[PDF] Théorie de la mesure Les conséquences de l'

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - Theorie de la mesure

Theorie de la mesureBertrand Remy 1 / 43

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 1. Rappels d'integration

Theorie de la mesureBertrand Remy 2 / 43

Rappel : fonctions mesurables et fonctions integrables

Denition

Une fonctionf:

![1;+1]est ditemesurable s'il exis teune suite (fn)n>0de fonctions sur , continues et a support compact, qui converge versfp.p. sur

Etant donnee une fonctionfdenie p.p. sur

, comment verie-t-on quef2 L1( )?Theoreme

Soitfune fonction mesurable sur

. Supposons qu'il existeg2 L+( )(ouL1( )) telle que jfj6gp.p. sur . Alorsf2 L1( ).Preuve.Soitfn2 Cc( ) telles quefn!fp.p. sur . On note h n:= max(min(fn;g);g);

Par constructionhn2 L1(

). De plus,hn!fetjhnj6gp.p. sur . Donc par convergence dominee, on a :f2 L1( ).Theorie de la mesureBertrand Remy 3 / 43

Le cas des fonctions positives

Soitf:

![0;+1] une fonction mesurable denie p.p. sur . Alors : (i) ou bien f2 L1( (ii) ou bien f=2 L1( ), auquel cas on pose :Z f(x)dx:= +1: Avec cette convention, on a :Theoreme (convergence monotone { version serie)

Soit(fn)n>0une suite de fonctions mesurables sur

, a valeurs dans[0;+1]. Alors, on a : Z 1X n=0f n(x)! dx=1X n=0Z f n(x)dx2[0;+1]:Remarque :si (gn)n>0est une suite croissante de fonctions mesurables ![0;+1], alorsZ limn!1gn(x)dx= limn!1Z f n(x)dx2[0;+1]. Prendref0=g0etfn=gngn1sin>1.Theorie de la mesureBertrand Remy 4 / 43 ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 2. Mesurabilite des ensembles

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Ensembles mesurables

Denition (ensembles mesurables)

Un sous-ensembleARNestmesurablesi sa fonction indicatrice1Aest une fonction mesurable surRN.Proposition (i)Les ensembles?etRNsont mesurables. (ii)SiAetBRNsont des ensembles mesurables, alorsABl'est aussi. (iii)Si(Ai)i2Iest une familledenombrable(nie ou innie) d'ensembles mesurables deRN, alors leur reunion et leur intersection i2IA iet\ i2IA i; sont des ensembles mesurables.

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Operations ensemblistes sur les ensembles mesurables, preuve Preuve.Il faut essentiellement traduire en termes de fonctions (caracteristiques) des assertions enoncees du point de vue ensembliste. Deja,1?0 et1RN1 sont des fonctions mesurables; en outre,1AB= (11B)1Aest une fonction mesurable si1Aet1Ble sont. Ceci prouve (i) et (ii), passons a (iii) dans le cas

I=N, le cas ouIest ni etant plus facile. Posons

B n:=n\ k=0A ket donc1Bn=nY k=01 Ak: La suite (1Bn)n>0est decroissante et converge simplement vers1T k>0Ak, qui est donc une fonction mesurable comme limite simple d'une suite de fonctions mesurables. On a enn : n>0A n=RN\ n>0(RNAn):Theorie de la mesureBertrand Remy 7 / 43

Exemples standard de parties mesurables

Voici quelques exemples standard de parties mesurables dansRN(auxquelles on peut appliquer les operations ensemblistes precedemment mentionnees pour en fabriquer de nouvelles).Proposition (i)Tout intervalle deRest un sous-ensemble mesurable deR. (ii)Tout pave deRNest un sous-ensemble mesurable deRN. (iii)Un ouvert ou un ferme deRNest une partie mesurable deRN.

