[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Produit scalaire, espaces euclidiens

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1***PourA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R),N(A) =Tr(tAA). Montrer queNest une norme vérifiant de plusN(AB)6

N(A)N(B)pour toutes matrices carréesAetB.Nest-elle associée à un produit scalaire ?

c"est-à-dire :8(x;y)2E2;jjx+yjj2+jjxyjj2=2(jjxjj2+jjyjj2). On se propose de démontrer quejj jjest

associée à un produit scalaire. On définit surE2une applicationfpar :8(x;y)2E2;f(x;y) =14 (jjx+yjj2 jjxyjj2). 1. Montrer que pour tout (x;y;z)deE3, on a :f(x+z;y)+f(xz;y) =2f(x;y). 2. Montrer que pour tout (x;y)deE2, on a :f(2x;y) =2f(x;y). 3. Montrer que pour tout (x;y)deE2et tout rationnelr, on a :f(rx;y) =rf(x;y). On admettra que pour tout réellet tout(x;y)deE2on a :f(lx;y) =lf(x;y)( ce résultat provient de la continuité def). 4. Montrer que pour tout (u;v;w)deE3,f(u;w)+f(v;w) =f(u+v;w). 5.

Montrer que fest bilinéaire.

6.

Montrer que jj jjest une norme euclidienne.

Vect(V1;V2). Déterminer une base orthonormale deFet un système d"équations deF?.

0P(t)Q(t)dt. Existe-t-ilAélément deR[X]tel que8P2R[X];PjA=P(0)?

G(x1;:::;xn) = (xijxj)16i;j6n(matrice de GRAM) etg(x1;:::;xn) =det(G(x1;:::;xn))(déterminant de GRAM).

1.

Montrer que r g(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).

1

2.Montrer que(x1;:::;xn)estliéesietseulementsig(x1;:::;xn)=0etque(x1;:::;xn)estlibresietseulement

sig(x1;:::;xn)>0. 3. On suppose que (x1;:::;xn)est libre dansE(et doncn6p). On poseF=Vect(x1;:::;xn). Pourx2E, on notepF(x)la projection orthogonale dexsurFpuisdF(x)la distance dexàF(c"est-à-dire d F(x) =jjxpF(x)jj). Montrer quedF(x) =qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).

a^(a^x). Montrer quefest linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image parf.

deR3ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite. De manière générale, matrice de la

projection orthogonale sur le vecteur unitaireu= (a;b;c)et de la projection orthogonale sur le plan d"équation

ax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée deR3.

AdansBsuivants :

1)A=13

0 @2 1 2 2 2 1 12 21 A

2=A=14

0 @3 1p6 1 3p6 p6 p6 2 1 A

3=A=19

0 @8 1 4 4 4 7 1 841 A @a b c c a b b c a1 A aveca,betcréels. Montrer queMest la matrice dans la base canonique orthonormée

directe deR3d"une rotation si et seulement sia,betcsont les solutions d"une équation du typex3x2+k=0

où 06k6427 . En posantk=4sin2j27 , déterminer explicitement les matricesMcorrespondantes ainsi que les axes et les angles des rotations qu"elles représentent. tous vecteursu,vetw. jjx1jj:::jjxnjjen précisant les cas d"égalité. Exercice 12**Montrer queu^vjw^s= (ujw)(vjs)(ujs)(vjw)et(u^v)^(w^s) = [u;v;s]w[u;v;w]s.

0(x4axb)2dxsoit minimum (trouver deux démonstrations,

une dans la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup). unique vecteurxtel que8i2 f1;:::;g;xjei=ai.

obtusangle si et seulement si pour tout(i;j)tel quei6=j,xijxj<0. Montrer que l"on a nécessairement

p6n+1.

1P2(t)dt=1. Montrer que supfjP(x)j;jxj61g62. Cas d"égalité ?

estq. Montrer que pour toutxdeR3,r(x) = (cosq)x+(sinq)(k^x)+2(x:k)sin2(q2 )k. Application : écrire la matrice dans la base canonique (orthonormée directe deR3) de la rotation autour dek=1p2 (e1+e2)et d"angle q=p3

0fn(t)dt. Montrer que la suite

u n=In+1I nest définie et croissante.

