[PDF] Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 2016

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A. P. M. E. P.

?Corrigé dubaccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 2016?

EXERCICE1 Commun à tousles candidats 5 points

Question1

La proportion de gauchers dans la population française est de 13%.

Un intervalle defluctuation asymptotique, au seuil de 95%, de lafréquence de gauchers dans un échan-

tillon de 500 personnes prises au hasard dans la population française est : a.[0,080; 0,180]b.[0,085; 0,175] c.[0,100; 0,160]d.[0,128; 0,132] n=500 etp=0,13 doncn?30,np=65?5 etn(1-p)=435?5 donc les conditions pour déterminer

un intervalleIde fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des gauchers dans un échantillon de taille

500 sont vérifiées :

I=??? p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n???

0,13-1,96?

0,13(1-0,13)?500; 0,13+1,96?

0,13(1-0,13)?500?

≈[0,100; 0,160]

Question2

SurR, l"ensemble des solutions de l"inéquation lnx+ln3?ln(2x+1) est : a.[2 ;+∞[b.]0; 2]c.]-∞; 1] d.]0; 1] L"inéquation lnx+ln3?ln(2x+1) n"aura de solutions que si lnxet ln(2x+1) existent, donc six>0. lnx+ln3?ln(2x+1)??ln(3x)?ln(2x+1) propriété de la fonction ln ??3x?2x+1 croissance de la fonction ln ??x?1 On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0,5; 5] par :f(x)=x2-3xlnx+1 On a représenté, ci-dessous, cette fonctionfdans un repère orthonormé :

O?ı?

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Question3

a.La fonctionfest décroissante sur l"intervalle [0,5; 3]. b.La fonctionfest convexe sur l"intervalle [0,5; 5]. c.La courbe représentantfadmet un point d"inflexion au point d"abscisse 2. d.La fonctionfest concave sur l"intervalle [0,5; 1,5].

f(x)=x2-3xlnx+1 doncf?(x)=2x-3lnx-3x1x=2x-3lnx-3 et doncf??(x)=2-3x=2x-3xf??(x)?0 sur[0,5; 1,5]donc la fonctionfest concave sur cet intervalle.

Question4

On noteIl"intégrale?

2 1 f(x)dx; on peut affirmer que : a.0,5?I?1b.4?I?7 c.1?I?1,75d.2?I?4 L"intégraleIest égale à l"aire de la partie hachurée sur le graphique.

Question5

On souhaite utiliser un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée au centième de la

solutionαde l"équationf(x)=1 sur l"intervalle [1; 3]. (Onadmet que sur cet intervalle l"équation admet

bien une unique solution.)

Voici trois algorithmes :

Algorithme 1Algorithme 2

InitialisationInitialisation

aprend la valeur 1aprend la valeur 1 bprend la valeur 3bprend la valeur 3 sprend la valeur 0

TraitementTraitement

n=(b-a)?100Tant queb-a>0,01 faire Pouriallant de 1 ànfaire•cprend la valeur (a+b)/2 •xprend la valeura+0,01?i•sif(c)>1 alorsaprend la valeurc •sprend la valeurs+0,01?f(x)•sinonbprend la valeurc

Fin de PourFin de Tant que

SortieSortie

AffichersAffichera

Algorithme 3

Initialisation

aprend la valeur 1 bprend la valeur 3

Traitement

Pourxallant de 1 à 3 faire

•Sif(x)<1 alorsaprend la valeur (a+b)/2

•sinonbprend la valeur (a+b)/2

Fin de Pour

Sortie

Affichera

Nouvelle-Calédonie2mars 2016

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

a.L"algorithme 1 affiche une valeur approchée au centième deα. b.L"algorithme 2 affiche une valeur approchée au centième deα. c.L"algorithme 3 affiche une valeur approchée au centième deα. d.Aucun des trois algorithmes n"affiche de valeur approchée aucentième deα. L"algorithme 2 correspond à la recherche d"une solution d"équation par dichotomie. EXERCICE2 Candidats ayant suivil"enseignement de spécialité 5 points

Deuxsupermarchés concurrents, Alphamarché et Bétamarchéouvrent simultanément un service de re-

trait permettant àleurs clients derécupérer leurs coursesaprès avoir passé leur commande sur internet.

Afin de promouvoir leur service de retrait, chacun organise une campagne de publicité.

Alphamarché contrôle l"efficacité de sa campagne par des sondages mensuels où les clients qui utilisent

les services de retrait se prononcent tous en faveur d"un seul service de retrait, celui d"Alphamarché ou

celui de Bétamarché. Au début de la campagne, 20% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché.