(iv)Toute partie negligeable deRNest mesurable dansRN.Remarque :(iii) dit que la topologie deRN(rappel : denie par n'importe quelle norme) est

contenue dans l'ensemble des parties mesurables deRN. Attention :il existe des parties non mesurables deRN(par exemple les ensemblesAietBi des partitions du paradoxe de Banach-Tarski { cf polycopie de cours pour plus de details); cependant leur construction explicite est dicile, basee sur l'axiome du choix.

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Exemples standard de parties mesurables, preuve

Preuve.SoitKRNun compact. La fonctionx7!dist(x;K) denie surRNest continue car on a :jdist(x;K)dist(y;K)j6dist(x;y) pour tousx;y2RN. On note : f n(x) :=1ndist(x;K)+: Alors,fn2 Cc(RN) pour toutn>1. CommeKest ferme,dist(x;K) = 0 si, et seulement si, x2K. En outre, la suite (fn)n>1converge simplement vers1K, donc1Kest mesurable et par consequent,Kest une partie mesurable deRN.

Maintenant un ferme quelconqueFRNpeut s'ecrireF=[

n>1

F\Bf(0;n). Dans cette

reunion chaque termeF\Bf(0;n) est compact, ce qui permet de conclure gr^ace a la proposition precedente. On passe au complementaire pour les ouverts. SiZ RNest negligeable, alors1Z= 0 p.p. surRNest mesurable comme limite p.p. de la suite dont tous les termes sont la fonction nulle.Theorie de la mesureBertrand Remy 9 / 43

Fonctions mesurables et ensembles mesurables

Voici un lien entre fonctions et ensembles mesurables; il ressemble au critere global de continuite pour les fonctions en termes d'images reciproques d'ouverts ou de fermes.Proposition Soit un ouvert non vide deRNetf: !Rune fonction denie p.p. sur . Alors les assertions suivantes sont equivalentes.fest mesurable;f

1(];+1[)est mesurable pour tout2R;f

1([;+1[)est mesurable pour tout2R;f

1(I)est mesurable pour tout intervalleIR;f

1(U)est mesurable pour tout ouvertUR;f

1(V)est mesurable pour tout fermeVR.Theorie de la mesureBertrand Remy 10 / 43

Fonctions mesurables et ensembles mesurables, preuve

Preuve.En ecrivant :

f

1([;+1[) =\

n>1f 1(]1n ;+1[); et f

1(];+1[) =[

n>1f

1([+1n

;+1[); on voit que les deux premieres conditions sont equivalentes. Tout intervalleIdeRest de la formeI=AB, ouAetBsont de la forme [;+1[ ou ];+1[ etf1(AB) =f1(A)f1(B).

Tout ouvert deRest une reunion denombrable d'intervalles ouverts disjoints.Theorie de la mesureBertrand Remy 11 / 43

Fonctions mesurables et ensembles mesurables, preuve (suite et n)

Soitfune fonction mesurable. Denissons

h n(x) :=n minf(x);+1n minf(x); chaque fonctionhnest mesurable comme composee de y7!n miny;+1n miny; et de la fonction mesurablef. On a limn!+1hn(x) =1];+1[f(x)p.p. et 1 ];+1[f=1f1(];+1[); egalement p.p., donc1f1(];+1[)est mesurable comme limite p.p. d'une suite de fonctions mesurables.Theorie de la mesureBertrand Remy 12 / 43

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 3. Mesure de Lebesgue

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Mesure de Lebesgue

Denition (mesure de Lebesgue)

Pour toutARNmesurable, lamesure de LebesguedeAest denie par jAj:=Z R

N1A(x)dx:SiA;BRNsont mesurables et siAB, alorsjAj6jBj.Si (An)n>0est une suitedenombrablede sous-ensembles mesurables deRN, alors[

n>0A n 6X n>0jAnj:Si de plusAk\Al=?pour tousk6=l, alors[ n>0A n =X n>0jAnj:Theorie de la mesureBertrand Remy 14 / 43 Proprietes essentielles de la mesure de Lebesgue, preuve

Demontrons les trois assertions precedentes.

