[PDF] Chapitre 11. (Complément) sur le comportement asymptotique des

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ECE 1 - Année 2018-2019

Lycée français de Vienne

Mathématiques - F. Gaunard

http://frederic.gaunard.comChapitre 11.(Complément) sur le comportement asymptotique des fonctions réelles

Ce très bref chapitre rappelle quelques interprétations, notamment graphiques, du calcul des limites

d"une fonction aux bords de son ensemble de définition. 1

Branc hesinfinies

On sait déjà (enfin on l"espère) que certaines limites peuvent se traduire par la présence d"asymptotes.

En effet, si une fonctionfa une limite finie en1(i.e.limx!1f(x) =a, aveca2R), sa courbe représentative admettra une asymptote horizontaley=aen1. Par exemple, la courbe représentative def:x7!1+ln(x)x +3exprésente une asymptote d"équation

y= 1en+1.Si en revanche, il y a une limite infinie en un pointx02Rau bord de l"ensemble de définition (i.e.

lim x!x0f(x) =1), la courbe représentative admettra cette fois une asymptote verticale, d"équation x=x0. Enfin, plus généralement, s"il existea;b2Rtels quelimx!1(f(x)(ax+b)) = 0, alors la courbe représentative defadmettra, en1, uneasymptote obliqued"équationy=ax+b. On détermineaetbà l"aide des formules suivantes: a= limx!1f(x)x etb= limx!1f(x)ax:

2Chapitre 11.Compléments sur les branches infiniesOn détermine la position relative de la courbe par rapport à une éventuelle asymptote en étudiant le

signe de ladifférencedes deux expressions correspondantes. Par exemple, on peut voir que la droite d"équationy= (2=3)xest asymptote oblique (en+1et1)

à la courbe de la fonctionfdéfinie surRpar

f(x) =2x213x2+ 1:Quand la courbe sembleregarderdans une direction mais tout en s"en éloignant, on dit que la courbe

possède une branche parabolique dont l"axe est donné par la direction que regarde la courbe. Plus

précisément, Définition 1.On dit que la courbe représentative defpossède unebranche paraboliqueen+1de directiony=ax(aveca6= 0) si lim x!+1f(x)x =aetlimx!+1f(x)ax=1:

Si la limite def(x)axest plus l"infini, la courbe regarde l"axe par au-dessus, si la limite est moins

l"infini, la courbe regarde l"axe par en dessous. Naturellement, on peut adapter la définition pour des branches paraboliques en1. Définition 2.Si, en revanche, la limite en l"infini du rapportf(x)x est0, on dit que la courbe possède

une branche parabolique de direction l"axe des abscisses(Ox)(c"est le cas en particulier du logarithme).

Enfin, si ce même rapport tend vers l"infini, on dit que la courbe possède une branche parabolique de

direction l"axe des ordonnées(Oy)(ce qui est le cas de l"exponentielle). Par exemple, soitfdéfinie sur[0;+1[parf(x) =x+1px. Un rapide calcul de limite montre que lim x!+1f(x) = +1;limx!+1f(x)x = 1etlimx!+1f(x)x= +1: On conclut donc que la courbe représentative defadmet une branche parabolique de directiony=x qu"elleregardepar au-dessus. 3

Exercice 1.(Interro n°1, Automne 2016) Étudier la branche en+1de la courbe représentative de la

fonction'définie surR?par '(x) =2x3ln(x2)x 2+ 1: Exercice 2.(D"aprèsEML 2014) On considère la fonction'définie surR+par '(x) =exxe1=x:

Partie I - Étude de la fonction'

On admet que'estdérivable trois foissurR+(ce qui garantie l"existence de'0, dérivée de', celle

de'00, dérivée de'0et celle de'000, dérivée de'00). Enfin, on donne l"encadrement2< e <3.

(1)

Mon trerque

8x2R+; '000(x) =ex+3x+ 1x

5e1=x:

(2) Déterminer les v ariationsde '00et calculer'00(1). (3) En déduire les v ariationsde '0puis, montrer que

8x2R+; '0(x)e:

(4)

En déduire les v ariationsde 'surR+.

(5) Déterminer la v aleurde la limite de '(x)lorsquextend vers0par valeurs supérieures. Donner une interprétation graphique du résultat. (6)

Déterminer les deux limites

lim x!+1'(x);limx!+1'(x)x Préciser alors la nature de la branche en+1de la courbe de'. (7)

On donne 15< '(3)<16. Montrer que

8x3; '(x)ex:

Indication.On pourra poser (x) ='(x)exet utiliser la Question(3). (8)

Représen ter,sur un graphique orthonormé, la courb ed e'en y faisant apparaître les différents

éléments étudiés.

4Chapitre 11.Compléments sur les branches infiniesPartie II - Étude de la suite(un)

On introduit la suite(un)définie, pourn2Npar

u

0= 3;etun+1='(un):

(8) Mon trerque, p ourtout n2N,unest bien défini et queun3en. (9)

Mon trerque la suite (un)est croissante.

(10)

Mon trer,par l"absurde que (un)diverge vers+1.

(11)

Mon trerque, p ourto utn2N,

0nX k=01u keen3(e1): (12) En déduire la nature de la série (Sn)définie par S n=nX k=01u k: 2

P aritéet symétries

Afin de rappeler la notion de parité, nous avons besoin d"introduire celle d"intervalle centré.

