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cours 6, le lundi 15 f´evrier 2010

In´egalit´e de Markov

Elle est aussi appel´ee de Tchebychev, de Bienaym´e-Tchebychev (prouv´ee vers 1869), mais

si l"id´ee en est la mˆeme, elle n"est pas exactement celle deMarkov, qui est ult´erieure et

donne le principe extrˆemement simple et g´en´eral, qui est(en renversant le cours de l"histoire) `a l"origine de celle de Bienaym´e-Tchebychev. Lemme.Soitfune fonctionF-mesurable surX, `a valeurs dans[0,+∞]; pour tout nombre r´eela >0, on a a? X fdμ. Preuve. -Consid´erons l"ensemble A ={f≥a}; on sait que A? Fet on remarque que la fonctionF-´etag´ee?=a1Av´erifie l"in´egalit´e aμ(A) =? X X fdμ, ce qu"il fallait d´emontrer??.

Corollaire 1.Sif≥0et?

Xfdμ= 0, alors

?{f?= 0}?=μ?{f >0}?= 0. Si

Xfdμ <+∞, alors

μ?{f= +∞}?= 0.

Preuve. -Si l"int´egrale defest nulle, on obtient par Markov, pour touta >0, a? X fdμ= 0, donc la mesure de{f≥a}est nulle; on applique ceci successivement `aan= 2-n, pour tout entiern≥0, et on remarque la formule de r´eunion suivante : on a n{f≥2-n}={f >0}={f?= 0}, qui est donc de mesure nulle comme union d´enombrable d"ensembles de mesure nulle, ce qui termine ce premier cas. Si l"int´egrale defest finie, on applique Markov aveca=nentier>0 pour obtenir n? X fdμ, majorant qui peut ˆetre rendu arbitrairement petit, d"o`u le r´esultat. 1

Remarque.Si l"int´egrale defest finie, on a

X 1 {f=+∞}fdμ= 0. En effet, l"ensemble N ={f= +∞}est de mesure nulle ; toute fonction ´etag´ee?telle est de mesure nulle ; si on exprime?sous la forme?nj=1aj1Aj, o`u Ajest une partition, on note queajμ(Aj) = 0 pour toutj: soit parce que la valeurajest nulle, soit, quand a j?= 0, parce que la mesureμ(Aj) d"un ensemble Ajo`u?prend une valeur non nulle est nulle (siaj?= 0, on aura Aj?N). On a donc? le r´esultat.

Exemple.On pose

f(x) =+∞? n=1e -n2|x-rn|?[0,+∞],

o`u (rn)n?1est une ´enum´eration des rationnels. Il est tr`es difficile (et mˆeme impossible

si on n"a pas indiqu´ecommenton a ´enum´er´e) de dire en quels pointsxcette fonction est finie. N´eanmoins R e-n2|x-rn|dλ(x) =? e-n2|x-rn|dx=? e-n2|y|dy = 2 0 e-n2ydy=2 n2, et d"apr`es la version s´eries du th´eor`eme de convergencemonotone, R f(x)dλ(x) =+∞? n=1? R e-n2|x-rn|dλ(x)<+∞.

Il en r´esulte que l"ensemble

N ={x?R:f(x) = +∞} ? B

est de mesure nulle : il y a vraimentbeaucoupde pointsxen lesquels la s´erie qui d´efinitf(x) a une somme finie. On dit qu"une propri´et´e des points de la droite est vraie (Lebesgue)presque partoutquand l"ensemble des points o`u elle n"est pas v´erifi´ee est contenu dans un bor´elien de mesure (de Lebesgue) nulle. Ainsi, la s´erie qui d´efinitf(x) converge presque partout.

