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Statistique descriptive à deux variables

Dans certain cas, il existe une relation entre deux caractères d"une même population (par exemple,

l"épaisseur d"un mur et sa résistance thermique).

Pour étudier d"éventuelles relations, on étudie conjointement deux caractères d"une même popu-

lation, on définit alors une série statistique à deux variablesxetyprenant des valeursx1,x2,...,xN

ety1,y2,...,yN.

1 Vocabulaire, représentations

1.1 Tableaux de données

Une série statistique double peut se présenter sous la forme d"un tableau à deux lignes. Exemple : Une usine produit des bobines de fil d"acier; On étudie la charge de rupture de l"acier

exprimée enKg, en fonction de sa teneur en carbone en%, et on a obtenu les résultats suivants :Teneur en carbone(xi)0,600,610,620,640,650,670,680,690,710,75Charge de rupture(yi)657070757580859095100

Chaque ligne représente une série marginale pour laquelle on peut faire la même étude que dans

le cas d"une série à une variable.

1.2 Nuage de points

Le plan étant rapporté à un repère, on peut associer à chaque couple(xi;yi)un point de coordon-

nées(xi;yi). L"ensemble de pointsMiobtenus constitue le nuage de points de la série statistique double. On appelle point moyen d"un nuage de N pointsMide coordonnées(xi;yi), le pointGde coor- données : x

G=x=1N

p i=1x i et y

G=y=1N

p i=1y i Exemple : Calculer les coordonnées du point moyenGde la série de l"exemple et le placer avec l"ensemble des points sur un graphique.

2 Paramètres

On considère une série statistique double(xi;yi). Chaque série marginale(xi)et(yi)a ses para-

mètres propres, moyenne, variance, ...

En plus des caractéristiques propres à chaque série, on définit des paramètres servant à décrire les

relations existants entre les deux séries. 1

2.1 Covariance

La covariance, notéecov(x;y), est définie par : cov(x;y) =1N p i=1(xi-x)(yi-y) =1N p i=1x iyi-xy Exemple : vérifier que pour l"exemple des bobines de fil d"acier, on a :cov(x;y) = 0,489

Propriété de la covariance :

•six?=ax+bety?=cy+dalorscov(x?;y?) =abcov(x;y)

2.2 Coefficient de corrélation

On définit le coefficient de corrélation notérpar : r=cov(x;y)σ xσy •r= 1si tous les points se trouvent sur une même droite de coefficient directeur strictement positif; •r?1si tous les points sont situés à proximité d"une telle droite; •0< r <1si le nuage de points est allongé parallèlement à une telle droite;

•r= 0our0si notamment le nuage est allongé parallèlement à l"un des axes de coordonnées ou

s"il a une forme arrondie;

• -1< r <0si le nuage de points est allongé parallèlement à une droite de coefficient directeur

strictement négatif; •r? -1si tous les points sont situés à proximité d"une telle droite; •r=-1si tous les points se trouvent exactement sur une telle droite .

Le coefficient de corrélation mesure donc la netteté de la liaison existant entre deux séries pour

autant que cette liaison soit linéaire ou approximativement linaire.

Attention : l"existence d"une corrélation, même importante entre deux séries n"implique pas né-

cessairement l"existence d"une relation directe de cause à effet entre les deux variables.

3 Ajustement affine

Le nuage de points étant représenté, on étudie sa "forme".

Si les points sont très dispersés, on dira qu"il n"y a aucun lien ou corrélation entre les deux gran-

deurs. Si au contraire les points semblent dessiner une courbe, on peut essayer de trouver l"équation y=f(x)de la courbe qui passe "le plus près possible" des points du nuage.

C"est le problème de l"ajustement, dont l"objectif est de pouvoir faire des estimations par interpo-

lation, dans l"intervalle, ou par extrapolation, à l"extérieur de l"intervalle.

