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Leçon 11

Inégalités de Markov et de Tchebychev

1. Inégalité de Markov

2. Inégalité de Tchebychev

3. Inégalité exponentielle

4. Inégalité de concentration

Exercices

1 Les inégalités sur des probabilités sont d"usage constant; elles permettent notamment de quantifier le comportement (à l"infini) de la fonction de ré- partition d"une variable aléatoire. La plus simple et la plus fondamentale est l"inégalité de Markov1.

1 Inégalité de Markov

Proposition 1(Inégalité de Markov).SoitXune variable aléatoire positive; pour toutt >0,

P(Xt)1t

E(X): La démonstration est immédiate (et repose sur la propriété de conservation de l"ordre de l"intégrale déjà mise en oeuvre de façon analogue dans les rappels de la théorie de l"intégration) : pour chaque!2 fXtg(!) =?[t;1]X(!)1t X(!) puisque siX(!)t, alors11t

X(!)et siX(!)< t,01t

X(!). L"intégrale

conservant le sens des inégalités,

P(Xt) =Z

fXtgdP1t Z

X dP=1t

E(X) qui est le résultat. Comme à l"habitude, il suffit queXsoit presque sûrement positive, l"argu- ment se déployant pour l"ensemble des!2 fX0gde probabilité1. L"inégalité de Markov n"a bien entendu d"intérêt que siXest intégrable, et

t >E(X). En fait, sous l"hypothèse d"intégrabilité, elle fournit une décroissance1. Andreï Markov, mathématicien russe (1856-1922).

2 de1FX(t)vers0lorsquet! 1. Par continuité du majorant1t

E(X)ent >0,

il est équivalent d"avoir

P(X > t)1t

E(X) pour toutt >0. En effet, si tel est le cas, pour tout" >0tel quet" >0,

P(Xt)P(X > t")1t"E(X)

et l"affirmation s"ensuit quand"!0. Prendre soin toutefois que ce raisonne- ment ne s"applique pastpart. La souplesse de l"inégalité de Markov, ainsi qu"il sera développé dans les paragraphes suivants, est illustré par le fait que siest une fonction croissante surRà valeurs strictement positives, pour toute variable aléatoire réelleXet toutt2R,

P(Xt)P(X)(t)1(t)E(X):

Une nouvelle fois, cette inégalité n"a d"intérêt que si(X)est intégrable, et le rapport de droite est inférieur à1. Ce principe est appliqué ci-dessous pour différents exemples de fonctions, comme les fonctions puissances(x) =jxjr, r >0, ou la fonction exponentielle(x) =ex, >0.

2 Inégalité de Tchebychev

Sous des hypothèses de moments plus fortes, la décroissance est plus rapide. C"est notamment le cas pour des moments d"ordre2donnant lieu à l"inégalité de Tchebychev

2. En fait, cette dernière peut être formulée sous la forme d"une

inégalité de concentration autour de la valeur moyenne.2. Pafnouti Tchebychev, mathématicien russe (1821-1894).

3 Proposition 2(Inégalité de Tchebychev).SoitXune variable aléatoire de carré intégrable; pour toutt >0, P

XE(X)t1t

2Var(X):

Elle découle de la remarque de la fin du paragraphe précédent : il suffit d"ap- pliquer l"inégalité de Markov àZ2= [XE(X)]2ett2puisquejXE(X)j t si et seulement siZ2t2et

E(Z2) =EXE(X)2= Var(X):

L"inégalité de Tchebychev peut être couplée avec l"identité de Bienaymé pour fournirl"inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La démonstration est conte- nue dans l"énoncé. Proposition 3(Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).SiX1;:::;Xnsont des variables aléatoires de carré intégrable deux à deux non corrélées, et si S n=X1++Xn, pour toutt >0, P

SnE(Sn)t1t

2Var(Sn) =1t

2n X k=1Var(Xk):

3 Inégalité exponentielle

Il est facile d"imaginer que la puissance2dans l"inégalité de Tchebychev pourrait être remplacée par n"importe quelle puissancer >0, conduisant à une décroissance polynomiale sous une hypothèse de moment. Une variation sur ce thème utilise la fonction exponentielle, et est liée à la transformée de Laplace (Leçon 10). Par exemple, siXest une variable aléatoire 4 réelle ett >0, pour toutu >0, par la croissance de la fonction exponentielle et l"inégalité de Markov,

P(Xt) =PeuXeuteutE(euX):

L"inégalité reste vraie pour toust;u0. Une nouvelle fois, cette borne n"a d"intérêt que siE(euX)<1, mais son profit est ailleurs : en effet, sous réserve de ces hypothèses d"intégrabilité, il est avantageux suivant les cas d"optimiser, àt0fixé, sur les réels positifsupertinents afin de dégager la meilleure borne possible. Un exemple simple est fourni par le cas d"une variableXde loi binomiale

B(n;12

). Il est aisé de vérifier que, pour tout réelu,

E(euX) =12

nn X k=0 n k e uk=12 n(eu+ 1)n d"après la formule du binôme. Ainsi, pour toust0etu0,

P(Xt)eut12

n(eu+ 1)n: L"optimisation exacte enu0n"est pas nécessairement facile, mais sit=n2 +s, s0, l"inégalité précédente se réécrit comme P Xn2 +seuseu2 +eu2 2 n

Un développement en série montre que

eu2 +eu2 2 (=ch(u2 ))eu28 . Ainsi P Xn2 +seus+n8 u2 et l"optimisation enudans l"exponentielle (u=4sn ) implique au final que, pour touts0, PXn2 +se2n s2: 5

La valeur

n2 n"est pas une surprise, c"est simplement l"espérance deX, de sorte

l"inégalité précédente exprime une inégalité de déviation au dessus de la valeur

moyenne. Cette borne exponentielle participe également du principe de grandes dé- viations qui sera évoqué en Leçon 19.

