Formes quadratiques
Rang et signature des formes quadratiques suivantes : Pour tout élément P de E Q(P) = B(P
Exo7 - Exercices de Michel Quercia
V Algèbre bilinéaire. 124. 43 Produit scalaire. 124. 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. 130. 45 Formes quadratiques.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que f est linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image par f. Correction ? 6. f est une forme bilinéaire symétrique.
livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire. La forme générale d'un système linéaire de n équations à p inconnues est la suivante :.
Correction de quelques exercices de la feuille no 5: Formes
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques forme bilinéaire symétrique sur E. Montrer que la forme quadratique associée `a ? est définie ...
Matrice dune application linéaire
Soit E un espace vectoriel et f une application linéaire de E dans lui-même en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M = P?1M P.
Exercices de mathématiques - Exo7
274 328.00 Forme bilinéaire. 1105. 275 350.00 Variété. 1119. 276 351.00 Immersion submersion
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit E un espace vectoriel de dimension n et ? une application linéaire de E dans lui-même telle elle est libre et maximale et forme donc une base de E.
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit R2 le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique. (a) Ecrire la matrice A de la forme bilinéaire symétrique donnée
Cours de mathématiques - Exo7
Nous allons voir comment des méthodes d'algèbre linéaire permettent de linéaire homogène est un système d'équations différentielles de la forme :.
[PDF] Formes quadratiques - Exo7 - Exercices de mathématiques
Rang et signature des formes quadratiques suivantes : Pour tout élément P de E Q(P) = B(PP) où B est la forme bilinéaire symétrique définie sur E par
Cours et exercices de mathématiques -- Deuxième année - Exo7
Cette grande fiche due à Michel Quercia avec de nombreuses corrections intéressera les élèves de Math Sup/Math Spé préparant les concours aux grandes écoles
[PDF] Produit scalaire espaces euclidiens - Exo7
6 f est une forme bilinéaire symétrique Pour x ? E f(xx) = 1 4 (x+x2 +x?x2) = 1 4 2x2 = x2 (définition d'une norme) ce qui montre
[PDF] ficallpdf - Exo7
274 328 00 Forme bilinéaire 1185 275 350 00 Variété 1199 276 351 00 Immersion submersion plongement 1199 277 352 00 Sous-variété
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La famille {x?(x) ?n?1(x)} est donc libre En plus elle compte n vecteurs comme dimE = n elle est libre et maximale et forme donc une base de E
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Les formes linéaires ?i1 ?im s'annulent toutes en en et donc chaque ?i s'annule en en puisque chaque ?i est combinaison linéaire des ?ik 1 ? i ? m Le
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Les résultats s'expriment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les
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forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ? est définie positive Proof Soient ?1 et ?2 dans IR
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques 2 1 Formes bilinéaires symétriques Dans ce qui suit E est un espace vectoriel sur un corps K
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Chapitre 2
Formes bilin´eaires sym´etriques,
formes quadratiques2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
Une application
b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).On dit quebestsym´etriquequand
?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.Exemples:
1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 56CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.E=R2. Le produit scalaire usuel
µµx1
x 2 ,µy1 y2
?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.E=C([-1,1],R). L"application
C0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R
(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.E=Mn(K). L"application
M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique
On suppose
Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.2
La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.Exemple:µ3 1
1-2
est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etriqueµµx1
x 2 ,µy1 y2
?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.2.1. FORMES BILIN
´EAIRES SYM´ETRIQUES7
Rappel : Changement de base.
D´efinition 2.3
La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.Proposition 2.4
Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)La matrice de
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est ME?(b) =tP ME(b)P .
2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e
Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E,quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] forme trigonométrique de 2i
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