Dans l"exemple précédent, le nuage de points à une forme longiligne, on cherchera une droite

d"équationy=ax+b. C"est un ajustement affine ou linéaire. 2

3.1 Ajustement à la règle

A l"aide d"une règle transparente, on s"efforce d"équilibrer le nombre de points situés de part et

d"autre de la droite et on prend 2 points pour déterminer l"équation. Exemple : dans l"exemple précédent prendreM1(0,60;65)etM7(0,68;85)et déterminer l"équa- tion de la droite.

3.2 Ajustement affine par la méthode de Mayer

La méthode consiste à partager le nuage de points en deux sous-nuages et de calculer pour chacun

le point moyenG1etG2. La droite d"ajustement est alors la droite (G1G2) dont on peut donner une équation.

La droite de Mayer passe par le point moyen.

Exemple : dans l"exemple précédent, on prendG1le point moyen des 5 premiers points etG2le point moyen des autres. - Calculer les coordonnées des pointsG1etG2. - Déterminer l"équation de la droite (G1G2).

3.3 Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Principe de la méthode : Soit(xi;yi)une série statistique double deNvaleurs, on noteMiles points correspondants dans un repère orthogornal(O;→ı,→?). On cherche une droiteDtelle que, si on projette les pointsMisurDparallèlement à l"axe des ordonnées, on obtient les pointsPitels que :N? i=1M iPi2soit minimale. Cette droite est appelée droite de régression deyenxet on la noteDy/x. Elle passe par le point

G(x;y).

Théorême: la droite de régression deyenxa une équation de la formey=ax+boùaetbsont deux réels avec :a=cov(x;y)V(x)etb=y-ax. On dit quexest la variable explicative etyest la variable dépendante.

Une autre écriture dea:

a=? p i=1xiyi-Nxy? p i=1xi2-Nx 2

Exemple : pour l"exemple des bobines, vérifier que l"équation de la droite de régressionDy/xest :

y= 242,56x-80,07. A l"aide de cette équation, donner une estimation de la charge de rupture pour0,73%de carbone. Par symétrie, on peut définir la droite de régression dexeny,Dx/yen projetant les pointsMi surDx/yparallèlement à l"axe des abscisses sur les pointsQi. Dans ce cas, la condition estN? i=1M iQi2 minimale. Cette droite passe aussi parG(x;y).

Théorême: la droite de régression dexenya une équation de la formex=αy+βoùαetβ

sont deux réels avec :α=cov(x;y)V(y)etβ=x-αy.

Exemple : Pour l"exemple de bobines, déterminer l"équation de la droite de régression dexeny

et en déduire la teneur en carbone permettant une charge de rupture de 105 Kg. 3 Si on cherche une estimation deyconnaissant la variablex, on utiliseDy/xet si on cherche une estimation dexconnaissant la variabley, on utiliseDx/y.

Les deux coefficients ont toujours le même signe, celui de la covariance. Si celle-ci est différente

de 0, les deux droites sont inclinées dans le même sens. Si la covariance est nulle, les deux droites sont

parallèles aux axes de coordonnées et perpendiculaires entre elle. Une condition pour que les pointsMisoient "presque" alignés est que les deux droites soient quasiment confondues. CommeDy/xetDx/ypassent toutes les deux par le pointG(x;y), il suffit donc que leurs coefficients directeurs soient proches. Le coefficient directeur deDy/xestaet celui deDx/yest1α ; l"égalité des coefficients s"écrit donc :a=1α ou encoreaα= 1. Cette dernière égalité est équivalente à cov(x;y2V(x)V(y)=r2= 1. si les coefficients sont positifs oua≥1α si les coefficients sont

négatifs. La droite de régression deyenxest donc moins inclinée par rapport à l"axe desxque celle

dexeny.

Exemple : pour l"exemple des bobines vérifier quer?0,98. Il y a une bonne corrélation entre les

deux grandeurs 4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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