont les vecteursV1,...,Vn. Alors la matriceP1AP=Dest diagonale. SoitX(t)une solution du système différentielX0=AX. La matrice de passagePétant inversible, notonsY=P1X(doncX=PY). AlorsY0=P1X0=P1AX=P1APY=DY. AinsiYest la solution d"un système différentiel diagonal :8 :y 0

1=1y1...

y 0 n=nynd"oùY(t) =0 @k 1e1t k nent1 A Comme les colonnes dePsont les vecteursV1,...,Vn, alors

X(t) =PY(t) =k1e1tV1++knentVn=k1X1(t)++knXn(t).

On vient de prouver que n"importe quelle solutionX(t)est combinaison linéaire desXi(t). Ainsi la famille(X1,...,Xn)est génératrice de l"espace des solutions. Conclusion :(X1,...,Xn)est une base de solutions.Exemple 4. On veut résoudre le système différentielX0=AXavecX(0) =X0où A=0 @1 44 3 24 33 11
A etX0=0 @1 2 31
A

Valeurs propres et vecteurs propres.

Les valeurs propres deAsont1=1,2=2 et3=5. Les vecteurs propres associés sont V 1=0 @1 1 11 A ,V2=0 @0 1 11 A ,V3=0 @1 1 01 A

Solutions générales.

Nous obtenons trois solutions

X

1(t) =e1tV1=0

@e t e t e t1 A ,X2(t) =e2tV2=0 @0 e 2t e 2t1 A ,X3(t) =e3tV3=0 @e 5t e 5t 01 A Les solutions du systèmeX0=AXsont donc les fonctions de la forme

X(t) =X1(t)+X2(t)+

X3(t) avec,, 2R.

Condition initiale.

On cherche quelle solution vérifie en plusX(0) =X0. Or

X(0) =X1(0)+X2(0)+

X3(0) =V1+V2+

V3=0 +1 A La condition initialeX(0) =X0se transforme donc en le système linéaire :8 =1 =2 +=3 SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS2. EXPONENTIELLE DE MATRICES5On trouve=2,=1, =1. Ainsi l"unique solution qui vérifie le système et la condition initiale est

X(t) =0

@2ete5t

2et+e2te5t

2et+e2t1

A .Mini-exercices. 1. Résoudre l"équation différentielle linéaire d"ordre1:x0(t) =3x(t). Trouver la solution vérifiantx(0) =1. Idem avecx0(t)+x(t) =cost, puisx0(t)+x(t) =tet. 2.

Résoudre le système différentielX0=AXoùA=1 00 2. Trouver la solution vérifiantX(0) =11. Même question avecA=1 10 2.

3. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matriceA=1 22 2. En déduire les solutions du système différentielX0=AX. 4. T rouverles solutions du système différentiel X0=AXoùA=€

4 220 210 0 3Š

.2. Exponentielle de matrices

2.1. Rappels

Avant de définir l"exponentielle de matrices, voici quelques petits rappels sur l"exponentielle réelle

ou complexe. Tout d"abord, pourz2C, l"exponentielle peut être définie par une série : exp(z) =+1X k=0z kk!. On la note aussiez. Retenons quelques propriétés principales : 1. exp (0) =1, 2. exp (z+z0) =exp(z)exp(z0)(8z,z02C), 3. exp (z) =1exp(z)(8z2C), 4. exp (kz) = (exp(z))k(8z2C,8k2Z).

Une autre propriété essentielle est que l"exponentielle définit une fonction dérivable et (pour

a2C) : ddtexp(at) =aexp(at). L"espace vectorielMn(R)étant un espace vectoriel de dimension finie sur lequel toutes les normes sont équivalentes, on en choisit une que l"on notekk. Par exemple,kAk=max16i,j6n(jaijj).

Rappels

: Rappelons la définition d"une série. Soit(un)n2Nune suite. On appelle série de terme généralunla suite(Sn)n2Nde terme généralSn= nX k=0u k . Si cette suite admet une limite, quandn tend vers l"infini, on dit que la série converge et on noteS=+1X k=0u ksa limite. Nous allons maintenant définir ce qu"est l"exponentielle d"une matrice. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS2. EXPONENTIELLE DE MATRICES6

2.2. Exponentielle de matricesLa série de terme général1k!akétant convergente pour touta2R, la série de terme général1k!kAkk

est également convergente pour toute matriceA2Mn(R). Par conséquent, la série +1X k=01k!Ak est convergente dansMn(R).Théorème 2.

