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C'est une mesure de la dispersion du nuage autour du point considéré Y Théorème de Huygens : I(Y) = I(G) + d2(G Y) L'inertie est donc minimale quand Y=G

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La méthode consiste à partager le nuage de points en deux sous-nuages et de calculer pour chacun le point moyen G1 et G2 La droite d'ajustement est alors la

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Table des matières 1 Contexte statistique 5 2 Méthode des points observés 13 3 Méthode des points moyens 17 4 Méthode des moindres carrés

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Le point moyen G du nuage de points a pour coordonnées (13 ; 65) On peut placer ce point dans le repère Les coordonnées du point moyen G sont tel que est la

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Définition 3 : On appelle point moyen d'un nuage de points le point G de coordonnées (x; y) o`u x est la moyenne de x1x2 xn et y est la moyenne de y1

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Le nuage de points associé à une série statistique à deux variables donne donc immédiatement des informations de nature qualitative

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L'ensemble des points constitue le nuage de points associé à la série statistique double Le plus souvent on représente le nuage de points par des petites

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L'ensemble des points s'appelle le nuage statistique Les échelles devraient être choisies de sorte que la représentation d'un écart type sur l'échelle de la

Comment déterminer le nuage de points ?
Un nuage de points ou diagramme de dispersion est une représentation graphique dans un repère du plan d'une série statistique à deux variables X et Y. Chaque individu i est représenté par un point dont les coordonnées sont les valeurs respectives des variables X et Y prises par l'individu i.
Comment interpréter un nuage de points ?
Le nuage de points est particulièrement utile lorsque les valeurs des variables sur l'axe des y dépendent des valeurs de la variable de l'axe des x. Dans un nuage de points, les points sont placés sans être reliés. La tendance qui en résulte indique le type et la force de la relation entre deux ou plusieurs variables.
Lorsque les gouttes deviennent plus grosses et plus lourdes, le nuage les libère et il pleut. La forme du nuage vous indique si vous devez vous attendre à des précipitations et quel sera leur type. La météo dépend dans une large mesure de la géographie de l'endroit où vous vous trouvez.

Chapitre 2

LES NUAGES DE POINTS

2.1 Introduction

Nous consacrons ce chapitre aux variables numériques. Lorsque la variable est continue, il est souvent commode de raisonner en supposant que les valeurs rencontrées sont toutes diffiérentes (éventuellement inÞniment voisines mais diffiérentes). Soitn le cardinal d"une population dont les valeurs observéesχk de la variable sont toutes diffiérentes. La fréquence absolue de la valeurχ k est alors1tandis que sa fréquence relative est1µnσ Chaque observation est représentée par un point,L k

Pd"abscisseχk

σUne sta-

tistique à une dimension apparaît comme un nuage denpoints répartis sur un axe.

Chaque pointL

k représente un individu. Tous les points sont affiectés de la même masse i k =1µn(voir l"annexe page 36).

La moyenne

χPest l"abscisse du centre de masse,,Pdu nuage de points:χ=X k 1 nχ k =X k i k iχ k Le moment d"inertie, du nuage de points par rapport à,est X k i k(,L k 2 =X k 1 n¡χ k 2 =X 2 c"est le carré de l"écart quadratique moyen,X. Considérons une population dont chaque individu est décrit par deux variables

χetAσLa population concernée peut être par exemple l"ensemble des ménages hétéro-

sexuels; la variableχest l"âge de la femme, la variableAest le nombre d"enfants. Pour représenter les observations, on utilise un repère orthonormé à deux dimen- sions. Les unités sur chaque axe sont arbitraires. Un individu est représenté par un point, LPdu plan précédent. La variableχest l"abscisse deL, tandis queAen est l"ordonnéeσ

L"âge,

χPest une variable continue, on peut donc admettre qu"aucun des individus

observés n"a le même âge. Par conséquent, même si les nombres d"enfants sont les mêmes,

deux individus seront représentés par deux points distincts. Ce sont de tels nuages de points que nous allons étudier dans ce chapitre.

2.2 Ajustement à un modèle

On peut supposer qu"il existe une relation fonctionnelle deχ versAPc"est-à- dire queAprend une valeur et une seule, connue lorsqueχest connu (voir la liaison fonctionnelle page 2). Par exemple, on peut tracer point par point le graphe de l"équation horaire d"un mouvement rectiligne. La variableχest la date,BPde l"observation et la

22Lesnuagesdepoints

variableAest l"abscisse,CPdumobileàladateBσLa relationB7"Cest supposée être une relation fonctionnelle dont nous voulons obtenir le graphe. Admettons que pour des raisons théoriquesC(B)soit de la formeC(B)=Dsin(RB)sans que nous ne connaissions les coeffcientsDetRσPour ajuster au mieux les observations et la théorie, nous devons disposer d"un indicateur qui apprécie la "distance" entre observation et théorie. Pour cerner les propriétés d"un tel indicateur, donnons nous la courbe théorique,A=C(χ)et un ensemble de points(χ k PA k )supposés décrire les observations. L"indicateur doit être #) un nombre positif, 2) sa nullité doit impliquer que l"ajustement est parfait et 3) il doit

croître si on dégrade l"accord entre théorie et expérience en modiÞant l"ordonnée d"un

point expérimental par exemple. De nombreux indicateurs peuvent être construits. Parmi ceux-ci, S=X k (A k !C(χ k 2 (2.#) On vériÞe aisément les trois conditions imposées. Pour comprendre la signiÞcation deSPreprenons l"exemple d"une relation de la formeC(B)=Dsin(RB)σToutes les valeurs deBsont possibles, en particulier les valeurs B k k σOn ne peut donc prétendre qu"il y aurait erreur à considérer que la dateχ k est une date possible. Par contre, l"attribution que nous faisons de donner àC(χ k )la valeur mesuréeA k est entachée d"une double erreur. En effietC(B k )=C(χ k k )où k est l"erreur que l"on commet en posantχ k =B k au moment où l"on mesureC=A k En outre, la mesure deCest elle même entachée d"une erreur :A k =C(B k )+σOn en déduitA k =C(χ k k )+C(χ k k )∪C(χ k )+úC(χ k k oùúCest la dérivée deCσOn en déduit A k =C(χ k )+E k avecE k =úC(χ k k +qui minimisent la "distance" de la théorie à l"expérience, c"est-à-dire qui minimisentSσ

De façon pratique, on opère de la façon suivante. On formeSdonné par la relation 2.#. Dans le cas particulier considéré, il vientS=P k (A k !Dsin(Rχ k 2 .Lesvaleursdeχ k et deA k sont connues (ce sont les résultats expérimentaux), par contreDetRsont inconnus. L"indicateurSest donc une fonction connue des deux variables inconnuesDetRσOn poseS=S(DPR)σ Nous cherchons à déterminerDetRde telle sorte queSsoit minimum. On pose donc les deux équations FS