Fonctions mesurables `a valeurs dans

R Soit (fn) une suite de fonctionsF-mesurables `a valeurs dans

R; on rappelle que la

fonction limsup nfn= limn? sup k≥nfk?

est obtenue par des op´erations qui pr´eservent la mesurabilit´e, le sup d´enombrable et limn,

qui est une limite d"une suite d´ecroissante, donc un inf d´enombrable. Si?= limnfn(x) 2 existe dansR, supposons d"abord que?soit r´eel, et soitε >0 ; il existe un entiern0tel que ?-ε < fk(x)< ?+ε entraˆıne le mˆeme encadrement pour limsup nfn(x), et commeεest arbitraire, on conclut que limsup nfn(x) =?= limnfn(x). Si la limite est-∞, on ´ecrit que pour tout A>0, il existen0tel que pourk≥n0 f k(x)<-A, ce qui implique liminf limsup nfn(x) =-∞=?= limnfn(x) `a nouveau. Le cas d"une limite +∞est analogue. Dans tous les cas on constate que quand la limite simple existe, elle est ´egale `a limsup (et aussi `a liminf), donc Si une suite(fn)de fonctionsF-mesurables tend simplement vers une fonctionf, cette fonction limite estF-mesurable. Une fonctionF-´etag´ee r´eelle est une fonction?: X→R, de la forme ?=m? i=1a i1Ai, o`u lesaisont dansRet les AidansFforment une partition de X. Si?,ψsont deux

fonctions ´etag´ees r´eelles, on peut supposer qu"on a raffin´e la partition de sorte queψ

puisse s"exprimer avecla mˆeme partitionque celle utilis´ee pour?, sous la forme

ψ=m?

i=1b i1Ai. Si F :R2→Rest une fonction quelconque, il est clair que la fonction F(?,ψ) :x→ F(?(x),ψ(x)) estF-´etag´ee, puisqu"elle admet la repr´esentation

F(?,ψ) =m?

i=1F(ai,bi)1Ai.

Proposition.Une fonctionfdeXdans

RestF-mesurable si et seulement s"il existe

une suite(?n)de fonctionsF-´etag´ees qui tend simplement versf; on peut supposer que

Preuve. -On ´ecrit

f=f+-f-, o`uf+= max(f,0) etf-= max(-f,0) sontF-mesurables positives. On a vu qu"il existe une suite (?n,1) de fonctionsF-´etag´ees≥0 qui tend versf+en croissant, et de mˆeme il existe une suite (?n,2) pourf-; alors?n=?n,1-?n,2estF-´etag´ee pour toutn, et tend simplement versf(car on n"a jamais +∞et-∞en mˆeme temps dans l"expression f +(x)-f-(x) ; bien sˆur on n"a plus le caract`ere croissant pour la suite(?n) maintenant) ; 3 Cons´equence.Sif,gsont mesurables `a valeurs dansR, alorsf+g,fg,-f,max(f,g), |f|,f+,f-,αf+βg, etc., sontF-mesurables. Plus g´en´eralement, siF :R2→Rest une fonction r´eellecontinue, la fonctionx?X→F(f(x),g(x))estF-mesurable.

Preuve. -Il suffit de v´erifier l"´enonc´e g´en´eral avec F(f,g). On trouve (?n) et (ψn)

´etag´ees qui tendent simplement versfetg. Comme F est continue, les fonctions ´etag´ees F(?n,ψn) tendent simplement vers F(f,g), qui est doncF-mesurable.

II.2.4.Int´egrale de fonctions r´eelles

D´efinition.On dit qu"une fonctionF-mesurable r´eellef: X→Rest int´egrable par rapport `aμsi?

X|f|dμest finie.

Sifest la diff´erencef1-f2de deux fonctions mesurables `a valeurs dans [0,+∞[ (infini exclus; pour changer) d"int´egrale finie, la quantit´e X f

1dμ-?

X f

2dμ

ne d´epend que def. En effet, sif1-f2=g1-g2, avecg1,g2elles aussi positives et d"int´egrale finie, alorsf1+g2=g1+f2, et comme on a montr´e l"additivit´e de l"int´egrale des fonctions positives, on a? X f

1dμ+?

X g

2dμ=?

X f

2dμ+?

X g

1dμ,

ce qui donne bien le r´esultat voulu car toutes les quantit´es sont finies, et les soustractions

possibles pour conclure que X f

1dμ-?

X f

2dμ=?

X g

1dμ-?

X g

2dμ.