Les sondages mensuels ont permis de mettre en évidence que les arguments publicitaires font évoluer

chaque mois la répartition.

On décide de modéliser cette évolution en considérant que 10% des personnes préférant Alphamarché

et 15% des personnes préférant Bétamarché changent d"avis d"un mois sur l"autre. Le mois du début de la campagne est noté mois 0. On interroge, au hasard, un client faisant ses courses dans l"un des deux services de retrait.

Pour tout entier natureln, on note :

•anla probabilité que le client interrogé préfère Alphamarchéle moisn; •bnla probabilité qu"il préfère Bétamarché le moisn; •Pn=?anbn?la matrice ligne désignant l"état probabiliste au moisn.

1.Au début de la campagne, 20% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché donca0=0,2

etb0=1-a0=1-0,2=0,8; on a donc :P0=?0,2 0,8?

2.OnnoteA,l"état "Leclient interrogépréfèreAlphamarché»etBl"état "Leclientinterrogépréfère

Bétamarché».

10% des clients qui préfèrent Alphamarché changent de supermarché le mois suivant, donc il

reste 90% de clients fidèles à Alphamarché d"un mois au suivant.

15% desclientsquipréfèrentBétamarchéchangentdesupermarchélemoissuivant,doncilreste

85% de clients fidèles à Bétamarché d"un mois au suivant.

On représente la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB: A B 0,1 0,15

0,90,85

3. a.D"après le texte, on a :?an+1=0,9an+0,15bn

b n+1=0,1an+0,85bn

Ce qui se traduit sous forme matricielle par :

?an+1bn+1?=?anbn??0,9 0,1

0,15 0,85?

La matrice de transition de ce graphe est donc :M=?0,9 0,1

0,15 0,85?

b.P1=P0×M=?0,2 0,8?×?0,9 0,1

0,15 0,85?

=?0,2×0,9+0,8×0,15 0,2×0,1+0,8×0,85? ?0,18+0,12 0,02+0,68?=?0,3 0,7?

Nouvelle-Calédonie3mars 2016

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

4. a.D"après le cours, on peut dire que, pour toutn,Pn=P0×Mn.

Cette propriété est démontrée souvent dans l"année de terminale et peut être considérée comme

devant être connue des élèves; si on veut la redémontrer danscette question, on utilisera une

démonstration par récurrence. b.On trouve à la calculatrice :P3=P0×M3=?0,43125 0,56875?

Cela veut dire que le 3

emois, il y aura à peu près 43% de clients qui choisiront Alphamarché, et 57% qui choisiront Bétamarché.

5.D"après la calculatrice, la suite (an) semble croissante, et la suite (bn) décroissante.

Toujours en utilisant la calculatrice, on trouve : P

4=P0×M4≈?0,4734 0,5266?etP5=P0×M5=?0,5051 0,4949?

Donc, à partir du 5

emois, les clients préfèreront le retrait d"Alphamarché à celui de Bétamarché.

EXERCICE3 Commun à tousles candidats 5 points

Les 275 passagers d"un vol long-courrier s"apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en

classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit

pour un séjour long.

Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35% partent pour un séjour long alors que parmi

les passagers ayant choisi la classe confort, 70% ont opté pour un séjour long.

PartieA

On choisit au hasard un passager du vol.

On note les évènements suivants :

•E: "Le passager voyage en classe économique.» •L: "Le passager part pour un séjour long.»

On note

EetLles évènements contraires des évènementsEetL.

1.Sur 275 passagers, il y en a 220 qui voyagent en classe économique. Comme on choisit au hasard

un passager du vol, il y a équiprobabilité, doncp(E)=220

275=0,8.

2.D"après le texte,pE(L)=0,35 etp

E(L)=0,70.

On représente la situation à l"aide d"un arbre pondéré : E 0,8 L0,35

L1-0,35=0,65

E

1-0,8=0,2L0,70

L1-0,70=0,30

3.La probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long est :

4.D"après la formule des probabilités totales :

p(L)=p(E∩L)+p(

E∩L)=0,28+0,2×0,7=0,28+0,14=0,42

5.On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour.La probabilité que ce passager voyage en classe économique est :

p

L(E)=p(E∩L)

p(L)=0,280,42=23

Nouvelle-Calédonie4mars 2016

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

01020304050

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600102030405060

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65ty

C 20546

PartieB

Lors de l"embarquement, chaque passager enregistre un bagage qui sera placé dans la soute de l"avion

pendant le vol. Le poids de ce bagage ne doit pas excéder 20 kg.Dans le cas où le poids de son bagage

dépasserait 20 kg,le passager doit s"acquitter d"une "taxed"excédent debagage».Le montant àpayer en

cas d"excédent est précisé dans le tableau ci-dessous.