Pour toute matrice A2Mn(R), la sérieP

k>0A kk!converge dans Mn(R). On note exp(A) =+1X k=0A kk! sa limite. C"estla matrice exponentielle deA.Notation : on la note aussieA. Ce théorème est aussi valable pour l"exponentielle d"une matrice complexeA2Mn(C). Voici deux exemples simples, mais importants pour la suite.

Exemple 5(Exponentielle d"une matrice diagonale).

SiAest la matrice diagonale

A=0 B BB@ 100
0 ......0 00n1 C

CCA, alorsAk=0

B BB@ k 100
0 ......0 00k n1 C CCA, et donc exp(A) =0 B BB@e 100
0 ......0 00en1 C CCA. Exemple 6(Exponentielle d"une matrice nilpotente). Rappelons qu"une matriceAestnilpotentes"il existeN2Ntel queANsoit la matrice nulle. Pour une telle matrice nilpotente, exp(A)est ainsi unesomme finie: exp(A) =N1X k=0A kk!.

2.3. Propriétés

L"exponentielle de matrices (réelles ou complexes) vérifie les propriétés suivantes :Proposition 2(Propriétés de l"exponentielle).

1.

Si on note O

nla matrice nulle, alorsexp(On) =In. 2. Si A et B 2Mn(R)(ou Mn(C)) vérifient AB=BA, alorsexp(A+B) =exp(A)exp(B). 3. Pour toute matriceA2Mn(R)(ouMn(C)), la matriceexp(A)est inversible et(exp(A))1= exp(A).

4.exp(kA) = (exp(A))kpour tout k2Z.

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS2. EXPONENTIELLE DE MATRICES7

Remarque.

Attention! SiAetBne commutent pas, alors, en général, exp(A+B)6=exp(A)exp(B).Nous ne démontrerons pas ces propriétés, mais nous pouvons cependant faire les remarques

suivantes : Le 1 est évident. Le 2 se démontre comme dans le cas de l"exponentielle complexe, le fait que les matrices commutent permettant d"utiliser la formule du binôme de Newton.

Pour le

3 , on remarque que les matricesAetAcommutent, d"où exp(A)exp(A) =exp(AA) =exp(0n) =In.

Pour le

4 , c"est d"abord une récurrence surk>0, puis on utilise le3 pour obtenir la propriété pourk60.

2.4. Calculs

Le calcul de l"exponentielle d"une matrice peut s"effectuer en se ramenant aux calculs de l"exponen-

tielle d"une matrice diagonale et d"une matrice nilpotente. On se ramènera à une telle situation

par le résultat suivant :Lemme 1. Si A, P2Mn(C), et P est inversible, on aexp(P1AP) =P1exp(A)P.Démonstration. On note que,pourtoutk2N,on aP1AkP= (P1AP)ketl"on revientà la définition de l"exponentielle : exp(P1AP) =+1X k=01k!P1AkP=P1‚ +1X k=01k!AkŒ

P=P1exp(A)P.Méthode de calcul deexp(A).

SiAest diagonale ou nilpotente, il n"y a pas de problème (voir avant). Sinon on utilise la décomposition de DunfordA=+Navecdiagonalisable,Nnilpotente et N=N, ce qui permet d"écrireexp(A) =exp()exp(N). La matriceétant diagonalisable, il existe une matricePinversible telle queD=P1Psoit diagonale, soit encore=PDP1, d"où exp() =exp(PDP1) =Pexp(D)P1. On peut donc toujours calculer l"exponentielle d"une matrice à coefficients dansC.

Exemple 7.

SoitAla matrice

A=0 @1 1 0 0 21

1 1 31

A

Décomposition de Dunford.

La décomposition de Dunford estA=D+Navec

D=0 @2 0 0 0 2 0

0 0 21

A etN=0 @1 1 0 0 01

1 1 11

A SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS2. EXPONENTIELLE DE MATRICES8 IciDest déjà une matrice diagonale puisqueD=2I3, ce qui va simplifier les calculs.

La matrice diagonale.

exp(D) =0 @e 20 0quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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