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Leçon 11

Proposition 1 (Inégalité de Markov). Soit X une variable aléatoire positive ; pour tout t > 0. P(X ? t) ?. 1 t. E(X). La démonstration est immédiate (et 



cours 6 le lundi 15 février 2010 Inégalité de Markov Elle est aussi

15 fév. 2010 Inégalité de Markov. Elle est aussi appelée de Tchebychev de Bienaymé-Tchebychev (prouvée vers 1869)



Chapitre 5 Espérance

Voici maintenant 3 preuves de l'inégalité de Markov libre au lecteur de choisir celle qu'il préfère. Preuve no 1. C'est la preuve « muette » donnée par la 



Théorie de la mesure

Les conséquences de l'inégalité de Markov ont été formulées et démontrées en termes de valeurs de fonction de répartition complémentaire. 2. La fonction ?f est 



Théorèmes Limites

Inégalités de Markov et Bienaymé–Tchebychev. Tout d'abord l'inégalité de Markov dont la démonstration est d'un simplicité enfantine. Proposition 1.



Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée

Corollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) Preuve: Il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov à la v.a.



CH XIV : Convergence et approximation

Démonstration. • Rappelons tout d'abord l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour toute v.a.r. Y admettant une variance V 



Table des matières Pré-requis Objectifs

II.4 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . démonstration : 2ème inégalité de Markov appliqué à (X ? E(X)) ?. Remarque 1.



Inégalité de Markov Inégalité de Jensen

Rappelez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et redémontrez-la à partir de l'inégalité de Markov. 2. UNE FORMULE ALTERNATIVE POUR L'ESPÉRANCE. Dans ce qui suit 



Probabilités - Préparation à lagrégation interne

29 sept. 2016 3.7 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . 52 ... m impairs (ceci mérite une démonstration qui est omise).



[PDF] Inégalités de Markov et de Tchebychev

Proposition 1 (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire positive ; pour tout t > 0 P(X ? t) ? 1 t E(X) La démonstration est immédiate (et 



[PDF] Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée

Théorème: Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée presque sûrement positive (P(X ? 0) = 1) Alors ?? > 0 P(X ? ?) ? E[X]



[PDF] Chapitre 5 Espérance

C'est l'inégalité de Markov que nous verrons ci-dessous (proposition 5 21) Voyons maintenant quelques exemples simples de calcul d'espérance de variables 



[PDF] Inégalités de concentration SpéMaths 1 Un problème historique

Dans tout ce chapitre on considère des variables aléatoires réelles définies sur un univers ? fini muni d'une loi de probabilité P 2 1 Inégalité de Markov Si 



[PDF] cours 6 le lundi 15 février 2010 Inégalité de Markov Elle est aussi

15 fév 2010 · Si ?X f dµ < +? alors µ({f = +?}) = 0 Preuve — Si l'intégrale de f est nulle on obtient par Markov pour tout a > 0 µ({f 



Inégalités de Markov et de Bienayme-Tchebycheff

A - Démonstration de l'inégalité de Markov · 1 Cas d'une variable finie ou discrète L'espérance E(X) s'écrit (où * désigne le nombre de valeurs prises par X 



[PDF] T spé Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

2 jui 2022 · La démonstration « moderne » dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une L'inégalité de Markov permet de démontrer que ( )



Preuve : Inégalités de Markov

On peut alors appliquer à Xr X r l'inégalité de Markov puisqu'elle est positive et qu'elle admet une espérance : ?a?]0+?[ 



[PDF] Suites de variables aléatoires - CPGE Brizeux

Proposition 3 (1ère Inégalité de Markov) démonstration : On note Y la v a r définie pour tout ? ? ? on a Y (?) = { t si X(?) ? t 0 si X(?) < t



[PDF] V Douine – Terminale – Spé maths – Chapitre 12 – Inégalités de

Cette inégalité est l'inégalité de Markov Démonstration Notons i x pour 1 i n les n valeurs prises par la variable aléatoire X

:
[PDF] Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée

Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Inégalité de MarkovThéorème: Inégalité de MarkovSoitXune variable aléatoire réelle supposée presque sûrement

positive (P(X≥0) =1). Alors ?α >0,P(X?α)?E[X] Preuve:On suppose queXadmet une densité de probabilitéf, alors on a l"inégalité

E(X) =?

0 xf(x)dx

αf(x)dx

=αP(X≥α).

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Théorèmes fondamentaux

04/2017 22 / 32

Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-TchebychevCorollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT)SiXest une variable aléatoire de moyenneμet de variance finie

σ2<∞alors

k2 Preuve:Il suffit d"appliquer l"inégalité de Markov à la v.a.|X-μ| 2et prendreα= (kσ) 2.

N. B.L"IBT permet de majorer d"une façon large

la probabilité de l"éloignement d"une v.a. quelconque de sa moyenne par un rayon donné

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Implications

2=0.25 :

Moins de25%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 2 écarts-type Moins de11.11%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 3 écarts-type

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Loi des grands nombresThéorème : Loi des grands nombresSoientX

1,...,X

nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance finie.

Désignons par

Xla moyenne empirique de l"échantillon :

X=1 n n?i=1 Xi Alors Xtend en probabilité versμlorsquen-→+∞: ?ε >0,lim n→+∞ P(|

X-μ|> ε) =0.

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Loi des grands nombres

Loi des grands nombresPreuve:Remarquons que

E( X) =? i E(X i)/n=nμ/n=μ et V(

X) =σ

2X=? i V(X i)/n

2=nσ

2n2 2n.

Soitε >0, posonsk=ε/σ

X, l"inégalité IBT donne

P(|

2(X)ε2

2nε

2n-→0.

N. B.Le fait que la moyenne empirique de l"échantillon

Xconverge en

probabilité versμ(la moyenne deXpratiquement inconnu) le favorise pour être un estimateur qui se rapproche assez bien du paramètreμ pour une taille de l"échantillon assezgrande

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Approximation normale de la binomialeThéorème: Moivre-LaplaceSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞

X-np ?np(1-p)≈ N(0,1)

N. B.≈: suit approximativement la loi

N. B.L"application en pratique (en dimension finie) est valable lorsque l"une des deux conditionssuivantes est vérifiée : 1 n≥20,np≥10 etnq≥10 2 npq≥10

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Approximation de la binomiale par la loi de poissonThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞

X-np np(1-p)≈ P(λ) oùλ=np N. B.La conditions d"application en pratique est :

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Approximation normale de la poissonnienneThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiP(λ)alors, quandλ?→+∞

X-λ

?λ)≈ N(0,1) N. B.La condition d"application en pratique estλ≥15

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Résumé des approximationsBC(n,p)etP

C(λ)désignent respectivement les lois binomiale et de

Poisson centrées réduites

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Généralisation : Théorème Central LimiteThéorème Central Limite (TCL)SoientX

1,...,X

nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance

2<∞. On a

X-μσ/⎷

n≈ N(0,1). N. B.La condition d"application du TCL en pratique estn≥30

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Théorèmes fondamentaux

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Théorèmes asymptotiques

Théorèmes d"approximation en loi

Généralisation : Théorème Central Limite (suite)RemarqueLe TCL est généralement formulé pour une moyenne

X, mais on peut

l"utiliser sous une autre forme. SoitX T= n?i=1

Xila somme den

variables aléatoires, il suffit de factoriser par 1/npour verifier que X

T-nμσ⎷

n≈ N(0,1).

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Théorèmes fondamentaux

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