Poidsp(en kg) du

bagageTaxe d"excédent de bagage

20

21

22 p>2420?/kg au-delà des 20 kg autorisés On choisit au hasard un bagage devant être transporté dans lasoute de l"avion.

On admet que le poids de ce bagage, exprimé en kg, est modélisépar une variable aléatoireMqui suit

la loi normale d"espérance 18,4 et d"écart type 1,2.

1.La probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s"acquitte d"une taxe d"excédent de

bagage estp(M>20)≈0,091.

2.La probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s"acquitte d"une taxe d"excédent de

bagage de 24?estp(21PartieC

L"enregistrement des bagages des passagers est possible pendant une durée de 2 h.

Un passager du vol est choisi au hasard et on noteTla durée (en minutes] qui s"est écoulée entre le

début des enregistrements des bagages et l"arrivée de ce passager au comptoir d"enregistrement.

On admet queTest une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l"intervalle [0 ; 120].

La probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les 30 dernières minutes autorisées est

30

120=0,25.

EXERCICE4 Commun à tousles candidats 5 points

La courbeCci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d"une épidémie en fonction du nombretde jours écoulés depuis l"apparition de la maladie.

PartieA

1.À l"aide du graphique, on peut estimer que le nombre de malades est maximal au bout de 20

jours; le nombre approximatif de malades est de 54 milliers (voir graphique).

Nouvelle-Calédonie5mars 2016

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.Le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte correspond au jour où la tan-

gente à la courbe a un coefficient directeur maximum; c"est autour du 6ejour.

PartieB

On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction dutemps, à l"aide de la fonctionfdéfinie

sur l"intervalle [0; 60] par :f(t)=t2e-0,1t oùtreprésente le nombre de jours écoulés depuis l"apparition de la maladie.

Pour étudier les propriétés de la fonctionf, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les

résultats suivants :

•f?(t)=0,1t(20-t)e-0,1t

•f??(t)=?0,01t2-0,4t+2?e-0,1t

•F(t)=?-10t2-200t-2000?e-0,1t

oùf?désigne la dérivée def,f??désigne sa dérivée seconde etFune primitive def.

2. a.Pour tout réelt, e-0,1t>0 etT?0 sur[0; 60]; doncf?(t) est du signe de 20-t.

Doncf?(t)?0 sur[0; 20]etf?(t)?0 sur[20; 60].

De plus,f?(0)=0.

b.f(0)=0,f(20)=400e-2≈54,13 etf(60)=3600e-6≈8,92 Le tableau de variation de la fonctionfsur[0; 60]est : x0 20 60 f?(x)0+++0---

400e-2

f(x)

03600e-6

3.Lenombremoyendemaladesparjour,enmilliers, durantles60premiersjoursaprèsl"apparition

de la maladie est donné parN=1 60?
60
0 f(t) dt. a.La fonctionFest une primitive de la fonctionfdonc :? 60
0 f(t) dt=F(60)-F(0)

F(60)=-50000e-6etF(0)=-2000 donc?

60
0 f(t) dt=-50000e-6+2000

DoncN=1

60?-50000e-6+2000?=13?100-2500e-6?

de malades par jour, arrondi à la dizaine, est de 31270.

4. a.La courbeCadmet un point d"inflexion d"abscisset0si la dérivée secondef??s"annule et

change de signe ent0. f ??t2-40t+200=0 (en multipliant par 100) Δ=402-4×1×200=800>0 donc l"équation admet deux solutions : t ?=40+? 800

2=40+20?

2

2=20+10?2≈34,14>15 ett??=20-10?2≈5,85<15

On étudie le signe def??(t) sur[0; 60]:

t0 20-10?2 15 20+10?2 60 f??(t)+++0---0+++ Sur l"intervalle[0; 15],lacourbeCadmetdoncunseul pointd"inflexion d"abscisse 20-10?2 dont la valeur arrondie à l"unité est 6.

Nouvelle-Calédonie6mars 2016

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.Un point d"inflexion correspond à un changement de convexitéde la courbe.

Pour 0?t<20-10?

2,f??(t)>0, donc la fonctionfest convexe sur[0; 20-10?2].

Pour 20-10?

2 à concave, ce qui signifie que la propagation de la maladie commence à décroitre.

Nouvelle-Calédonie7mars 2016

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