4 Inégalité de concentration

L"inégalité de Tchebychev et, pour des sommes de variables aléatoires non corrélées, l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev, sont des exemples d"inégalités dites deconcentration, au sens où la variable étudiée se concentre autour de sa valeur moyenne au taux fourni par la variance. Plus précisément, siXest une variable aléatoire réelle de carré intégrable, l"inégalité de Tchebychev exprime que pour toutt >0, P

XE(X)t1t

2Var(X):

Si pour" >0,t >0est choisi de sorte que1t

2Var(X) =", par passage au

complémentaire, avec probabilité plus grande que1",

XE(X)t=rVar(X)"

Si la variance deXest très faible,Xsera donc proche de sa valeur moyenne (constante)E(X)avec forte probabilité. Cette discussion sera reprise dans la

Leçon 21 sur les intervalles de confiance.

Ce type de raisonnement est d"autant plus puissant que l"inégalité est forte, ce qui dépend des variables considérées. Il est à ce titre instructif de reprendre l"exemple de la variable aléatoireXde loi binomialeB(n;12 )du paragraphe précédent pour laquelle il a été établi que, pour touts0, P Xn2 +se2n s2: 6 Le raisonnement développé montre en fait qu"il en va de même pourXsous la forme PX n2 +se2n s2 pour touts0. CommeE(X) =n2 , la somme de ces deux inégalités (et le fait queP(A[B)P(A) +P(B)) entraîne que P

XE(X)s2e2n

s2 pour touts0. En particulier, sisest de l"ordre de10pn(par exemple!), alors, avec probabilité plus grande que12e200(très proche de1donc), jXE(X)j s. Il convient de rappeler ici que l"éventail des valeurs deXva jusqu"àn, et recentré autour de la valeur moyennen2 , il n"est plus quepn. Ce taux enpndans le choix deuest lié au théorème central limite (Leçon 20). Il s"agit donc là d"une propriété de concentration de la variable binomiale

Xautour de sa valeur moyenneE(X) =n2

à un taux exponentiel, plus fort que

celui fourni par l"inégalité de Tchebychev, à savoir P

XE(X)sn4s2

pour touts >0puisque Var(X) =n4 (dans ce cas, sis10pn, la probabilité considérée n"est que de11400 Ces exemples d"inégalités de concentration seront repris dans la Leçon 13 sur les sommes de variables aléatoires indépendantes. 7

Exercices

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.SoitXune variable aléatoire positive et intégrable sur un espace probabilisé( ;A;P); démontrer que pour tout" >0, il existe!2 tel queX(!)(1 +")E(X). (Indication: utiliser l"inégalité de Markov pour t= (1 +")E(X)et le fait que siP(A)>0, alorsAest non vide.)

Exercice 2.

a) SoitXune variable aléatoire réelle de carré intégrable telle queE(X) = 0 etE(X2)>0; démontrer queP(X <0)>0etP(X >0)>0. (Indication: procéder par contradiction.) b*) SoitXunevariable aléatoire réelle telle queE(X2)a >0et

E(X4)b <1; démontrer queP(jXj>0)a2b

. (Indication: utiliser l"in- égalité de Cauchy-Schwarz surE(X2) =E(X2?fjXj>0g).) Exercice 3*(Inégalité de Cantelli). PourXune variable aléatoire réelle sur( ;A;P)de carré intégrable de variance2= Var(X), démontrer que pour toutt >0,

PXE(X)t2

2+t2: Comparer avec l"inégalité de Tchebychev. (Indication: supposer sans perte de la généralité queE(X) = 0et >0, appliquer l"inégalité de Markov avec un moment d"ordre2à

P(Xt) =P(X+at+a)

pour touta0, et optimiser ena.) 8 Exercice 4*(Inégalité de Paley3-Zygmund4). SoitXune variable aléatoire positive sur( ;A;P)telle que0XtE(X)(1t)2[E(X)]2E(X2): c) SiXsuit la loi binomialeB(n;12 ), proposer une minoration deP(Xtn2 pourt2]0;1[.

Exercice 5.Vérifier l"inégalité

P X n2 +se2n s2 pour touts0du Paragraphe 4, où doncXest une variable aléatoire de loi binomialeB(n;12 Exercice 6.Une variable aléatoire réelleXsur un espace probabilisé( ;A;P) suit la loi de PoissonP()de paramètre >0. a) Déterminer le domaine de définition de la transformée de LaplaceLXde (la loi de)X, et la calculer. b) Soitt0fixé; démontrer que pour toutu0,

P(Xt)eutLX(u):

c) Déduire de la question précédente que pour toutt > , P(Xt)etln(t)+t(ln()+1):3. Raymond Paley, mathématicien anglais (1907-1933).

4. Antony Zygmund, mathématicien polonais et américain (1900-1992).

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