[PDF] Chapitre 15 Fonctions ln(u) et exp(u)

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Chapitre 15Fonctionsln(u)etexp(u)

Sommaire

15.1 Fonctionln(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.1.2 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.1.3 Résolutions d"équations et d"inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.2 Fonctionexp(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.2.2 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.2.3 Résolutions d"équations et d"inéquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

15.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

15.4 Travaux dirigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.1 Fonctionln(u)

15.1.1 Définition

Définition15.1.Soituunefonctionstrictementpositivesur unintervalleI.La fonctionf=ln(u) est la fonction définie surIparf:x?-→ln[u(x)].

Exemple.Soitfla fonction définie parf:x?-→ln(x-4). Déterminer sur quel ensemble est définie

f.

15.1.2 Dérivée

Propriété 15.1.Soit u une fonction strictement positive et de dérivée u?sur un intervalle I.

La fonction f:x?-→ln(u)est dérivable sur I et f?=u? u.

Exemple.fest définie parf:x?-→ln(x2+4).

1. Vérifier quefest bien définie surR.

2. Calculerf?(x) et étudier son signe. En déduire les variationsdefsurR.

3. Comparer les variationsdefà celles dex?-→x2+4.

191

15.2 Fonctionexp(u)BTS Comptabilité Gestion

Remarque.Ce cas est généralisable : La dérivée de ln(u) est toujours du signe deu?(x) car, comme

variations surI.

15.1.3 Résolutions d"équations et d"inéquations

Équations de la formeln(u)=k

• On cherche d"abord sur quel intervalleJla fonctionuest strictement positive. Les solutions retenues après résolutiondevront être dansIet dansJ. • Onse ramènesurIàuneéquationdelaformeln[u(x)]=ln(a) aveca>0équivalenteàu(x)= aou bien on utilise la fonction exponentielle. • On ne retient parmi les solutionstrouvées que celles qui appartiennentàIet àJ. Exemple.Résoudre sur l"intervalleIdonné, les équations suivantes :

1. ln(x+2)=0 surI=[0; 10]. 2. ln(x+2)=ln(3-x) surI=[0; 2].

Inéquations de la formeln(u)>k

• On cherche d"abord sur quel intervalleJla fonctionuest strictement positive. Les solutions retenues après résolutiondevront être dansIet dansJ. • Onse ramènesurIàuneéquationdelaformeln[u(x)]>ln(a) aveca>0équivalenteàu(x)= aou bien on utilise la fonction exponentielle. • On ne retient parmi les solutionstrouvées que celles qui appartiennentàIet àJ. Remarque.On procéde de même pour les autres types d"inéquations. Exemple.Résoudre sur [4; 10] l"inéquation ln(2x-6)<1.

15.2 Fonctionexp(u)

15.2.1 Définition

Définition 15.2.Soituune fonction définie sur un intervalleI. La fonctionf=exp(u)=euest la fonction définie surIparf:x?-→exp[u(x)]=eu(x). Exemple.Soitfla fonction définie surRparf:x?-→e2x+1.

15.2.2 Dérivée

Propriété 15.2.Soit u une fonction de dérivée u?sur un intervalle I. La fonction f:x?-→exp(u)=

e uest dérivable sur I et f?=u?×exp(u)=u?×eu.

Exemple.fest définie parf:x?-→exp(-x2+3).

1. Calculerf?(x) et étudier son signe. En déduire les variationsdefsurR.

2. Comparer les variationsdefà celles dex?-→-x2+3.

Remarque.Ce cas est généralisable: La dérivée de exp(u) est toujoursdu signedeu?(x) car, comme

e u(x)>0, alorsf?(x) est du signe queu?(x). Ainsi exp(u) etuont les mêmes variationssurI. 192
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BTS Comptabilité Gestion15.3 Exercices

15.2.3 Résolutions d"équations et d"inéquations

Équations de la forme e

u=k • On vérifie d"abord quek>0, sinon l"équation n"a pas de solution.

