Leçon 11
Proposition 1 (Inégalité de Markov). Soit X une variable aléatoire positive ; pour tout t > 0. P(X ? t) ?. 1 t. E(X). La démonstration est immédiate (et
cours 6 le lundi 15 février 2010 Inégalité de Markov Elle est aussi
15 fév. 2010 Inégalité de Markov. Elle est aussi appelée de Tchebychev de Bienaymé-Tchebychev (prouvée vers 1869)
Chapitre 5 Espérance
Voici maintenant 3 preuves de l'inégalité de Markov libre au lecteur de choisir celle qu'il préfère. Preuve no 1. C'est la preuve « muette » donnée par la
Théorie de la mesure
Les conséquences de l'inégalité de Markov ont été formulées et démontrées en termes de valeurs de fonction de répartition complémentaire. 2. La fonction ?f est
Théorèmes Limites
Inégalités de Markov et Bienaymé–Tchebychev. Tout d'abord l'inégalité de Markov dont la démonstration est d'un simplicité enfantine. Proposition 1.
Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée
Corollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) Preuve: Il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov à la v.a.
CH XIV : Convergence et approximation
Démonstration. • Rappelons tout d'abord l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour toute v.a.r. Y admettant une variance V
Table des matières Pré-requis Objectifs
II.4 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . démonstration : 2ème inégalité de Markov appliqué à (X ? E(X)) ?. Remarque 1.
Inégalité de Markov Inégalité de Jensen
Rappelez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et redémontrez-la à partir de l'inégalité de Markov. 2. UNE FORMULE ALTERNATIVE POUR L'ESPÉRANCE. Dans ce qui suit
Probabilités - Préparation à lagrégation interne
29 sept. 2016 3.7 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . 52 ... m impairs (ceci mérite une démonstration qui est omise).
[PDF] Inégalités de Markov et de Tchebychev
Proposition 1 (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire positive ; pour tout t > 0 P(X ? t) ? 1 t E(X) La démonstration est immédiate (et
[PDF] Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée
Théorème: Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle supposée presque sûrement positive (P(X ? 0) = 1) Alors ?? > 0 P(X ? ?) ? E[X]
[PDF] Chapitre 5 Espérance
C'est l'inégalité de Markov que nous verrons ci-dessous (proposition 5 21) Voyons maintenant quelques exemples simples de calcul d'espérance de variables
[PDF] Inégalités de concentration SpéMaths 1 Un problème historique
Dans tout ce chapitre on considère des variables aléatoires réelles définies sur un univers ? fini muni d'une loi de probabilité P 2 1 Inégalité de Markov Si
[PDF] cours 6 le lundi 15 février 2010 Inégalité de Markov Elle est aussi
15 fév 2010 · Si ?X f dµ < +? alors µ({f = +?}) = 0 Preuve — Si l'intégrale de f est nulle on obtient par Markov pour tout a > 0 µ({f
Inégalités de Markov et de Bienayme-Tchebycheff
A - Démonstration de l'inégalité de Markov · 1 Cas d'une variable finie ou discrète L'espérance E(X) s'écrit (où * désigne le nombre de valeurs prises par X
[PDF] T spé Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
2 jui 2022 · La démonstration « moderne » dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une L'inégalité de Markov permet de démontrer que ( )
Preuve : Inégalités de Markov
On peut alors appliquer à Xr X r l'inégalité de Markov puisqu'elle est positive et qu'elle admet une espérance : ?a?]0+?[
[PDF] Suites de variables aléatoires - CPGE Brizeux
Proposition 3 (1ère Inégalité de Markov) démonstration : On note Y la v a r définie pour tout ? ? ? on a Y (?) = { t si X(?) ? t 0 si X(?) < t
[PDF] V Douine – Terminale – Spé maths – Chapitre 12 – Inégalités de
Cette inégalité est l'inégalité de Markov Démonstration Notons i x pour 1 i n les n valeurs prises par la variable aléatoire X
Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Inégalité de MarkovThéorème: Inégalité de MarkovSoitXune variable aléatoire réelle supposée presque sûrement
positive (P(X≥0) =1). Alors ?α >0,P(X?α)?E[X] Preuve:On suppose queXadmet une densité de probabilitéf, alors on a l"inégalitéE(X) =?
0 xf(x)dxαf(x)dx
=αP(X≥α).S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Inégalité de Bienaymé-TchebychevCorollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT)SiXest une variable aléatoire de moyenneμet de variance finie
σ2<∞alors
k2 Preuve:Il suffit d"appliquer l"inégalité de Markov à la v.a.|X-μ| 2et prendreα= (kσ) 2.N. B.L"IBT permet de majorer d"une façon large
la probabilité de l"éloignement d"une v.a. quelconque de sa moyenne par un rayon donnéS., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Implications
2=0.25 :
Moins de25%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 2 écarts-type Moins de11.11%des valeurs d"une v.a. sont loins de sa moyenne plus de 3 écarts-typeS., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Loi des grands nombresThéorème : Loi des grands nombresSoientX1,...,X
nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance finie.Désignons par
Xla moyenne empirique de l"échantillon :
X=1 n n?i=1 Xi Alors Xtend en probabilité versμlorsquen-→+∞: ?ε >0,lim n→+∞ P(|X-μ|> ε) =0.
S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Loi des grands nombresPreuve:Remarquons que
E( X) =? i E(X i)/n=nμ/n=μ et V(X) =σ
2X=? i V(X i)/n2=nσ
2n2 2n.Soitε >0, posonsk=ε/σ
X, l"inégalité IBT donne
P(|2(X)ε2
2nε
2n-→0.
N. B.Le fait que la moyenne empirique de l"échantillonXconverge en
probabilité versμ(la moyenne deXpratiquement inconnu) le favorise pour être un estimateur qui se rapproche assez bien du paramètreμ pour une taille de l"échantillon assezgrandeS., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Approximation normale de la binomialeThéorème: Moivre-LaplaceSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞
X-np ?np(1-p)≈ N(0,1)N. B.≈: suit approximativement la loi
N. B.L"application en pratique (en dimension finie) est valable lorsque l"une des deux conditionssuivantes est vérifiée : 1 n≥20,np≥10 etnq≥10 2 npq≥10S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Approximation de la binomiale par la loi de poissonThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiB(n,p)alors, lorsquen?→+∞
X-np np(1-p)≈ P(λ) oùλ=np N. B.La conditions d"application en pratique est :S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Approximation normale de la poissonnienneThéorèmeSoitXune v.a qui suit la loiP(λ)alors, quandλ?→+∞
X-λ
?λ)≈ N(0,1) N. B.La condition d"application en pratique estλ≥15S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Résumé des approximationsBC(n,p)etP
C(λ)désignent respectivement les lois binomiale et dePoisson centrées réduites
S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Généralisation : Théorème Central LimiteThéorème Central Limite (TCL)SoientX1,...,X
nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), d"espéranceμet de variance2<∞. On a
X-μσ/⎷
n≈ N(0,1). N. B.La condition d"application du TCL en pratique estn≥30S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d"approximation en loi
Généralisation : Théorème Central Limite (suite)RemarqueLe TCL est généralement formulé pour une moyenne
X, mais on peut
l"utiliser sous une autre forme. SoitX T= n?i=1Xila somme den
variables aléatoires, il suffit de factoriser par 1/npour verifier que XT-nμσ⎷
n≈ N(0,1).S., El Melhaoui (FSJESO)
Théorèmes fondamentaux
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quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] inégalité de markov exercice corrigé
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