[PDF] TECHNIQUES & MÉTHODES S03 ÉTUDE DE FONCTIONS

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MPSI du lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frsemaine du 3+1erseptembre 2011

TECHNIQUES & M´ETHODES S03

NB :cette fiche reprend les techniques n´ecessairesminimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

´ETUDE DE FONCTIONS

Le plan d"´etude d"une fonction est comme suit : 1

Ensemble de d´efinition, ensemble d"´etude

2 ´Etude de la continuit´e (si n´ecessaire) 3 ´Etude de la d´erivabilit´e (si n´ecessaire) 4

Variations

5 ´Etude des limites aux bornes de l"ensemble de d´efinition 6

Trac´e de la courbe repr´esentative Γ.

Domaine de d´efinition et domaine d"´etude

Domaine de d´efinition

La fonction `a ´etudier est construite `a par op´erations, `a partir de fonctions usuelles.

Vous en d´eduisez le domaine de d´efinitionde. En g´en´eral, les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ou

d´erivables permettent directement `a la continuit´e et `ala d´erivabilit´e de. Exemple :() = ln[(?1)] est d´efinie et de classesur ]? 0[[1+[.

Domaine d"´etude

Lorsqueest-p´eriodique, on peut restreindre l"´etude `a un intervalle de longueur, par exemple[0[, et

compl´eter par sym´etrie.

Il est possible de restreindre le domaine d"´etude lorsqueest paire, impaire. Plus g´en´eralement, s"il existetel

que

si pour tout,(2?) =(), alors la droite d"´equation=est axe de sym´etrie de Γ. On peut restreindre

l"´etude `a[+[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. si pour tout,(2?) = 2()?(), alors le point? est centre de sym´etrie de Γ . On peut restreindre l"´etude `a[+[ et compl´eter ensuite par sym´etrie.

Exemple :La fonction() = sin2cos2est de classesurRpar op´erations alg´ebriques. De plus,est paire et

-p´eriodique. On restreint l"´etude `a [02]. ´Etude de la continuit´e aux points particuliers

Parfois les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ne permettent pas de conclure. Des ´etudes particuli`eres

sont alors n´ecessaires. C"est le cas, notamment, lorsque la fonctionest d´efinie par des expressions diff´erentes `a gauche

et `a droite d"un point. Exemple :Soit:RRd´efinie par(0) = 0, et pour toutR,() =?(1?ln) si 0 ln(1?1) si 0 En ce cas, vous utilisez les limites `a droite et `a gauche :

Proposition.-siest d´efinie au point.

lim() =()? lim-() =() lim+() =()

Exercice 1 :´Etudiez la continuit´e de la fonction d´efinie dans l"exemple pr´ec´edent.

Exercice 2 :

´Etudiez la continuit´e de la fonction:RRd´efinie par pour toutR () =+?

´Etude de la d´erivabilit´e

Comme pour la continuit´e, la question est souvent r´egl´eepar OPA sur des fonctions d´erivables. N´eanmoins, une

´etude particuli`ere est parfois n´ecessaire. Pour ´etudier la d´erivabilit´e en un pointdu domaine de d´efinition, vous pouvez 1 revenir `a la d´efinition et ´etudier la limite des taux de variations()?()?

´etudier les d´eriv´ees `a gauche et `a droite au point: lorsqu"elles existent et sont finies, il s"agit des limites:

() = lim-()?() ?et() = lim+()?()?

Proposition.-S"il existeRtel que() =() =,alors

est d´erivable au pointet() =.

Vocabulaire :Si()et()existent mais sont diff´erentes, on dit que le graphe depr´esente unpoint anguleux.

Exercice 3 :

´Etudiez la d´erivabilit´e de() =?

3(2?).

Th´eor`eme.-Soitune fonction d´erivable au voisinage de.

S"il existeRtel que lim

-() =,alorsest d´erivable `a gauche au pointet() = lim Silim-() =,alorsn"est pas d´erivable `a gauche enet lim-()?() Remarque :On a bien sˆur un ´enonc´e analogue pour la d´eriv´ee `a droite.

