[PDF] Exercices avec corrections sur la logique

ExerciceslogiqueExercice 1Ecrire les contraposees des implications suivantes et les demontrer.nest un entiernaturel,xetysont des nombres reels.1.npremier)n= 2 ounest impair ,2.xy6= 0)x6= 0 ety6= 0 ,3.x6=y)(x+ 1)(y1)6= (x1)(y+ 1) .Exercice 2Ecrire les reponses aux questions suivantes, portant sur des entiers naturels, sousla forme d'assertions mathematiques (ecrites avec les symboles \8", \et", \ou", \)", \,") etles prouver.1. Le produit de deux nombres pairs est-il pair?2. Le produit de deux nombres impairs est-il impair?3. Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est-il pair ou impair?4. Un nombre entier est-il pair si et seulement si son carre est pair?Exercice 3Soient les quatre assertions suivantes :1.9x2R,8y2R,x+y >0 ,2.8x2R,9y2R,x+y >0 ,3.9x2R,8y2R,y2> x,4.8"2R+,92R+,jxj< ) jx2j< ".Les assertions 1, 2, 3 et 4 sont elles vraies ou fausses? Donner leurs negations.Exercice 41. Soitn>2 un entier. Montrer par l'absurde que, sinn'est pas premier, iladmet un diviseur premierpqui est inferieur ou egal apn.2. A l'aide de ce critere, determiner si les nombres 89, 167 et 191 sont premiers.Exercice 5Montrer quep89 est irrationnel.Exercice 6Soitn2N. Montrer que soit 4 divisen2, soit 4 divisen21.Exercice 7* Demontrer que pour toutn2N:1.n3nest divisible par 6 ,2.n5nest divisible par 30 ,3.n7nest divisible par 42 .Indication : Pour 1, on peut factorisern3npour voir que ce nombre est multiple de 2 et de3. Les cas 2 et 3 peuvent se traiter de facon analogue.

Exercice 8Demontrer par recurrence que :8n2N f0;1;2;3g; n262n:Exercice 9Pourn2N, on denit deux proprietes :Pn: 3 divise 4n1 etQn: 3 divise 4n+ 1:1. Prouver que pour toutn2N,Pn)Pn+1etQn)Qn+1.2. Montrer quePnest vraie pour toutn2N.3. Que penser, alors, de l'assertion :9n02N;8n2N; n>n0)Qn?Correction 11.npair,n6= 2)nnon premier. Demo : sinpair,n6= 2 alors 2 divisenetnn'est pas premier.2.x= 0 ouy= 0)xy= 0. Demo triviale.3. (x+ 1)(y1) = (x1)(y+ 1))x=y. Demo : si (x+ 1)(y1) = (x1)(y+ 1) alorsen developpantx+y=xy, d'ou 2y= 2x,x=y.Correction 21.Oui.n;mpairs)nmpair. Demo :9i;n= 2idoncnm= 2(im) est pair.2. Oui.n;mimpairs)nmimpair. Demo :9i;j,n= 2i+ 1,m= 2j+ 1 doncnm=2(2ij+i+j) + 1est impair (ou par contraposee).3. Pair. (npair,mimpair))nmpair (cf 1).4. Oui.npair,n2pair. Demo : sinpair alorsn2=nnest pairpar 1) (sens)); Sinimpair alorsn2est impair par 2), ce qui donne le sens(par contraposee.1. Faux.Negation :8x2R;9y2R;x+y60 (demo : soitx2R, on prendCorrection 3y=x).2. Vrai (demo:y=x+ 1). Negation :9x2R;8y2R;x+y60.3. Vrai (demo : soitx=1,8y2R;y2>1). Negation :8x2R;9y2R;y26x.4. Vrai (demo :=p"2R+). Negation :9"2R+;82R+;9x2R;jxj< etjx2j>".

Correction 41.Soitnnon premier. Supposons quenn'a pas de diviseur premierp6pn.nnonppremier)p9a;b>2,n=ab. Tout nombrex>2 a unpdiviseur premierp6x. Sia6noub6n, cela donne une contradiction. Donca > netb > n, ce quiimpliquen > n, absurde. D'ou le resultat.2.p89'9:4. 89 n'est pas divisible par 2;3;5 ou 7, donc 89 est premier.p167'12:9. 167 n'est pas divisible par 2;3;5;7;11 donc 167 est premier.p191'13:8. 191 n'est pas divisible par 2;3;5;7;11;13 donc 191 est premier.Correction 5Raisonnement par l'absurde. Supposonsquep89 =pqavecp;qpremiers entreeux. Alors 89q2=p2. 89 est premier (exo 4) donc 89pdivisep: il existek,p= 89k. Doncq2= 89k2et 89 diviseq. C'est une contradiction donc89 est irrationnel.Correction 6Sin= 2k(pair) alors 4 divisen2= 4k2. Sin= 2k+ 1 (impair) alors 4 divisen21 = 4(k2+k).Correction 7n3n=n(n21).npair)n3nmultiple de 2.nimpair)n21 pair etn3nmultiple de 2.nmultiple de 3)n3nmultiple de 3.n= 3k+ 1)n21 = 3(3k2+ 2k) multiple de 3.n= 3k+ 2)n21 = 3(3k2+ 4k) multiple de 3. Dans les 3 cas,n3nest multiple de 3.n3nest divisible par 2 et 3 qui sont premiers entre eux doncn3nest divisible par 6.Correction 8Initialisation : pourn= 4, 42= 16 = 24.Heredite : on supposen262navecn>4.n >2 donc 2n < nn, donc 2n6n21. D'ou(n+ 1)2=n2+ 2n+ 16n2+n262:2n= 2n+1. C'est la propriete au rangn+ 1.Conclusion :8n2N;n>4,n262n.Correction 91. SiPnest vraie alors 4n+11 = 4(4n1) + 3 est un multiple de 3 doncPn+1est vraie. SiQnest vraie alors 4n+1+ 1 = 4(4n+ 1)3 est un multiple de 3 doncQn+1est vraie.2. Initialisation : 401 = 0 doncP0est vraie. Heredite : question 1). Conclusion :Pnestvraie pour toutn2N.3. C'est faux. Preuve par l'absurde : SiQn0est vraie alors (4n0+1)+(4n01) = 4n0est unmultiple de 3 a cause dePn0etQn0. Or le seul nombre premier qui divise 4n0est 2, doncc'est absurde etQn0est fausse.