[PDF] Exercices révision et notions préliminaires — notation et nombres





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Nombre pair - Nombre impair

Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair. Dans tous les autres cas le produit est pair. ? Produit de deux nombres pairs : Prenons 



TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la

Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx = 



Exercices révision et notions préliminaires — notation et nombres

simple. a) Démontrer que la somme de deux nombre entier pairs est aussi un nombre pair. b) Démontrer que le produit de deux nombres impairs est toujours.



Correction des exercices sur les nombres entiers

On en déduit que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est un multiple de 3. IX. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.



PEI Math 1 Module 2 / Feuille nOl/page l

Mais ce n'est pas la seule façon de démontrer qu'une affirmation est Le produit de deux nombres impairs est impair c'est en particulier le cas du carré ...



MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf



Mathématiques Résoudre des problèmes mobilisant les nombres

La somme de trois nombres impairs est un nombre impair. • Le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair. Exercice 4 : Soit un entier naturel.



Untitled

Un nombre entier naturel est impair s'il peut s'écrire Entiers pairs entiers impairs. Exemple ... Démontrer que le produit de deux nombres impairs est ...



Exercices avec corrections sur la logique

Le produit de deux nombres impairs est-il impair? 3. Le produit d'un nombre Exercice 6 Soit n ? N. Montrer que soit 4 divise n2 soit 4 divise n2 ? 1.



Solutionnaire (Série 3)

Nous nous intéressons donc `a sa contraposée : si on multiplie deux nombres impairs alors leur produit est impair. Soit donc x et y impairs

Comment démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair ?

Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. Écrire ces nombres sous la forme n=2k+1 n = 2 k + 1 , et m=2l+1 m = 2 l + 1 , puis faire le produit. Soit n n et m m deux nombres entiers impairs. Ils s’écrivent donc n=2k+1 n = 2 k + 1 et m=2?+1 m = 2 ? + 1 , avec k k et ? ? des entiers.

Quand un nombre est-il impair?

Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.

Comment calculer le nombre impair ?

Puisque p = 2 k ? + k + ? p = 2 k ? + k + ? est un entier, on a écrit n × m n × m sous la forme 2 p + 1 2 p + 1, avec p p entier : c'est bien que n × m n × m est un nombre impair.

Quelle est la différence entre deux nombres A A et b b impairs ?

Soient deux nombres a a et b b impairs. Définition : un nombre est impair s'il n'est pas divisible par 2 2, et qu'il peut donc s'écrire sous la forme 2k+1 2k+1 avec k k un entier. Donc a=2k+1 a =2k+1 et b=2q+1 b=2q+1. La somme de a a et de b b peut donc s'écrire sous la forme 2k 2k avec k k un entier.

Exercices révision et notions préliminaires - notation et nombres Calcul diérentiel - Automne 2020 - Yannick Delbecque

Notation, logique, nombres

Question 1

Compléter les énoncés suivants par la relation2ou. a) 2 N b)NQ c)f2gN d)f1;2;3gZ e)R f) ]1 ;2[[1;2] g) ]1 ;2[R

Question 2

Eectuer les opérations ensemblistes suivantes.

a)f1;;2g[f1;2;3;4g b)f1;;2;3g\f1;2;3;4g c)f1;;4;5gnf1;2;3;4g d) [2 ;5][]4;8] e) [2 ;5]\]4;8]f)[2 ;5]n]4;8] g)N\[0:5;] h)Q\f0:5;;3:14159;e;p2;3=5g i)f

0:5;;3:14159;e;p2;3=5gnQ

Question 3

Décrire les ensembles suivants à l"aide d"intervalles a)fxjx 3 etx< g b)fxjx2<5gc)fxjx<3 et 0Question 4 Écrire les ensembles suivants à l"aide d"intervalles, d"ensembles et d"opérations sur les ensembles. a) Les nombres rationnels strictement compris entre 0 et 1. b) Les nombres réels strictement plus grands que 1 et plus petits ou égal à 2. c) Les nombres réels plus strictement grands que 1 ou plus petits ou égal à 2.

Question 5

Compléter avec "=» ou "()».

a) 2 +35 b)nest pairnest divisible par 2. c)x2+1(x1)(x+1) d)x+2=3x=1 e) ( x+1)2=1x

2+2x+1=1

f)x2[1;3[1x<3 g) ( x+1)3x

3+3x2+3x+1

h)x2=4x=2 oux=2 i)AB=0A=0 ouB=0Question 6 Démontrer les énoncés suivants, ou donner un contre exemple pour montrer qu"ils sont faux. a) " La somme de deux multiples de 3 est aussi un multiple de

3».

b) " Lecube d"un nombre pair est pair .» c) "La somme d"un nombre entier et d"un nombre rationnel est un nombre entier.» d) "La somme de deux nombres rationnels est un nombre ration- nel»

Question 7

Vrai ou faux?

a)

Si x2Q, alorsx2R.

b) Si x2R, alors ne peut jamais s"écrire comme une fraction. c)=3:14159265358979 d)p22[1;2] e)

T outles nombres pairs sont des nombres réels.