• On se ramène surIà une équation de la forme eu(x)=eaéquivalente àu(x)=aou bien on

utilise la fonction logarithmenépérien. Exemple.Résoudre surRles équations suivantes : 1. e x+2=3.2. ex2-1=1.

Inéquations de la forme e

u>k • On examine le signe deket on en tire les conséquences.

• On se ramène surIà une équation de la forme eu(x)>eaéquivalente àu(x)>aou bien on

utilise la fonction logarithmenépérien. Remarque.On procéde de même pour les autres types d"inéquations.

Exemple.Résoudre surRles inéquations :

1. e -2x+1<3 2. ex+3>-1 3. ex2-1<-2

15.3 Exercices

EXERCICE15.1.1. Rappeler quel est le signe de ln(x) selon les valeurs dex.

2. Déterminer le signe des fonctions suivantes sur l"intervalleIdonné :

(a)f(x)=ln(x)+1 surI=]0;+∞[. (b)f(x)=ln(x+8) sur ]-8;+∞[. EXERCICE15.2.1. Rappeler que est le signe de exselon les valeurs dex.

2. Déterminer le signe des fonctions suivantes surR:

(a)f(x)=ex-1. (b)f(x)=e-x2-1. (c)f(x)=-0,5x+3 e0,5x.

EXERCICE15.3.

Calculer la dérivée des fonctions suivantes sur l"intervalleIdonné :

1.f(x)=ln(2x-4) surI=]2;+∞[.

2.f(x)=4x2+ln(1+x2) surI=R.

3.f(x)=1-ln(12-x) surI=[1; 6].4.f(x)=xln(2x+1) surI=]0;+∞[.

5.f(x)=[ln(x)]2surI=]0;+∞[.

6.f(x)=4

ln(2x-2)surI=]1;+∞[.

EXERCICE15.4.

Pour chacune des fonctions suivantes définie sur l"intervalleI: • Calculerf?(x); • Étudier le signe def?(x); • Dresser le tableau des variations def.1.fdéfiniesurI=[1; 30]parf:x?-→x+50-

18ln(x).

2.fdéfinie surI=[-2; 2] parf:x?-→

ln(x2+5).

David ROBERT193

15.3 ExercicesBTS Comptabilité Gestion

EXERCICE15.5.

Une entreprisefabriqueet vendqtonnesd"unproduitde base. Lebénéfice réalisé,enmilliersd"eu-

ros, pour produire cesqtonnes est défini sur l"intervalle [0,5; 9] par :

B(q)=0,5q2-14q-68+49ln(2q+4)

1. L"entreprise réalise-t-ell un profit lorsqu"elle vend 2 tonne de produit? 5 tonnes? 8 tonnes?

2. (a) Déterminer l"expression du bénéfice marginalB?(q), dérivé du bénéfice.

(b) À la calculatrice, calculer le bénéfice marginal pour 2,13 tonnes. (c) Pour une tonne, le bénéfice marginal est-il positif? Mêmequestion pour 4 tonnes.

3. (a) Utiliserla calculatricepour trouver la quantitéà partir de laquelle l"entrepriseréalise un

bénéfice marginal négatif sur [0,5; 9].

(b) D"après le tableau de valeurs du bénéfice marginalB?(q), commenter les valeurs du bé-

néfice marginal de part et d"autre de 5 tonnes.

EXERCICE15.6.

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

1.f(x)=e2x.

2.f(x)=e-4x2.3.f(x)=4ex-e2x.

4.f(x)=10xe-x.5.f(x)=(x-1)e0,5x.

6.f(x)=2

1+e2x-3.

EXERCICE15.7.

Le bénéfice engendré par la vente de peluches est modélisé parB(q)=12-q-e4-qoùqest en

milliers de peluches,q?[1,5; 14] etB(q) est en milliers d"euros.

