Formes quadratiques
Rang et signature des formes quadratiques suivantes : Pour tout élément P de E Q(P) = B(P
Exo7 - Exercices de Michel Quercia
V Algèbre bilinéaire. 124. 43 Produit scalaire. 124. 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. 130. 45 Formes quadratiques.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que f est linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image par f. Correction ? 6. f est une forme bilinéaire symétrique.
livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. La forme générale d'un système linéaire de n équations à p inconnues est la suivante :.
Correction de quelques exercices de la feuille no 5: Formes
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques forme bilinéaire symétrique sur E. Montrer que la forme quadratique associée `a ? est définie ...
Matrice dune application linéaire
Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M = P?1M P.
Exercices de mathématiques - Exo7
274 328.00 Forme bilinéaire. 1105. 275 350.00 Variété. 1119. 276 351.00 Immersion submersion
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit E un espace vectoriel de dimension n et ? une application linéaire de E dans lui-même telle elle est libre et maximale et forme donc une base de E.
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit R2 le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique. (a) Ecrire la matrice A de la forme bilinéaire symétrique donnée
Cours de mathématiques - Exo7
Nous allons voir comment des méthodes d'algèbre linéaire permettent de linéaire homogène est un système d'équations différentielles de la forme :.
[PDF] Formes quadratiques - Exo7 - Exercices de mathématiques
Rang et signature des formes quadratiques suivantes : Pour tout élément P de E Q(P) = B(PP) où B est la forme bilinéaire symétrique définie sur E par
Cours et exercices de mathématiques -- Deuxième année - Exo7
Cette grande fiche due à Michel Quercia avec de nombreuses corrections intéressera les élèves de Math Sup/Math Spé préparant les concours aux grandes écoles
[PDF] Produit scalaire espaces euclidiens - Exo7
6 f est une forme bilinéaire symétrique Pour x ? E f(xx) = 1 4 (x+x2 +x?x2) = 1 4 2x2 = x2 (définition d'une norme) ce qui montre
[PDF] ficallpdf - Exo7
274 328 00 Forme bilinéaire 1185 275 350 00 Variété 1199 276 351 00 Immersion submersion plongement 1199 277 352 00 Sous-variété
[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
La famille {x?(x) ?n?1(x)} est donc libre En plus elle compte n vecteurs comme dimE = n elle est libre et maximale et forme donc une base de E
[PDF] Dualité - Exo7 - Exercices de mathématiques
Les formes linéaires ?i1 ?im s'annulent toutes en en et donc chaque ?i s'annule en en puisque chaque ?i est combinaison linéaire des ?ik 1 ? i ? m Le
[PDF] Matrice dune application linéaire - Exo7
Les résultats s'expriment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les
(PDF) Exo7 Formes quadratiques * très facile ** facile *** difficulté
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[PDF] Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ? est définie positive Proof Soient ?1 et ?2 dans IR
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques 2 1 Formes bilinéaires symétriques Dans ce qui suit E est un espace vectoriel sur un corps K
ALGÈBRE
COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉEExo7
À la découverte de l"algèbreLa première année d"études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une
telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une
multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu"il s"agit d"un domaine passionnant! Nous vous
proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence
simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en
présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations
différentielles,...).Ce tome est consacré à l"algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique
et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles
particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l"étude
d"une première structure algébrique, avec la notion de groupe.La seconde partie est entièrement consacrée à l"algèbre linéaire. C"est un domaine totalement nouveau pour
vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d"espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et
utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d"abord comprendre le cours, ensuite connaître
par cur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre
activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et
d"y parvenir. Bonne route!Sommaire
1 Logique et raisonnements
11 Logique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Raisonnements
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ensembles et applications
111 Ensembles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Injection, surjection, bijection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ensembles finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Relation d"équivalence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Nombres complexes31
1 Les nombres complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Racines carrées, équation du second degré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Argument et trigonométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Nombres complexes et géométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Arithmétique45
1 Division euclidienne et pgcd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Théorème de Bézout
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Nombres premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Congruences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Polynômes59
1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Arithmétique des polynômes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Racine d"un polynôme, factorisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Fractions rationnelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 Groupes71
1 Groupe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Sous-groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 Morphismes de groupes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Le groupeZ/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Le groupe des permutationsSn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Systèmes linéaires87
1 Introduction aux systèmes d"équations linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Théorie des systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 Matrices99
1 Définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 Multiplication de matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 Inverse d"une matrice : définition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 Inverse d"une matrice : calcul
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
. . . . . . . . . . . . . . 1106 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
. . . . . . . . . . . . . . . 1179 L"espace vectorielRn123
1 Vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Exemples d"applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Propriétés des applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210 Espaces vectoriels137
1 Espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372 Espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 Sous-espace vectoriel (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444 Sous-espace vectoriel (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475 Sous-espace vectoriel (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506 Application linéaire (début)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567 Application linéaire (milieu)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588 Application linéaire (fin)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111 Dimension finie167
1 Famille libre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672 Famille génératrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713 Base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Dimension d"un espace vectoriel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785 Dimension des sous-espaces vectoriels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212 Matrices et applications linéaires
1871 Rang d"une famille de vecteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872 Applications linéaires en dimension finie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923 Matrice d"une application linéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984 Changement de bases
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413 Déterminants211
1 Déterminant en dimension 2 et 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 Définition du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153 Propriétés du déterminant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204 Calculs de déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245 Applications des déterminants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 IndexLogique et
raisonnementsChapitre 1Quelques motivations
Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les curs» alors il ne faut pas exclure
l"as de cur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I→Ren un point
x0∈I: ∀ε >0∃δ >0∀x∈I(|x-x0|< δ=⇒ |f(x)-f(x0)|< ε). C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
"Il pleut.» "Je suis plus grand que toi.» " 2+2=4 » " 2×3=7 » "Pour tout x∈R, on a x2⩾0.»"Pour tout z∈C, on a|z|=1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "P et Q» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
P\QVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de cur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
P\QVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est cur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un cur (en particulier elle est vraie pour l"as de cur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "non P»
L"implication=⇒
La définition mathématique est la suivante :L"assertion "(non P) ou Q» est notée "P=⇒Q».Sa table de vérité est donc la suivante :
P\QVF VVF FVV FIGURE1.4 - Table de vérité de "P=⇒Q» L"assertion "P=⇒Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».Par exemple :
" 0⩽x⩽25=⇒px⩽5 » est vraie (prendre la racine carrée). "x∈]-∞,-4[ =⇒x2+3x-4>0 » est vraie (étudier le binôme). " sin(θ) =0=⇒θ=0 » est fausse (regarder pourθ=2πpar exemple)."2+2=5=⇒p2=2» est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "P=⇒Q» est toujours
vraie.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] forme trigonométrique de 2i
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