Question 8

Écrire les factions suivante sous la forme d"un nombre périodique en eectuant la division. a) 235
b)5111

Question 9

Mettre les nombres périodiques suivant sous forme de fractions. a)

0 :123b) 2 :18

Question 10

Cette question vise à vous préparer à faire des preuve directes et simple. a) Démontrer que la somme de deux nombre entier pairs est aussi un nombre pair. b) Démontrer que le produit de deux nombres impairs est toujours un nombre pair.

Question 11(Défi dicile)

Démontrer quep3n"est pas un nombre rationnel en utilisant le lemme suivant (qu"il n"est pas nécessaire de prouver) : nest un multiple de 3 ssin2est un multiple de trois. Indice : s"inspirer de la preuve vue en classe pourp2.

Question 12(Défi dicile)

Démontrer quelog2(3)n"est pas un nombre rationnel en utilisant le fait que la décomposition en facteurs premiers est unique. Indice : s"inspirer (un peu moins) de la preuve vue en classe pourp2.

2 Exercices révision et notions préliminaires - notation et nombres

Question 13(Défi dicile)Les questions suivantes visent à comprendre comment on peut démontrer une proposition comme la proposition suivante à l"aide du principe d"induction.

Proposition

Si on additionne lesnpremiers nombres naturels

impairs, on obtientn2. a) Vérifier que la proposition est vraie pour n=1;2;3;4. b) Est-ce que ces quatre vérifications démontrent que la proposi- tion est vraie pour tout nombre natureln>0? c) Pour passer le la somme des 2 premiers nombres impairs à la sommes des 3 premiers nombres impairs, on additionne le troisième nombre impair :

1+3|{z}

2 premiers nombres impairs+5

De même pour passer de 3 à 4 nombres impairs :

1+3+5| {z }

3 premiers nombres impairs+7

Si on suppose que la proposition fonctionne pour la première partie de ces sommes, on retrouve la proposition :

1+3|{z}

2 premiers nombres impairs+5=22+5=9=32

1+3+5| {z }

3 premiers nombres impairs+7=32+7=16=42:

natureln? d) Quelle propriété des nombres naturels nous permet de conclure que la proposition est vraie pour toutn>1? e) Vous pouvez lire une preuve de la proposition formulée telle qu"on le fait habituellement en mathématique dans les solutions. Vous pouvez tenter d"écrire une preuve par vous même avant d"aller la lire!Calcul diérentiel - 201-NYA - Automne 2020 Exercices révision et notions préliminaires - notation et nombres 3

Solutions

Question 1

a) 2 2N b)NQ c)f2g N d)f1;2;3g Z e)2R f) ]1 ;2[[1;2] g) ]1 ;2[R

Question 2

a)f1;2;3;4;;2g b)f1;3g c)f;5g d) [2 ;8] e) ]4 ;5] f) [2 ;4] g)f1;2;3g h)f0:5;3:14159;3=5g i)f;e;p2g

Question 3

a) [ 3;[ b) ] 1;7[c)]0 ;1=2] d) ] 2;2[

Question 4

a)Q\]0;1[ b) ]1 ;2] c)R

Question 5

a)

2 +3=5

b)nest pairif f nest divisible par 2. c)x2+1=(x1)(x+1) d)x+2=3()x=1 e) ( x+1)2=1()x2+2x+1=1 f)x2[1;3[()1x<3 g) ( x+1)3=x3+3x2+3x+1 h)x2=4()x=2 oux=2 i)AB=0()A=0 ouB=0

Question 6

a)Soienta=3ketb=3l(k;l2Z) deux multiples de 3 quelconques.

Leur somme est

a+b=3k+3l=3(k+l):

Commek+lest un nombre entier,

3(k+l) est un multiple de 3.b)

Soita=2k(aveckun nombre en-

tier) un nombre pair quelconque.

Son cube est

a

3=(2k)3=23k3=2(22k3);

ce qui est aussi un multiple de 2 car

22k32Z.

c)

Faux. Contre-exemple : la somme

de1et1=2est3=2, qui n"est pas un nombre entier. d)

Soit deux nombre rationnels quel-

conquesabetcd(donc aveca,b,c etdde nombres entiers etb;d,0).

Leur somme est

ab +cd =ad+bcbd

Commead+bcetbdsont des

sommes et produits de nombres en- tiers, ces deux nombres sont aussi entiers. De plus,bd,0carb etdsont non-nuls. On peut dont conclure quead+bcdbest un nombre rationnel.