Définition 3.SoientIun sous-ensemble deReta2R. On dit queIest symétrique par rapport àa, si

8x2R; a+x2I=)ax2I:

Dans le cas oùIest un intervalle eta2I, cela revient à dire que l"intervalle est centré ena.

Par exemple,Rest symétrique par rapport à0, mais c"est aussi le cas deR?, tout comme de];[, mais ce n"est pas le cas de[8;+1[.

Définition 4.Soitfune fonction ayant un domaine de définition symétrique par rapport à0. On dit

que: festpairesi, pour toutx2 Df, on af(x) =f(x); festimpairesi, pour toutx2 Df, on af(x) =f(x). Graphiquement, une fonction paire estsymétrique par rapport à l"axe des ordonnéesalors qu"une fonction impaire est quant à ellesymétrique par rapport à l"origine du repère.

.Méthode.Lorsqu"on étudie une fonction, si le domaine est symétrique par rapport à0(et unique-

ment dans ce cas, sinon cela n"a pas de sens), on peut chercher une éventuelle parité en calculantf(x).

Le cas échéant, cela permet de restreindre l"intervalle d"étude ainsi que le nombre de limites à déter-

miner. On déduit les informations concernant les valeurs négativespar symétrie.

Exercice 3.Déterminer l"ensemble de définition, puis étudier la parité des fonctions suivantes:

(i)f:x7!x+ ln(1x)ln(x+ 1); (ii)g:x7!xex1e x+1;

L"exercice suivant est un classique, dont la résolution est très instructive. On recommande vivement

de s"y pencher. Exercice 4.(Extrait deEML 2016) Montrer que la fonctionf, définie surRest paire f(t) =et(1 +et)2:

+Connaître une éventuelle parité pour une fonctionfpermet aussi de déterminer la limité en

l"opposé d"un point où on la connait déjà. Plus précisément, soita2R[ f1gà l"extrémité du

domaine de définition def(symétrique par rapport à0) 5 (i)

Si fest paire, alors

limx!af(x) = limx!af(x): (ii)

Si fest impaire, alors

limx!af(x) =limx!af(x): 2.1

Autres axes ou c entresde symétrie

On peut généraliser ces propriétés de symétrie de la courbe defà d"autres axes ou d"autres centres

de symétrie. Plus précisément,

Proposition 1.(Axe de symétrie) Soitfune fonction dont l"ensemble de définition est symétrique par

rapport àa. La courbe defest symétrique par rapport à la droite d"équationx=asi, pour toutxtel

quea+x2 Df, on a f(a+x) =f(ax): La propriété précédente est équivalente au fait que la fonctionx7!f(a+x)est paire. Exemple.On considère la fonctionfdéfinie par f(x) =x2x2x

2x+ 1:

On va montrer que sa courbe est symétrique par rapport à la droite d"équationx=12

Une rapide étude du dénominateur nous permet d"établir queDf=Rqui est en particulier symétrique

par rapport à 12 . On calcule alors f 12 +x =(12 +x)2(12 +x)2( 12 +x)2(12 +x) + 1=14 +x+x212 x21 4 +x+x212 x+ 1=x294 x 2+34

On constate alors que la fonctionx7!f12

+xest bien paire (elle ne dépend que dex2). Ainsi, on a

bien la conclusion souhaitée.Exercice 5.Dans chaque cas, montrer que la courbe représentative defadmet pour axe de symétrie

la droite d"équationx=aavec: (i)f:x7!xln(x) + (1x)ln(1x)eta=12 (ii)f:x7!lnjx2+x2jeta=12

Proposition 2.(Centre de symétrie) Soientfune fonction dont l"ensemble de définition est symétrique

par rapport àxI. La courbe defest symétrique par rapport au pointI(xI;yI)si, pour toutxtel que x

I+x2 Df, on a

f(xI+x) =f(xIx) + 2yI:

6Chapitre 11.Compléments sur les branches infiniesLa propriété précédente est équivalente au fait que la fonctionx7!f(xI+x)yIest impaire.

Exemple.On considère la fonctionfdéfinie par f(x) =x22x+ 3x+ 1: On va montrer que sa courbe est symétrique par rapport au pointI(1;4). Ici, l"ensemble de définition est clairement]1;1[[]1;+1[qui est bien symétrique par rapport

à1. On calcule alors (pourx6= 0)

f(1 +x)(4) =(1 +x)22(1 +x) + 3(1 +x) + 1+ 4 =x24x+ 6x +4xx =x2+ 6x

qui est bien l"expression d"une fonction impaire. On a donc bien la conclusion souhaitée.Exercice 6.Dans chaque cas, montrer que la courbe représentative defadmet pour centre de symétrie

le pointJavec: (i)f:x7!2e2xe

2x1;(avecJ= (0;1));(ii)f:x7!12xx

2x2; avecJ=12 ;0

Exercice 7.Déterminer l"ensemble de définition, puis toutes les asymptotes ou branches infinies des

fonctions suivantes, et tracer une allure de leur courbe représentative (on essaiera d"étudier les variations

également quand c"est possible)

(i)f1(x) =x2+xln(x)x+ 1;(ii)f2(x) = ln(ex+ex);(iii)f3(x) =r2x+ 1x1:quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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