[PDF] EP 010 - 2008 : Marche aléatoire

View - Download EP 010 - 2008 : Marche aléatoire

Previous PDF

Next PDF

Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques

ESD2018_3c02. Grandeurs et mesures

1. Le sujet

A. Exercice

Lors d'une promenade à bicyclette, Lucie utilise une application de son smartphone pour évaluer sa vitesse

sur chacun des quatre tronçons du trajet. Estimer la durée totale de son trajet ainsi que sa vitesse moyenne au cours de ce trajet. B. Les productions de deux élèves de troisième

Elève 1

Comme toutes les distances sont identiques il suffit de faire la moyenne des vitesses:4,184/8,162,213,174,18donc 18,4 km/h.

Par conséquent Lucie a mis un peu plus d'une heure.

Elève 2

J'ai utilisé un tableur

Je trouve un temps total de 14,74 h et une vitesse moyenne de 1,35 km/h, mais j'ai dû me tromper.

C. Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en valeur leurs réussites et en précisant leurs

erreurs. Vous indiquerez les conseils à leur apporter.

2. Présentez une correction de l'exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de troisième.

3. Proposez deux exercices (l'un au niveau du collège, l'autre au niveau du lycée) sur le thème grandeurs et

mesures permettant notamment de développer les compétences " modéliser» et " calculer ».

G. Julia. 2018/20191

Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques

2. Eléments de correction

Voici un problème portant sur la notion de grandeurs composées. Il s'agit d'un authentique exercice de

recherche : l'énoncé est court, compréhensible immédiatement, et sa résolution nécessite une étape

intermédiaire non explicitement évoquée. La consigne : " estimer » et non " calculer » ouvre la porte à des

démarches de calcul d'ordre de grandeur plutôt que de calcul exact. L'enseignant pourra, si l'occasion se

présente, confronter les deux types de démarche.

Le même type d'exercice est souvent posé dans le cas d'un trajet aller et retour (en côte puis en descente,

vent debout puis vent en poupe, ... voir manuels). Ici, la mire est un peu plus haute puisque la promenade de

Lucie se divise en quatregjphases, pas moins.

On note la modernité de l'habillage. Aux orties les chronomètres, sabliers et autres clepsydres, la fille du

facteur dispose maintenant d'un smartphone et de ses applications. Et elle ne s'appelle plus Paulette.

1. Analyse de travaux d'élèves.

Elève 1.

Cet élève applique un théorème en acte incorrect qui s'énoncerait ainsi : " si on divise un parcours en

plusieurs tronçons de longueur égale, la vitesse moyenne sur la totalité du parcours est la moyenne

arithmétique des vitesses sur chaque tronçon ». Cela a amené cet élève a intervertir l'ordre des questions

posées : la vitesse d'abord, la durée ensuite. Dans le cas de la durée, sa réponse est cohérente (" réussite »)

avec son résultat concernant la vitesse. Conformément à la consigne, il a " estimé » et non " calculé » la

durée degjparcours.

Pour remettre en cause son raisonnement, on pourrait lui demander, par exemple, ce qu'il se passerait si

Lucie avait parcouru 5 km à 15 km/h puis 5 km à 5 km/h. Elle aurait alors parcouru 10 km. La moyenne

arithmétique des deux vitesses est 10 km/h. Est-il vrai que Lucie aurait mis exactement une heure pour

parcourir cesgj10 km ?

Dans un premier temps au moins, il n'y a pas lieu de donner d'autres conseils. On peut ensuite lui faire

remarquer que l'énoncé demande d'estimer d'abord la durée et ensuite seulement la vitesse et lui suggérer de

respecter cet ordre : comment procéder pour cela ?

Bougnègue.

Aujourd'hui Bougnègue est représentatif de l'élève qui se précipite sur un logiciel, en l'occurrence un

tableur, sans réfléchir sur le comment et le pourquoi d'une utilisation dudit logiciel.

Bougnègue a entré les données puis utilisé la formule qui lui paraissait la plus " normale » : il divise le plus

grand nombre par le plus petit nombre. Il a l'intuition que la question porte sur la notion de grandeurs

composées mais n'a pas conscience de l'ordre de composition. (Le recours au tableur a-t-il inhibé sa capacité

de réflexion ?)

Sa relative " réussite », le calcul cohérent de la vitesse moyenne (distance divisée par durée) n'est

probablement pas un effet d'une bonne compréhension de la situation mais une application du même

principe nombrepetitplus nombregrandplus iagilbertjul2018. Ce n'est donc pas une réussite ...

La seule " réussite » est qu'il se rend compte lui-même de l'incongruité de ses résultats, il a conscience que,

à 1,35 km/h, Lucie va casser non seulement sa figure mais aussi sans nul doute son smartphone (ce qui est

évidemment plus grave).