1P(t)Q(t)dt.

1.

Montrer que (E;j)est un espace euclidien.

2. Pour pentier naturel compris entre 0 etn, on poseLp= ((X21)p)(p). Montrer queLpjjLpjj

06p6nest

l"orthonormalisée de SCHMIDTde la base canonique deE.

DéterminerjjLpjj.

Correction del"exer cice1 NPosonsj:(A;B)7!Tr(tAB). Montrons quejest un produit scalaire surMn(R).1ère solution.•jest

symétrique. En effet, pour(A;B)2(Mn(R))2, j(A;B) =Tr(tAB) =Tr(t(tAB)) =Tr(tBA) =j(B;A):

•jest bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. • SiA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R)nf0g, alors

j(A;A) =nå i=1 nå j=1a i;jai;j! i;ja2i;j>0 car au moins un des réels de cette somme est strictement positif.jest donc définie, positive.

2ème solution.PosonsA= (ai;j)etB= (bi;j). On a

Tr(tAB) =ånj=1(åni=1ai;jbi;j) =å16i;j6nai;jbi;j.

Ainsi,jest le produit scalaire canonique surMn(R)et en particulier,jest un produit scalaire surMn(R).

Nn"est autre que la norme associée au produit scalairej(et en particulier,Nest une norme). Soit(A;B)2

(Mn(R))2.

N(AB)2=å

i;j nå k=1a i;kbk;j! 2 6 i;j nå k=1a2i;k! nå l=1b2l;j! (d"après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ) i;j;k;la2i;kb2l;j= i;ka2i;k! l;jb2l;j! =N(A)2N(B)2; et donc,

8(A;B)2(Mn(R))2;N(AB)6N(A)N(B).Correction del"exer cice2 N1.Soit (x;y;z)2R3.

f(x+z;y)+f(xz;y) =14 (jjx+z+yjj2+jjxz+yjj2jjx+zyjj2jjxzyjj2) 14 2.

2 f(x;y) =f(x+x;y)+f(xx;y) =f(2x;y)+f(0;y)maisf(0;y) = (jjyjj2jjyjj2) =0 (définition

d"une norme). 3. • Montrons par récurrence que 8n2N;f(nx;y) =nf(x;y). C"est clair pourn=0 etn=1. Soitn>0. Si l"égalité est vraie pournetn+1 alors d"après 1), f((n+2)x;y)+f(nx;y) =f((n+1)x+x;y)+f((n+1)xx;y) =2f((n+1)x;y); et donc, par hypothèse de récurrence, f((n+2)x;y) =2f((n+1)x;y)f(nx;y) =2(n+1)f(x;y)nf(x;y) = (n+2)f(x;y): 4 Le résultat est démontré par récurrence. • Soitn2N,f(x;y) =fn1n :x;y=nf1n x;yet donc f1n x;y=1n f(x;y). • Soit alorsr=pq ,p2N,q2N,f(rx;y) =1q f(px;y) =p1q f(x;y) =rf(x;y)et donc, pour tout rationnel positifr,f(rx;y) =rf(x;y). Enfin, sir60,f(rx;y)+f(rx;y) =2f(0;y) =0 (d"après 1)) et donc=f(rx;y) =f(rx;y) =rf(x;y).

8(x;y)2E2;8r2Q;f(rx;y) =rf(x;y).

4.

On pose x=12

(u+v)ety=12 (uv). f(u;w)+f(v;w) =f(x+y;w)+f(xy;w) =2f(x;w) =2f12 (u+v);w =f(u+v;w): 5.

f est symétrique (définition d"une norme) et linéaire par rapport à sa première v ariable(d"après 3) et 4)).

Donc f est bilinéaire.

6. f est une forme bilinéaire symétrique. Pour x2E,f(x;x) =14 (jjx+xjj2+jjxxjj2) =14 jj2xjj2=jjxjj2

(définition d"une norme) ce qui montre tout à la fois quefest définie positive et donc un produit scalaire,

et quejj jjest la norme associée.jj jjest donc une norme euclidienne.Correction del"exer cice3 NLa famille(V1;V2)est clairement libre et donc une base deF. Son orthonormalisée(e1;e2)est une base

orthonormée deF.jjV1jj=p1+4+1+1=p7 ete1=1p7

V1=1p7

(1;2;1;1).(V2je1)=1p7 (0+611)= 4p7 puisV2(V2je1)e1= (0;3;1;1)47 (1;2;1;1) =17 (4;13;11;11)puise2=1p427 (4;13;11;11).