1. Calculer la dérivée de la fonctionBet étudier le signe deB?(q).

En déduire le sens de variation de la fonctionBsur [1,5; 14].

2. Quelle quantité de peluches à vendre permet de réaliser unbénéfice maximal?

3. Justifier le nombre de solutionsde l"équationB(q)=0 dans l"intervalle [1,5; 14].

En utilisant la calculatrice, donner une valeur arrondie deces solutions à 0,001 près.

4. En déduire la plage de profit. Arrondir à une peluche près.

EXERCICE15.8.

Sur le marché en gros à Nantes, l"offre de champignonspleurotes, en tonnes, peut se modéliser par

la fonctionfet la demande par la fonctiongtelles que :f(x)=1,5ln(x-2)+4 etg(x)=2e-x+3+2, pour un prixxentre 2,5 et 5?par kg.

1. Visualiser à la calculatrice, dans une fenêtre adaptée, les courbes des fonctionsfetget dé-

terminer le prix d"équilibre du marché.

2. Calculer les dérivées de ces deux fonctionsfetget étudier le signe def?(x) etg?(x).

En déduire le sens de variation des fonctionsfetgsur [2,5; 5].

3. Résoudre les équationsf(x)=4 etg(x)=4.

4. Sur ce marché, à quel prix l"offre est-elle égale à la demande?

Quelle est la quantitéde pleurotes échangées au prix d"équilibre? 194
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BTS Comptabilité Gestion15.3 Exercices

EXERCICE15.9.

Une entreprisede loisirsquipossède 60 bateauxles loueà lasemaine. Les donnéesfinancièressont

exprimées en milliersd"euros (k?) et les résultats demandés seront arrondis à 10-2près.

Partie A :Étude du coût de fonctionnement hebdomadaire Le coût de fonctionnement hebdomadaireC(q), exprimé en milliers d"euros, correspondant à la location d"un nombreqde bateaux est donné par :C(q)=15+2q-20ln(0,1q+1) pour

0?q?60.

1. (a) CalculerC(10) etC(20). Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il propor-

tionnel au nombre de bateaux loués? (b) Déterminer le pourcentage d"augmentation du coût de fonctionnement hebdoma- daire lorsque le nombre de bateaux loués passe de 10 à 20.

2. (a) Montrer queC?(q)=0,2q

0,1q+1.

En déduire le sens de variation de la fonctionCsur l"intervalle [0; 60]. (b) Calculer le coût de fonctionnement hebdomadairemaximal (exprimé en k?).

Partie B :Étude du bénéfice

Chaque bateau est loué 3000 euros la semaine.

1. Montrer que le bilan financier hebdomadaireB(q), exprimé en k?, correspondant à la

location d"un nombreqde bateaux est donné par :B(q)=q+20ln(0,1q+1)-15 pour

0?q?60.

2. CalculerB?(q) et en déduire le sens de variation de la fonctionBsur l"intervalle [0; 60].

3. (a) Compléter le tableau de valeurs suivant :

q

051020304060

B(q)-1527

(b) ConstruirelareprésentationgraphiqueCdelafonctionBdanslerepèredelafigure

15.1page suivante.

4. Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, le nombre minimum de

bateaux que l"entreprise doit louer pendant cette semaine pour obtenir : (a) Un bénéfice (positif); (b) Un bénéfice supérieur à 20k?.

EXERCICE15.10.

est modélisée parf(q)=5+10e-0,3qet la fonction demande parg(q)=49

5+10e-0,3q, les prixf(q) et

g(q) sont exprimés en euro par kg.

1. (a) Calculer la dérivée des fonctionsfetget étudier le signe def?(q) etg?(q).

(b) En déduire le sens de variation des fonctionsfetgsur [2; 7].

2. (a) Représenter ces deux fonctions à l"écran de la calculatrice dans la fenêtre :X?[2; 7] et

Y?[0; 11].