D´efinition.SifestF-mesurable `a valeurs dansR, int´egrable par rapport `aμ, son int´egraleest d´efinie par X fdμ:=? X f+dμ-? X f-dμ, mais on sait que l"int´egrale peut se calculer avec n"importe quelle d´ecomposition comme diff´erence de fonctions≥0 int´egrables. Sif≥0, l"int´egrale nouvelle est coh´erente avec l"ancienne. En effet, on a dans ce casf=f+,f-= 0 et?

Xf-dμ= 0.

Lin´earit´e et croissance

On donnef,gint´egrables. On ´ecritf=f+-f-etg=g+-g-; on a une repr´esentation de la somme sous la formef+g= (f++g+)-(f-+g-), diff´erence de fonctions positives int´egrables, qui permet de calculer l"int´egrale de la somme et de v´erifier que X (f+g)dμ=? X fdμ+? X gdμ.

En effet,

X (f+g)dμ=? X (f++g+)dμ-? X (f-+g-)dμ 4 X f+dμ-? X f-dμ+? X g+dμ-? X g-dμ=? X fdμ+? X gdμ.

Siαest un r´eel positif, on ´ecritαf=αf+-αf-et on utilise la posilin´earit´e de

l"int´egrale des fonctions≥0, et pourα <0, on ´ecritαf=|α|f-- |α|f+pour voir que

dans tous les cas,? X (αf)dμ=α? X fdμ. X (g-f)dμ=? X gdμ-? X fdμ, qui donne la croissance de l"int´egrale.

On a clairement

X |f|dμ=-? X f+-? X X X f++? X f-=? X |f|, ce qui donne X fdμ??? X |f|dμ. R´esum´e.Soientf,gdeux fonctionsF-mesurables surX, `a valeurs dansRet int´egrables par rapport `aμ; on a ?α,β?R,? X (αf+βg)dμ=α? X fdμ+β? X gdμ, et X X gdμ,???? X fdμ??? X |f|dμ.

Parenth`ese : espacesL1,L2

L"espaceL1(X,F,μ) est l"espace vectoriel des fonctionsf: X→Rqui sontF-mesurables et int´egrables par rapport `aμ. On le munit d"une semi-norme, ?f?1=? X |f(x)|dμ(x), qui peut ˆetre nulle pour des fonctionsfqui ne sont pas identiquement nulles sur X (mais qui sont tout de mˆemepresque partoutnulles d"apr`es le corollaire 1). L"espaceL2(X,F,μ) est l"espace (vectoriel lui aussi) des fonctionsf: X→Rqui sontF-mesurables etde carr´e int´egrable, c"est-`a-dire que|f|2a une int´egrale finie (on peut dire encore|f|2? L1(X,F,μ)). On le munit de la semi-norme ?f?2=?? X |f(x)|2dμ(x)? 1/2, et il faut un proc´ed´e de passage au quotient pour obtenir l"espace de Hilbert L2(X,F,μ) dont on parlera plus tard. 5 Th´eor`emede Lebesgue, premi`ere version.Si une suite(fn)de fonctionsF-mesurables `a valeurs dansRtend simplement versfr´eelle, et s"il existe une fonction int´egrableg`a valeurs dans[0,+∞[telle que

pour toutn, il en r´esulte que lesfnsont int´egrables, ainsi quefetl"int´egrale de la limite

est la limite des int´egrales,? X fdμ= limn? X f ndμ. Preuve. -On sait quefestF-mesurable comme limite simple; de plus, on obtient

Comme????

X f ndμ-? X fdμ??? X |fn-f|dμ,

il suffit de prouver que la deuxi`eme int´egrale tend vers 0. Par l"in´egalit´e triangulaire, on

obtient aussi et|fn-f|tend simplement vers 0 sur X. Les fonctions 2g- |fn-f|sont positives et tendent simplement vers 2g; d"apr`es Fatou, 2 X X (2g- |fn-f|)dμ, ce qui entraˆıne en retranchant l"int´egrale (finie !) deg limsup n? X d"o`u le r´esultat. 6quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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