Une base orthonormée deFest(e1;e2)oùe1=1p7

(1;2;1;1)ete2=1p427 (4;13;11;11). Soit(x;y;z;t)2 R 4.

3y+zt=0:Correction del"exer cice4 NSoitAun éventuel polynôme solution c"est à dire tel que8P2R[X];R1

0P(t)A(t)dt=P(0).

P=1 fournitR1

0A(t)dt=1 et donc nécessairementA6=0.P=XAfournitR1

0tA2(t)dt=P(0)=0. Mais alors,

8t2[0;1];tA2(t) =0 (fonction continue positive d"intégrale nulle) puisA=0 (polynôme ayant une infinité de

racines deux à deux distinctes).An"existe pas.Correction del"exer cice5 N1.Soit Bune base orthonormée deEetM=MatB(x1;:::;xn)(Mest une matrice de format(p;n)). Puisque

Best orthonormée, le produit scalaire usuel des colonnesCietCjest encorexijxj. Donc,8(i;j)2 [[1;n]]2;tCiCj=xijxjou encore

G=tMM.Il s"agit alors de montrer que rg(M) =rg(tMM). Ceci provient du fait queMettMMont même noyau.

En effet, pourX2Mn;1(R),

X2KerM)MX=0)tMMX=0)(tMM)X=0)X2Ker(tMM)

et 5 X2Ker(tMM))tMMX=0)tXtMMX=0)t(MX)MX=0) jjMXjj2=0)MX=0 )X2KerM:

Ainsi, Ker(M)=Ker(tMM)=Ker(G(x1;:::;xn)). Maisalors, d"aprèslethéorèmedurang, rg(x1;:::;xn)=

rg(M) =rg(G(x1;:::;xn)).

rg(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).2.Si la f amille(x1;:::;xn)est liée, rg(G) =rg(x1;:::;xn) formatn,g(x1;:::;xn) =det(G) =0. Si la famille(x1;:::;xn)est libre,(x1;:::;xn)engendre un espaceF de dimensionn. SoientBune base orthonormée deFetMla matrice de la famille(x1;:::;xn)dansB. D"après 1), on aG=tMMet d"autre part,Mest une matrice carrée. Par suite, g(x1;:::;xn) =det(tMM) =det(tM)det(M) = (detM)2>0: 3. On écrit x=xpF(x)+pF(x). La première colonne deg(x;x1;:::;xn)s"écrit : 0 B

BBBB@jjxjj2

xjx1 xjx2... xjxn1 C

CCCCA=0

B

BBBB@jjxpF(x)+pF(x)jj2

xpF(x)+pF(x)jx1 xpF(x)+pF(x)jx2... xpF(x)+pF(x)jxn1 C

CCCCA=0

B

BBBB@jjxpF(x)jj2

0jx1

0jx2...

0jxn1 C

CCCCA+0

B

BBBB@jjpF(x)jj2

p

F(x)jx1

p

F(x)jx2...

p

F(x)jxn1

C

CCCCA:

(en 1ère ligne, c"est le théorème de PYTHAGOREet dans les suivantes,xpF(x)2F?). Par linéarité

par rapport à la première colonne,g(x;x1;:::;xn)est somme de deux déterminants. Le deuxième est

g(pF(x);x1;:::;xn)et est nul car la famille(pF(x);x1;:::;xn)est liée. On développe le premier suivant sa

première colonne et on obtient : g(x;x1;:::;xn) =jjxpF(x)jj2g(x1;:::;xn); ce qui fournit la formule désirée.