Variations

Vous r´esolvez l"in´equation()0. Vous en d´eduisez, grˆace auTh´eor`eme??, les variations de.

Exercice 4 :

´Etudiez les variations de() =+?

3(8?).

´Etude aux bornes

L"´etude des branches infinies sert `a pr´eciser l"allure dela courbe repr´esentative d"une fonction au voisinage des

bornes de l"intervalle. Ces bornes peuvent ˆetre r´eelles ou infinies. Nous distinguons deux notions : les asymptotes et

les branches paraboliques. Siaest une borne r´eelle du domaine de d´efinition Il s"agit de d"´etudier lim(), o`uest une borne r´eelle du domaine de d´efinition. On suppose de plus quen"est pas d´efinie au point. D´efinition :S"il existe un nombre r´eelRtel quelim() =, on dit queest prolongeable par continuit´e au point. D´efinition :On dit que la droite d"´equation=estasymptote verticale`aCsi lim=. Exemple :La fonction ln(?2) +sinadmet la droite d"´equation= 2 comme asymptote verticale.

±10±8±6±4±202468

Si+est une borne du domaine de d´efinition

Asymptote horizontale

D´efinition :On dit que la droite d"´equation=estasymptote horizontaleen +`aCsilim+() =. On dit que la droite d"´equation=estasymptote horizontaleen?`aCsi lim() =.

Exemple :La fonction 5?exp(?+

3+ 1) admet la droite d"´equation= 5

comme asymptote horizontale en +.

012345678

1 2 3 4 5 6 7

2 Asymptote obliqueD´efinition :On dit que la droite d"´equation= +(R,R) estasymptote obliqueen+`aCsilim+?()???= 0. On dit que la droite d"´equation= +(RetR) estasymptote oblique en?`aCsilim?()???= 0.

Exemple :La fonction 2 +1

2+ 52(?2) exp(?) admet la droite d"´equation

= 2 +1

2comme asymptote oblique en +.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x

Branche parabolique de direction()

D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique()en+si : lim+() =. lim+() = 0

Exemple :La fonction ln+

2?1 pr´esente une branche parabolique de direction

asymptotique () en +.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x

Branche parabolique de direction()

D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique()en+si : lim+() =. lim+()

Exemple :La fonction 1?

+22pr´esente une branche parabolique de direction
asymptotique () en +.

012345678

y

1 2 3 4 5 6 7

x Branche parabolique de direction la droite d"´equation= D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equation=en+si : lim+() lim+()?=

Exemple :Le graphe de la fonction

2+2?2 pr´esente une branche parabolique

de direction asymptotique la droite d"´equation=1

2en +.

012345678

y

2 4 6 8 10 12

x

Recherche des branches infinies

Pour l"´etude des branches infinies, pensez avant tout `a utiliser les d´efinitions, car l"´enonc´e vous guide souvent. Si

ce n"est pas le cas, vous proc´edez de la mani`ere suivante : Au voisinage d"un point¯(une borne r´eelle de l"intervalle) : ?si lim() =, la droite d"´equation=est asymptote verticale. Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalle, par exemple +: ?Si lim+() =R, la droite d"´equation=est asymptote horizontale.

Si lim+() =, il faut poursuivre l"analyse ...

?Si lim+() = 0, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymptotique () ?Si lim+() =, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymptotique ()

Si lim+()

=R, il faut poursuivre l"analyse ... ?Si lim+()?=, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equation= 3 ?Si lim+()?=R, la droite d"´equation=+est asymptote `a la courbe. Exercice 5 :Recherchez les asymptotes obliques des courbes d"´equations 1.=

2+ 3+ 2

2.= ln(3 + sh)

Trac´e de la courbe

La figure doit comporter les tangentes horizontales, les tangentes particuli`eres, les asymptotes. 4quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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