Existe-t-ilunpoint d"intersectionentreles deux courbes? Endéterminerl"abscisseqEet l"ordonnéepE. (b) Retrouver le résultat par le calcul en résolvant l"équationf(q)=g(q) sur l"intervalle [2; 7]. (c) Interpréter les nombrespEetqE.

David ROBERT195

15.3 ExercicesBTS Comptabilité Gestion

FIGURE15.1: Repère de l"exercice

15.9

10 20 30 40 50 60

-10 -2010

20304050607080

O xy

3. Les consommateurssont très demandeurs, et veulent 7 tonnes de produit.

Quel est le prix correspondant à cette demande? Y a-t-il excédent ou pénurie de ce produit sur le marché? Justifier.

4. Pour faire face à leur frais et aux nouveaux impôts, les producteurs offrent leur produit à un

prix de 8 euro le kg.

Y a-t-il excédent ou pénurie de ce produit sur le marché? Pourcela, estimer l"offre et la de-

mande à ce prix. 196
http://perpendiculaires.free.fr/ BTS Comptabilité Gestion15.4 Travaux dirigés

15.4 Travaux dirigés

EXERCICE15.11(Fonction logistique).

Partie A :Ajustements

Depuis l"année 2003, on étudie le taux d"équipement des 12 ans et plus en ordinateurs et internet à domicile. Les résultatssont donnés dans le tableau suivant :

Année

2003200420052006200720082009201020112012

Rangxi0123456789

Taux d"équipementyi15,419,42429,335,241,447,854,260,265,8

1. Ajustement affine

(a) Représenter le nuage de points associés à la série (xi;yi) dans la figure

15.2page

suivante.

FIGURE15.2: Repère de l"exercice

15.11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14-1

-1010

2030405060708090100

O xy (b) Unajustementaffinevoussemble-t-iljustifié?Vérifierendéterminantlecoefficient de corrélation avec la calculatrice. (c) Déterminer, à l"aide de la calculatrice, l"équation de la droiteDd"ajustement dey enxobtenue par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au cen- tième. Tracer la droiteDsur le graphique précédent. (d) À l"aide de cet ajustement,quel taux peut-on prévoir pour 2017?

David ROBERT197

15.4 Travaux dirigésBTS Comptabilité Gestion

(e) Cet ajustement reste-t-il valable sur le moyen terme?

2. Ajustement logistique

Compte-tenudes limitesde notre ajustementaffine, on envisage unajustement du taux d"équipement par une fonction logistiquefdéfinie sur [0; 30] par :f(x)=c

1+ae-bxavec

a,betcdes nombres réels. (a) Donner,avec lacalculatrice,lavaleur debarrondiel"unitéet celledeaetcarrondie

à 10

-2près. Pour les Casio :calc,REG, puis faire défiler avec F6 etLgst.

Pour les TI :CALC, puis8 :Logistic.

(b) À l"aide de cet ajustement,quel taux peut-on prévoir pour 2017?

Partie B :Étude de l"ajustement

Dans la suite,onadmet que lapartdes 12 anset plusayant internetàla maisonest modélisée par la fonctionfdéfinie sur [0; 30] parf(x)=92

1+e1,6-0,28xoùxest le temps écoulé depuis 2000,

exprimé en années, etf(x) le taux d"équipement en %.

1. Calculerf(10) et interpréter le résultat.

2. On a obtenu ci-contre, la dérivée de la fonctionfà l"aide d"un logiciel de calcul formel :

(a) Donner, sans justification, l"expression def?(x). (b) Justifier que la dérivée est positive sur [0; 30]. En déduire le tableau de variation de la fonctionfsur [0; 30]. (c) Justifier que l"équationf(x)=90 a une unique solutionx0dans l"intervalle [0; 30]. (d) Donner un encadrement d"amplitude0,1 dex0.

3. Peut-on prévoir que 92% des 12 ans et plus seront équipés d"internet à domicile?

198
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