8x2E;d(x;F) =kxpF(x)k=qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).Correction del"exer cice6 NJe vous laisse vérifier la linéarité. Sixest colinéaire àa,f(x) =0 et les vecteurs de Vect(a)nf0gsont des

vecteurs non nuls colinéaires à leur image. Sixn"est pas colinéaire àa,a^xest un vecteur non nul orthogonal

àaet il en est de même def(x) =a^(a^x). Donc, sixest colinéaire àf(x),xest nécessairement orthogonal

àa. Réciproquement, sixest un vecteur non nul orthogonal àa,f(x) = (a:x)akak2x=jjajj2xetxest

colinéaire àf(x). Les vecteurs non nuls colinéaires à leur image sont les vecteurs non nuls de Vect(a)et dea?.Correction del"exer cice7 NUn vecteur engendrantDest!u= (2;1;3). Pour(x;y;z)2R3,

p((x;y;z)) =(x;y;z)j(2;1;3)jj(2;1;3)jj2(2;1;3) =2x+y+3z14 (2;1;3): 6

OnendéduitqueMat

Bp=P=114

0 @4 2 6 2 1 3

6 3 91

A , puisMatBs=2PI=17 0 @3 2 6 26 3

6 3 21

A . Plusgénéralement,

la matrice de la projection orthogonale sur le vecteur unitaire(a;b;c)dans la base canonique orthonormée est

P=0 @a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A et la matrice de la projection orthogonale sur le planax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée estIP=0 @1a2abac ab1b2bc acbc1c21 A .Correction del"exer cice8 N1.kC1k=kC2k=13 p4+4+1=1 etC1jC2=19 (2+42) =0. Enfin, C

1^C2=19

0 @2 2 11 A ^0 @1 2 21
A =19 0 @6 3 61
A =13 0 @2 1 21
A =C3: Donc,A2O+3(R)etfest une rotation (distincte de l"identité).Axe def.SoitX2M3;1(R).

AX=X,8

:xy2z=0

2x5yz=0

x+2y5z=0,8 :z=2x5y

3x+9y=0

9x+27y=0,x=3y

z=y: L"axeDdefest Vect(!u)où!u= (3;1;1).Dest dorénavant orienté par!u.Angle def.Le vecteur!v=1p2 (0;1;1)est un vecteur unitaire orthogonal à l"axe. Donc, cosq=!v:f(!v) =1p2 (0;1;1):1p2 13 (1;1;4) =16 5=56 et donc,q=arccos(56 ) (2p). (Si on sait que Tr(A) =2cosq+1, c"est plus court : 2cosq+1=23 23
23
fournit cosq=56 ). Le signe de sinqest le signe de[!i;f(!i);!u] = 1 23
3 023
1 013 1 =13 <0. Donc, fest la rotation d"anglearccos(56 )autour deu= (3;1;1).2.jjC1jj=jjC2jj=14 p9+1+6=1 etC1jC2=116 (3+36) =0. Enfin, C

1^C2=116

0 @3 1 p6 1 A ^0 @1 3p6 1 A =116 0 @4p6 4p6 81
A =14 0 @p6 p6 21
A =C3: Donc,A2O+3(R)etfest une rotation.Axe def.SoitX2M3;1(R).

AX=X,8

:x+y+p6z=0 xyp6z=0 p6x+p6y2z=0,xy=p6z=2p6 z,x=yetz=0: L"axeDdefest Vect(!u)où!u= (1;1;0).Dest dorénavant orienté par!u.Angle def.!k= [0;0;1) est un vecteur unitaire orthogonal à!u. Par suite, 7 cosq=!k:f(!k) = (0;0;1):14 (p6;p6;2) =12 etdonccosq=p3 (2p). Lesignedesinqestlesignedeh!i;f(!i);!ui

1 3=4 1

0 1=4 1

0p6=4 0

=1p6 >0. Donc, fest la rotation d"anglep3 autour de!u= (1;1;0).3.jjC1jj=jjC2jj=19 p64+16+1=1 etC1jC2=181 (816+8) =0. Enfin, C

1^C2=181

0 @8 4 11 A ^0 @1 4 81
A =181 0 @36 63
361
A =19 0 @4 7 41
A =C3: Donc,A2O3(R).An"est pas symétrique, et doncfn"est pas une réflexion.fest donc la composée commutativesrd"une rotation d"angleqautour d"un certain vecteur unitaire!uet de la réflexion de plan!u?où!uetqsont à déterminer.Axe der.L"axe derestKer(f+IdE)(carf6=IdE).

