Suites
Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0. 1 ukuk+1. = n+1 Soient (un) et (vn) les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations ...
Feuille dexercices n°1 : Suites réelles
b. u0 = 1; u1 = 1 et ?n ? N un+2 = 3un+1 ? 2un. c. u0 = 1; u1 = 1 et On considère la suite (un)n?1 définie par u1 = 1 et pour tout entier naturel.
1 On considère la suite (un) définie par u0 = 1 2 et telle que pour
On considère la suite (un) définie par u0 = 1. 2 et telle que pour tout entier naturel n un + 1 = 3un. 1 + 2un . 1-a) Calculer u1 et u2 . u1 = 3u0. 1 +
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Exemple. La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la mani`ere suivante : u0 = N et pour tout entier n ? 0 : un+1 = {.
S Polynésie juin 2013
On considère la suite ( un ) définie par u0= 1. 2 et telle que pour tout entier naturel n un+1= 3un. 1+2un. 1. a. Calculer u1 et u2 .
1 Exercices à savoir faire
1. Montrer que pour tout entier n 4n + 5 est un multiple de 3. Soit (un) la suite définie par récurrence par la relation un+1 = 3un + 2 et u0 = 1. 1.
Suites 1 Convergence
Soit u0 = 1. 2 et pour tout n ? N un+1 = (1?un)2. Calculer les limites des suites (u2n)n et (u2n+1)n. Indication ?. Correction ?.
Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018
Sep 6 2018 CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et
SUITES NUMÉRIQUES : exercices - page 1
On considère une suite u définie sur ? de premier premier terme d'indice 0. 3 ) u0=1 u1=?1 et
Algorithme et suite
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n
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On considère la suite (un) définie par u0 = 1 2 et telle que pour tout entier naturel n un + 1 = 3un 1 + 2un 1-a) Calculer u1 et u2 u1 = 3u0 1 +
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On considère la suite ( un ) définie par u0= 1 2 et telle que pour tout entier naturel n un+1= 3un 1+2un 1 a Calculer u1 et u2
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1 ? e?x si x ? 0 On considère la suite (un)n?1 définie par u1 = 1 et pour tout entier naturel non nul n par : un
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EXERCICE 1 : On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 2n + 2 1 £?? §?£?? §? u1 §? u2º u1 = u0 + 2 × 0+2=
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On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1= 3un ?2n +3 1 Calculer u1 et u2 2 a Démontrer par récurrence que
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15 déc 2012 · On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = 3un ? 2n + 3 1 Calcul de u1 et u2 : u1 = 3u0 ? 2 × 0+3
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En additionnant et en retranchant les deux égalités précédentes on obtient pour tout entier naturel n : un = 1 2 ( v0 +u0 + 1 3n (v0 ?
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1 Solution – Suites Numériques – Raisonnement par récurrence – s3585 2 – 2un + 2 pour tout entier naturel n 1/ En 2 – 2uk + 1 = (uk – 1)2 ? 0
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6 sept 2018 · CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n un+1 = e
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Que dire des sens de variations des sous-suites u2n et u2n+1 ? 4 Montrer que pour tout entier naturel n on a un+1 ? 1 ? 2 3
1 + 2un .
1-a) Calculer u
1 et u2 .
u1 = 3u0
1 + 2u0 = 3
4 , u2 = 3u1
1 + 2u1 = 9
10 . b) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n , 0 < u n .Soit P
n : " un > 0 » .Initialisation
: P0 est vrai, puisque u0 = 1 2Hérédité
: Soit Pn vrai (un > 0) . On déduit 3un1 + 2un > 0 au vu des opérations utilisées, donc un+1 > 0 .
On a déduit P
n+1 vrai, sous réserves que Pn le soit.Conclusion
: Pn est vrai pour tout n entier naturel.On admet que, pour tout entier naturel n, u
n < 1 .Démontrons cette propriété : Soit P
n " un < 1 » , ce qui équivaut à un - 1 < 0 . (il est conseillé de toujours comparer à 0 plutôt qu"à un nombre quelconque.Initialisation : P
0 est vrai, puisque u0 = 1
2 < 1 .
Hérédité
: Soit Pn vrai (un < 1) ou un - 1 < 0 . On déduit un+1 - 1 = 3un1 + 2un - 1 = 3un - (1 + 2un)
1 + 2u
n = un - 11 + 2u
n < 0 .Conclusion
: Pn est vrai pour tout n entier naturel. c) Démontrer que la suite (u n) est croissante.Comme les u
n sont tous positifs, comparons un + 1 un avec 1 : u n + 1 un = 31 + 2u
n , or un < 1 ⇒ 1 + 2un < 3 , d"où 31 + 2u
n > 33 , soit un + 1
un > 1 .Ceci équivaut à u
n+1 > un , les termes un étant positifs. Méthode classique, toujours utilisable : Etudions le signe de un + 1 - un . u n+1 - un = 3un1 + 2un - un = 3un - (1 + 2un).un
1 + 2un = 2un - 2un2
1 + 2un = 2un(1 - un)
1 + 2u
n > 0 , puisque tous les facteurs le sont.On déduit u
n+1 > un . d) Démontrer que la suite (u n) converge.La suite (u
n) est croissante et majorée par 1 , donc elle est convergente vers L < 1 .2/ Soit (v
n) la suite définie, pour tout entier naturel n , par vn = un1 - un .
a) Montrer que la suite (v n) est une suite géométrique de raison 3 . v n+1 = un+11 - un+1 = 3u
n1 + 2un
1 - 3un
1 + 2un
= 3u n1 + 2un
(1 + 2un) - 3un1 + 2un
= 3un1 - un = 3vn . soit (vn) géométrique, de raison q = + 3.
2Exprimer, pour tout entier naturel n , v
n en fonction de n . v n+1 = 3vn , donc (vn) suite géométrique de raison q = +3 , de 1er terme v0 = u01 - u0 = +1 .
On déduit : v
n = v0.qn = 3n . b) En déduire que, pour tout entier naturel n , u n = 3 n3n + 1 .
v n = un1 - un Û vn - un.vn = un Û vn = un + un.vn Û vn = un(1 + vn) , d"où : un = vn
1 + vn = 3
n3n + 1 .
Déterminer la limite de la suite (u
n) . u n = 3 n3n + 1 = 3
n3n(1 + 1
3n ) = 1 1 + 1 3 n , d"où lim n ® +¥un = 1 , car lim n ® +¥ 13n = 0 .
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