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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ?
[PDF] T ES Fonction exponentielle
Le fonction exponentielle notée exp est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y
[PDF] Fonction logarithme népérien : exercices - page 1 ?e ) 5 ) - Pierre Lux
e ) prend la valeur 1 en 0 3 ) Soit C la courbe représentative de la fonction ln a ) La droite ?:y=0 est une asymptote à C
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Formulaire Fonctions logarithmes – Ce qu'il faut savoir La fonction x ? ln(x) est définie sur ]0 ; + ?[ Tableau de variation et limites
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2 Exercice 2 : Dérivées et fonction exp 5 3 Exercice 3 : Équations et fonction exp 6 4 Exercice 4 : Fonctions exp et ln
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Écrire avec les fonctions exponentielles et ln x4 = 4x = 12x = Exercice 2 Au premier janvier 2006 M Martin achète une voiture 30 000 €
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a et b réels strictement positifs et n entier naturel ? (I) : ln(x ? 1) + ln(x + 2) ? 2 ln(2) Quel est
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1) Condensateur : charge et décharge I) Le condensateur et porte une charge q qui s'exprime en Coulombs (C) 1) Donner l'expression de ln(uC)
FORMULAIRE
Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de d´efinition de la formule : par exemple⎷asous-entenda?0,n?N?,kest une constante.
Logarithme et Exponentielle :elnx= ln(ex) =x
ln1 = 0ln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a/b) = ln(a)-ln(b)ln(1/a) =-ln(a)ln(⎷a) = ln(a)/2ln(aα) =αln(a)
e0= 1ex+y= exeyex-y= ex/eye-x= 1/ex⎷ex= ex/2(ex)y= exylimx→-∞ex= 0limx→+∞ex= +∞limx→0ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞limx→0xln(x) = 0limx→+∞ln(x)/x= 0
limx→-∞xex= 0limx→+∞ex/x= +∞limx→+∞ln(x)/x= 0limx→-∞xnex= 0limx→+∞ex/xn= +∞limx→+∞ln(x)/xn= 0
D´eriv´ees
Fonctions usuellesFonctions usuellesR`egles de d´erivationExemples f(x)f?(x)f(x)f?(x) k0x1(u+v)?=u?+v?(u×v)?=u?v+uv??3x2lnx??= 6xlnx+ 3x k×xkxkkxk-1(k×u)?=k×u?(uk)?=ku?uk-1?sin3(x)??= 3cosxsin2x 1 x-1x2 1 xn-nxn+1 ?1 u? ?=-u?u2 ?u v? ?=u?v-uv?v2 1-x2 1+x2? ?=-4x(1+x2)2⎷x12⎷xlnx1
x(⎷u)?=u?2⎷u(u(v(x)))?=u?(v(x))×v?(x)?sin?e2x???= 2e2xcos?e2x? sinxcosxexex(sinu)?=u?cosu(lnu)?=u?u e -5x3??=-15x2e-5x3 cosx-sinxtanx1 + tan2x(cosu)?=-u?sinu(eu)?=u?eu?sin(x3)??= 3x2cos(x3)D´eriv´ees partielles
On d´erive une fonction de plusieurs variables par rapport `a une variable en consid´erant les autres variables comme constantes.
∂x(-5x2y3) =-10xy3∂∂y(-5x2y3) =-15x2y2∂∂xe-5x2y3=-10xy3e-5x2y3∂∂ye-5x2y3=-15x2y2e-5x2y3
Matrice Jacobienne, Trace, D´eterminant
Pour un syst`eme?
x?=f(x,y) y ?=g(x,y)on d´efinit laMatrice Jacobienne:A(x,y) =(( ∂f∂x(x,y)∂f∂y(x,y) ∂g ∂x(x,y)∂g∂y(x,y)))Pour une matriceA=?a b
c d? on d´efinit satracetr(A) =a+det sond´eterminantdet(A) =ad-bc.Moyenne, Variance, Covariance
Pourune s´erieXdenmesuresxi, on a lamoyenneμ(X) =1nn i=1x i, lavarianceVar(X) =1nn i=1(xi-μ(X))2=μ(X2)-μ(X)2, l"´ecart-typeσ(X) =? Var(X). On aμ(aX+b) =aμ(X) +b,Var(aX+b) =a2Var(X), σ(aX+b) =|a|σ(X). Pour une s´erie dencouples de mesures (xi,yi), on a lecentre de gravit´eG= (μ(X),μ(Y)), lacovarianceCov(X,Y) =1 n? n? i=1(xi-μ(X))(yi-μ(Y))? =μ(XY)-μ(X)μ(Y), lecoefficient de corr´elation lin´eaireρ(x,y) =Cov(x,y) ?Var(x)Var(y), ladroite des moindres carr´esy= ˆax+ˆb,o`u ˆa=Cov(X,Y)Var(X),ˆb=μ(Y)-ˆaμ(X).
Inertie Totale, Intraclasse, Interclasse
Pourun nuage Γ denpointsMiet de centre de gravit´eGon a l"inertie totaleI(Γ) =1n?d(M1,G)2+d(M2,G)2+···+d(Mn,G)2?.
Si ce nuage est la r´eunion disjointe deksous-nuages Γ1,...,Γk, de centres de gravit´eG1,...,Gk, form´es den1,...,nkpoints
on a l"inertie intraclasse:Iintra= p1I(Γ1) +...+pkI(Γk) o`upi=ni/nest le poids relatif de Γidans Γ et l"inertie interclasse:Iinter= p1d2(G1,G)2+...+pkd2(Gk,G)2, alorsI(Γ) =Iintra+Iinter.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] e pace essence
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