AX=X,8

:17x+y+4z=0

4x+13y+7z=0

x+8y+5z=0,8 :y=17x4z

225x45z=0

135x27z=0,z=5x

y=3x Ker(f+IdE) =Vect(!u) =Doùu= (1;3;5).Dest dorénavant orienté par!u.sest la réflexion par rapport au planP=u?dont une équation estx+3y5z=0. On écrit alors la matriceSdesdans la base

de départ. On calculeS1A=SAqui est la matrice deret on termine comme en 1) et 2).Correction del"exer cice9 NSoitfl"endomorphisme deR3de matriceMdans la base canonique deR3.

fest une rotation,M2O+3(R), jjC1jj=jjC2jj=jjC3jj=1 etC1jC2=C1jC3=C2jC3=0 et detM=1 ,a2+b2+c2=1 etab+bc+ca=0 eta3+b3+c33abc=1: Posonss1=a+b+c,s2=ab+bc+caets3=abc. On aa2+b2+c2= (a+b+c)22(ab+ac+bc) = s

212s2. Ensuite,

s

31= (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+ba2+a2c+ca2+b2c+c2b)+6abc;

et s

1(s212s2) = (a+b+c)(a2+b2+c2) =a3+b3+c3+(a2b+b2a+a2c+c2a+b2c+c2b):

Donc, s

313s1(s212s2) =2(a3+b3+c3)+6s3

et finalement,a3+b3+c3=s313s1s2+3s3.

M2O+3(R),s2=0 ets212s2=1 ets313s1s2=1

,s2=0 ets1=1 ,a;betcsont les solutions réelles d"une équation du typex3x2+k=0(oùk=s3): 8 PosonsP(x) =x3x2+ket doncP0(x) =3x22x=x(2x3). Sur]¥;0],Pest strictement croissante, strictement décroissante sur0;32 et strictement croissante sur32 ;+¥.Padmet donc au plus une racine dans chacun de ces trois intervalles.1er cas.SiP(0) =k>0 etP23 =k427 <0 ou ce qui revient au même, 0

) etPadmet une racine réelle d"ordre au moins 2. La troisième racine est alors nécessairement réelle.

3ème cas.Sik<0 ouk>427

, P admet une racine réelle exactement. Celle-ci est nécessairement simple au vu

du 2ème cas et doncPadmet deux autres racines non réelles. En résumé,Pa toutes ses racines réelles si et

seulement si 06k6427 et donc,fest une rotation si et seulement sia,betcsont les solutions d"une équation du typex3x2+k=0 où 06k6427 .Correction del"exer cice10 N[u^v;v^w;w^u] = ((u^v)^(v^w))j(w^u) = (((u^v)jw)v((u^v)jv)w)j(w^u) = (((u^v)jw)v)j(w^u) = ((u^v)w)(vj(w^u)) = [u;v;w][w;u;v]

= [u;v;w]2:Correction del"exer cice11 NSi la famille(xi)16i6nest une famille liée, l"inégalité est claire et de plus, on a l"égalité si et seulement si

l"un des vecteurs est nuls. Si la famille(xi)16i6nest une famille libre et donc une base de E, considérons

B

0= (e1;:::;en)son orthonormalisée de SCHMIDT. On a

j car det

BB0est le déterminant d"une d"une base orthonormée dans une autre et vaut donc 1 ou1. Maintenant,

la matrice de la famille(xi)16i6ndansB0est triangulaire supérieure et son déterminant est le produit des

coefficients diagonaux à savoir les nombresxijei(puisqueB0est orthonormée). Donc jdetB(xi)16i6nj=jdetB0(xi)16i6nj= nÕ i=1(xijei)

6nÕ

i=1kxikkeik=nÕ i=1jjxijj;

d"après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ. De plus, on a l"égalité si et seulement si, pour touti,jxijeij=

kxikkeikou encore si et seulement si, pour touti,xiest colinéaire àeiou enfin si et seulement si la famille

(xi)16i6nest orthogonale.Correction del"exer cice12 N(u^v)j(w^s)=[u;v;w^s]=[w^s;u;v]=((w^s)^u)jv=((ujw)s(ujs)w)jv=(ujw)(vjs)(ujs)(vjw). De

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