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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ?
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Le fonction exponentielle notée exp est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y
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e ) prend la valeur 1 en 0 3 ) Soit C la courbe représentative de la fonction ln a ) La droite ?:y=0 est une asymptote à C
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Formulaire Fonctions logarithmes – Ce qu'il faut savoir La fonction x ? ln(x) est définie sur ]0 ; + ?[ Tableau de variation et limites
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2 Exercice 2 : Dérivées et fonction exp 5 3 Exercice 3 : Équations et fonction exp 6 4 Exercice 4 : Fonctions exp et ln
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Écrire avec les fonctions exponentielles et ln x4 = 4x = 12x = Exercice 2 Au premier janvier 2006 M Martin achète une voiture 30 000 €
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FFoonnccttiioonn eexxppoonneennttiieellllee
I. Définition de la fonction exponentielle
1) Définition
Le fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) .Exemples :
ln 1 = 0 ln e = 1 ln e3 = 3 ln en = n ñ 1 = exp(0) ñ e = exp(1) ñ e3 = exp(3) ñ en = exp(n)Pour tout réel x, on pose : exp(x) = ex.
Selon les cas, pour une bonne lisibilité, on utilise soit la notation exp(x) , soit ex.2) Propriétés
Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) . Pour tout réel x , ex > 0, c'est-à-GLUH O·H[SRQHQPLHOOH HVP PRXÓRXUV SRVitive. Pour tout réel x , ln ( exp(x)) = x ( ou ln ( ex ) = x )Car car x = ln y ñ y = exp(x)
ñ ln y = ln ( exp x) ( composition par la fonction ln )ñ x = ln ( exp x)
Pour tout réel x strictement positif, exp ( ln x ) = x Car ln ( e ln x OQ [ 3URSULpPp SUpŃpGHQPH HQ O·MSSOLTXMQP j OQ [ ñ e ln x = x e0 = 1 Pour tous réels a et b, ea = eb équivaut à a = b.3) Propriétés
Les propriétés suivantes se déduisent de celles du logarithme népérien.Pour tous réels a et b, et tout naturel n :
ea+b = ea eb car ln (ea+b) = a+b ln ( ea eb) = ln ea + ln eb = a + bOn a donc ln (ea+b) = ln ( ea
eb) et donc ea+b = ea eb ba b a ee e b b e 1e (ea)n = enaExemples :
e3,5 e1,5 = e3,5+1,5 = e5 e3 + ln2 = e3 . eln2 = 2 e3II. Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur Ë et prend ses valeurs dans ]0 ; +õ[.
1) Dérivée
La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x H[S·[ H[S [Si f(x) = ex MORUV I·[ Hx.
Dem :ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1.
LOQ H[S [ @·
)xexp( ))'x(exp( )xexp( ))'x(exp( = 1G·RZ H[S·[ H[S[B
Exemple :
f(x) = x2 ex MORUV I·[ 2[Hx + x2 ex.2) Limites en +õ et en -õ
x xelim x elim x xDem : comparaison de ex et x.
h(x) = ex ² xO·[ Hx ² 1
h est croissante sur ]0 ; +õ[ h(0) = 1, donc h(x) >0 ex ² x > 0 ex > x puis comparaison des limites Dem : )eln( e x e x xx x xelim 0XXlnlim
X G·RZ 0e )eln(limx x x3MU O·LQYHUVH RQ M :
)eln( elimx x x et x elim x x x xelim = 0 x xxelim = 0 Dem : x x e 1e Dem : x x e xxe3) Variation de la fonction exponentielle
x0 1 +
( exS [ · + ex e 1 04) Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction
MGPHP SRXU MV\PSPRPH O·M[H [[· HQ -õ.
III. ([SRQHQPLHOOH G·XQH IRQŃPLRQ
1) Dérivée de eu
Soit u une fonction dérivable sur Ë.
(eu· X· Hu.Exemple :
f(x) = e2x g(x) = 2xe2) Limites de eu
Si )x(ulim ax = + õ, alors )x(u axelim Si )x(ulim ax = - õ, alors )x(u axelim = 0.Exemple :
x xelim = 0, car )x(lim x3) Primitives
Les primitives de la fonction exponentielle sont les fonctions F telles que F(x) = ex + k.8QH SULPLPLYH GH OM IRQŃPLRQ TXL V·pŃULP X· Hu est la fonction eu.
Exemple :
f(x) = 3 e3x-5IV. Exponentielle de base a
1) Définition
Soit a un réel strictement positif.
La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie sur Ë, par f(x) = ax = ee ln aPour tout réel x, ax > 0.
En particulier :
Si a = 2 : 2x = ex ln 2.
Si a = 10 : 10x = ex ln 10
Si a = e : on retrouve la fonction exponentielle déjà étudiée.2) Dérivée et variation
G·MSUqV OH POpRUqme de dérivation des fonctions composées, puisque f(x) = ex ln a I· HVP PHOOH
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