Question 7

a) Vrai b)

Faux (car c"est possible pour les

nombres réels qui sont rationnels. Il est donc faut que c"est jamais pos- sible) c)

Faux (car,Qet ne peut être écrit

comme un nombre rationnel. Le nombre3:14159265358979est une bonne approximation depi, mais il a un développement décimal fini qui correspond donc à un nombre rationnel). d)

Vrai (car124implique quep1p2p4, donc que1p2

2). e)

Vrai car un nombre pair est, par dé-

finition, un nombre naturel ou un nombre entier, et tout nombre natu- rel ou entier est réel : NZR:

Question 8

a) 235
=4:6 b) 5111
=4:63

Question 9

a) Soit x=0:123:

On multiplie par 1000 pour obtenir

1000x=123:123:

En soustrayant1000xx, on ob-

tient

999x=123

et donc x=123999 =41333 :b)Soit y=2:18:

On multiplie par 100 pour obtenir

100y=218:18:

En soustrayant100yy, on obtient

99y=216

et donc y=21699 =2411:

Question 10

a)

Soientnetmdeux nombres entiers

pairs. Comme ils sont pairs, peut peut les écrire comme n=2petm=2q; oùpetqsont deux nombres entiers.

Si on les additionne, on obtient

n+m=2p+2q =2(p+q)

Commep+qest un nombre entier,

on vient de montrer quen+mest de la forme2(nombre entier), donc quen+mest pair. CQFD. b)

Soientnetmdeux nombres entiers

impairs. Comme ils sont impairs, peut peut les écrire comme n=2p+1 etm=2q+1; oùpetqsont deux nombres entiers.

Si on les additionne, on obtient

n+m=(2p+1)+(2q+1) =2(p+q)+2 =2(p+q+1)

Commep+q+1est un nombre en-

tier, on vient de montrer quen+m est de la forme2(nombre entier), donc quen+mest pair. CQFD.

Question 11

Sip3est un nombre rationnel, il peut

s"écrire sous la forme d"une fraction simplifiée : p3=mn

En multipliant parnet en prenant le

carré, on obtient

3n2=m2:

m 2 est donc un multiple de trois, et doncmaussi (par le lemme donné). Si m=3k, on a en substituant3kàndans la dernière équation, on obtient l"éga- lité

3n2=9k2:

En divisant par 3, on obtient

n

2=3k2:

Cette fois-ci,n2est un multiple de3,

et doncnest aussi un multiple de 3.Question 12

Silog2(3)est une faction, on peut

l"écrire comme un fraction déjà sim- plifiée log

2(3)=mn

Par définition des logarithmes, cela est

équivalant à dire que

3=2m=n:

En prenant la puissancende chaque

membre de l"égalité et en simplifiant les exposants avec les propriétés des exposants, on obtient 3 n=2m:

Comme2et3sont des nombres pre-

miers et que la décomposition en fac- teurs premiers est unique, il est impos- sible qu"une puissance de2soit aussi une puissance de3(sans quoi on au- rait deux décompositions diérentes en facteurs premiers pour un même nombre!). L"hypothèse quelog2(3)est rationnel est donc fausse et log

2(3)

Question 13

a)

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=33

1+3+5+7=16=42

Note : produire des exemples de ce

type permet de mieux comprendre un énoncé. Face à un nouvel énoncé (proposition, théorème, etc), vous devriez toujours tenter d"écrire par vousmêmequelquesexemplespour

être certain de bien comprendre ce

qui est dit. b)

Non, les vérifications prouvent uni-

quement que la proposition est vraie pourn=1;2;3 et 4.

Pour démontrer qu"elle est vraie

pour n"importe quel nombren, il faudrait vérifier pour tout les nombresn, ce qui est impossible

à faire!

c)

Oui car

(n+1)2=n2+2n+1=n2+(2n+1): d)

Le principe d"induction : on a véri-

fié en a) que la proposition est vraie pourn=1, en c) on a que si la pro- position est vraie pourn, alors elle est aussi vraie pourn+1.

Les deux conditions du principe

d"induction sont donc vraies.Calcul diérentiel - 201-NYA - Automne 2020

4 Exercices révision et notions préliminaires - notation et nombres

e)PreuvePremièrement, si on a une somme comportant seulement le premier nombre impair 1, la somme est 1, qui est le carré de 1.

Ensuite, si on suppose que la pro-

position est vraie pour un nombre n, montrons qu"elle est vraie pour le nombren+1. La somme desn+1premiernombres naturels impairs est

1+3+5++2n1+2n+1=

=1+3+5++2n1| {z } npremiers nombres impairs+2n+1 =n2+2n+1 =(n+1)2Comme la proposition est vraie pourn=1et que si elle est vraie pourn, alors elle est aussi vraie pourn+1, le principe d"induction nous permet de conclue qu"elle est vraie pour toutn>1. CQFDCalcul diérentiel - 201-NYA - Automne 2020quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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