Preuve.On observe tout d'abord que, si

A k\Al=?pour tousk6=l)1S n>0An=X n>01 An: La troisieme formule decoule alors de la linearite de l'integrale dans le cas d'une reunion nie, et du theoreme de la convergence monotone dans le cas d'une reunion innie. Supposons maintenant qu'on ait une inclusionABd'ensembles mesurables. On remarque queB=A[(BA) est une reunion disjointe, de sorte que jBj=jAj+jBAj>jAj; ce qui prouve le premier point.

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Mesure de Lebesgue : proprietes essentielles

Supposons que la suite (Bn)n>0est innie et indexee parN(si ce n'est pas le cas, on complete la suite nie d'ensemblesBnen rajoutant l'ensemble vide une innite de fois). Denissons A

0=B0,A1=B1B0, et

A n=Bn(B0[:::[Bn1);n>1: Alors n>0A n=[ n>0B n; de plus A n\AmAn\Bm=?; sin>m. Donc,[ n>0B n n>0A n =X n>0jAnj6X n>0jBnj; puisqueAnBnpour toutn.Theorie de la mesureBertrand Remy 16 / 43

Exemples de calculs de mesure de Lebesgue

On a :j?j= 0.Lamesure de Lebesgue d'un pavedeRNest egale a son volume jba1;b1e ::: baN;bNej=NY k=1(bkak);

ou iciba;beest un intervalle de la forme [a;b], [a;b[, ]a;b[ ou ]a;b[.Pour tout sous-ensemble mesurableARNetpour toute isometrie aneTdeRN,

on a : jT(A)j=jAj:Mesure de Lebesgue d'un ouvert de R.Pour tout ouvert deR, on a : j j=X n2N(bnan); ou n2N]an;bn[ est la decomposition de en intervalles deux a deux disjoints.Theorie de la mesureBertrand Remy 17 / 43

Integration sur un ensemble mesurable

Nous ne savons integrer pour l'instant que sur des ouverts deRN.Denition SoientARNun ensemble mesurable etfune fonction denie p.p. surA. On ecrit que f2 L1(A)si son prolongement parf(x) = 0pourx2XAappartient aL1(RN). Dans ce cas, on pose :Z A f(x)dx:=Z R NF(x)dx:Relation de Chasles :soientA;BRNdeux ensembles mesurables tels queA\Best negligeable et soitf2 L1(A[B). Alors on a : Z

A[Bf(x)dx=Z

A f(x)dx+Z B f(x)dx:Theorie de la mesureBertrand Remy 18 / 43

Inegalite de Markov

Proposition (inegalite de Markov)

Soient

ouvert non vide deRNetf2 L1( ). Pour tout >0, on a jfx2 :jf(x)j>gj61 Z jf(x)jdx:Preuve.On a : Z jf(x)jdx>Z jf(x)j1[;+1]f(x)dx>Z

1[;+1]f(x)dx>jf1([;+1])j;

puisque 1 [;+1]f(x)=1f1([;+1])(x); pour presque toutx2 (i.e. la ouf(x) est denie).Theorie de la mesureBertrand Remy 19 / 43

Consequences de l'inegalite de Markov

Un des inter^ets de l'inegalite de Markov est qu'elle relie une integrale a une mesure de partie. Ceci peut ^etre exploite pour traiter l'annulation ou la nitude des integrales de fonctions positives (en toute g eneralite,les comp ensationsp ossiblesemp ^echentde dire quoi que ce soit). Theoreme SoientARNetfune fonction mesurable positive denie sur ouvert non vide deRN.

Alors :

(i)SiZ f(x)dx<+1, alorsjfx2 :f(x) = +1gj= 0. (ii)SiZ f(x)dx= 0, alorsjfx2quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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