On pourrait lui faire expliciter la formule qu'il a entrée en ligne 3 puis lui demander de calculer mentalement

quelle serait la durée d'un parcours de 5 km si la vitesse était de 20 km/h et comparer avec le résultat que

donnegjsa formule.

Il faut attirer l'attention de cet élève sur la signification de la formule qu'il a utilisée (il doit lui donner du

sens) et l'inciter à n'utiliser son tableur qu'après avoir déterminé la nature du calcul qu'il se propose

d'automatiser. (Son tableur une fois corrigé pourrait éventuellement être exploité pour illustrer la correction).

G. Julia. 2018/20192

Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques

2. Correction de l'exercice.

On fait rappeler les relations qui existent entre les grandeurs distance, durée et vitesse. La vitesse est une

grandeur quotient des deux autres : durée distance vitesse . On peut s'appuyer sur la production de l'élève 1 : a-t-il raison ou y a-t-il un lézard ?

Il semble pertinent devant une classe de troisième, et aussi devant un jury de CAPES, de s'en tenir

strictement aux données numériques de l'exercice. Voici cependant une résolution plus générale : Le parcours a été divisé en quatre tronçons de même longueur d, mais les vitesses

4321,,,vvvv ne sont pas

les mêmes sur ces tronçons. Les durées de parcours sur chaque tronçon sont

4,3,2,1;iv

d i.

On aboutit au résultat :

4321v
d v d v d v dtotaledurée, ce qui donne avec les valeurs numériques 1,094 h à 10-3 près c'est-à-dire mnh051 à une minute près, " un peu plus d'une heure » autrement dit.

La distance totale parcourue est

d4. La vitesse moyenne est :

43214321

1111

442018

vvvvv d v d v d v d dviagilbertjul On obtient 18,3 km/h à 0,1 près avec les valeurs numériques. Il s'agit là de la moyenne harmonique des quatre vitesses. La moyenne harmonique est " l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des termes » (sic).

NB. Les quatre types de moyenne les plus courants sont : arithmétique, géométrique, harmonique et

quadratique. Aujourd'hui, il est question de " moyenne harmonique ».

Elle est utilisée pour définir une moyenne dans des circonstances où l'on peut établir entre les grandeurs en

jeu des relations de proportionnalité inverse.

G. Julia. 2018/20193

Epreuve sur dossierCAPES Mathématiques

3. Commentaires

Avec les données numériques de cet exercice, on constate que l'élève 2 n'est pas loin du compte en

proposant la moyenne arithmétique comme réponse. La raison en est que les quatre vitesses sont voisines les

unes des autres.

Aussi je m'interroge sur la consigne " estimer ». Doit-on conclure que pour des valeurs voisines, la moyenne

arithmétique est une bonne approximation ? Je doute fort que ce soit le but recherché. Ou bien doit-on

montrer que le calcul exact donne un résultat un peu différent de l'estimation et bâtir sa correction sur

l'explication de cette différence ? Pourquoi pas, cela peut être intéressant.

On peut suggérer de changer les données pour d'autres plus dispersées, qui permettraient de mieux mettre en

évidence la différence entre les deux moyennes et en défaut manifeste la conclusion de l'élève 1. On

remarquera que dans les exercices de même type des manuels, ou bien ça monte raide puis ça descend de

même, façon Tourmalet, ou bien le vent souffle très fort, mais toujours les vitesses sont très différentes.

4. Exercices complémentaires

Sur le thème " grandeurs et mesures », compétences " modéliser », " calculer »

Voir REDCM pages 57 à 60 et page 310 (mais à l'époque les grandeurs dont il était question dans les thèmes

selon la classification CAPES étaient exclusivement des grandeurs géométriques). Liste non exhaustive de sujets de sessions précédentes s'y rapportant plus ou moins :

ESD2017_17

ESD2017_3c02

ESD2016_14

ESD2014E_04

G. Julia. 2018/20194

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] CLASSE : 3ème CONTROLE sur le chapitre : NOTION DE

[PDF] Gestion des défibrillateurs automatisés externes - Repères - Ansm

[PDF] Contrôle et diagnostic par un réseau de capteurs magnétiques en

[PDF] Le contrôle des coûts et des recettes en restauration

[PDF] Contrôle : « Développement-Factorisation »

[PDF] comment reussir une visite de contrôle - (SDIS) du Var

[PDF] CONTRÔLE d 'histoire : l 'Empire byzantin JE SUIS CAPABLE DE

[PDF] DEVOIR SURVEILLE n°3 -

[PDF] Contrôle 1ère S Géométrie plane - Dimension K

[PDF] DEVOIR SURVEILLE n°3 -

[PDF] Raccourci clavier: ctrl f - C-Marketing

[PDF] Contrôle : « Fonctions linéaire et affine »

[PDF] CONTROLE DE MATHEMATIQUES - Mathadoc

[PDF] Contrôle C3 : FRACTIONS (1 h)

[PDF] Les échanges de marchandises - Histoire et géographie - Académie