[PDF] Feuille dexercices n°1 : Suites réelles

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ECE2-B2020-2021Feuille d"exercices n°1 :

Suites réelles

Suites usuelles

Exercice 1.(☀)

Pour chacune des suites suivantes, définies par récurrence, donner une ex- pression explicite deun. a.u0= 1et8n2N; un+1= 4un6. b.u0= 1;u1= 1et8n2N; un+2= 3un+12un. c.u0= 1;u1= 1et8n2N; un+2= 4un+14un. d.u0=u1= 1et8n2N; un+2=un+1un2 e.u0= 2;u1=103 et8n2N;3un+2= 4un+1un.

Exercice 2.(☀)

On considère la suite(un)définie paru0= 0

8n2N; un+1= 2un+ 3n

a.Montrer que la suite(vn)de terme généralvn=un3 nest une suite arithmético-géométrique. b.En déduire une expression deun.Exercice 3.(☀)

Soit(un)la suite définie par8

:u 0= 1

8n2N; un+1=3un+ 12un+ 4

On introduit la suite auxiliaire(tn)de terme général : t n=2un1u n+ 1 a.Montrer que(tn)est une suite géométrique. b.En déduire une expression detnpuis deun. Exercice 4.(☀☀)(des suites récurrentes croisées) Soient(un)n>1et(vn)n>1deux suites définies par :

8>>>>>><

>>>>>:u 1= 12 v 1= 1 u n+1=un+ 2vn3 v n+1=un+ 3vn4 a.Pour tout entiernstrictement positif, on pose :wn=vnun. Montrer que(wn)est une suite géométrique dont on précisera la raison. b.Pour tout entiernstrictement positif, on pose :tn= 3un+ 8vn.

Démontrer que la suite(tn)est constante.

c.Exprimerwnen fonction den. d.En déduire une expression explicite deunetvnen fonction den. e.Calculeru2,v2,u3etv3à l"aide de la relation de récurrence, puis en

utilisant le résultat de la question précédente.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE2-B2020-2021Exercice 5.(☀☀)

On cherche à déterminer toutes les suites(un)vérifiant la relation :

8n2N; un+23un+1+ 2un= 3

a.Déterminer deux réelsaetbtels que la suite(vn)définie parvn=an+b vérifie la relation ci-dessus. b.Montrer que la suite(zn)définie parzn=unvnest d"un type bien connu, en déduire la valeur deznet celle deun.

Exercice 6.(☀)

On considère la suite(un)définie par8

:u 0= 4

8n2N; un+1=1u

n2+ 2 a.Montrer que la suite(un)est bien définie et :8n2N; un>2. b.On considère la suite(vn)définie par :8n2N,vn= ln(un2).

Justifier que(vn)est bien définie.

c.De quel type est la suite(vn)? d.En déduire la formule explicite deun.

Exercice 7.(☀☀)

On considère la suite(un)définie par8

:u 0= 1 u 1= 4

8n2N; un+2=pu

nun+1 a.Vérifier que cette suite est bien définie. b.Donner une expression explicite deun. Comme dans les exercices précé- dents, on pourra introduire une suite auxiliaire(vn)bien choisie.Définition de la convergence

Exercice 8.(☀☀)Vrai ou Faux?

a.Silimn!+1un= +1, alors(un)n"est pas majorée. b.Une suite croissante à partir d"un certain rang est minorée. c.Si(junj)converge alors(un)converge. d.Si(junj)tend vers0alors(un)tend vers0. e.Une suite convergente est monotone à partir d"un certain rang. f.Une suite convergente et majorée est croissante. g.Une suite divergeant vers+1est croissante à partir d"un certain rang. h.Une suite strictement croissante diverge vers+1. i.Une suite strictement décroissante diverge vers1. j.Si(un)est croissante etun6vnalors(vn)est croissante. k.Si(un)tend vers0et(vn)tend vers+1, alors on ne peut conclure sur la limite du quotientunv n(F:I:). l.Si(un)est divergente, alors la suite définie par :8n2N; vn=un+1un est divergente. m.Si(un)tend vers`6= 0alors :limn!+1un+1un= 0etlimn!+1u n+1u n= 1. Exercice 9.(☀☀)(propriété de recouvrement)

Soit(un)une suite telle que :

(u2n)n2Nest convergente, de limite`2R, (u2n+1)n2Nest convergente, de limite`2R.

Montrer que(un)converge vers`.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE2-B2020-2021Calculs de limites

Exercice 10.(☀☀)

a.limn!+113n7+ 5nn3n 2+ 1 b.limn!+1(1)nn2+ 3nn 2+pn c.limn!+1e pn + 2e lnn+35 d.limn!+1n

2enne2nn

3lnnn(lnn)3

e.limn!+1(lnn)2+ 3n+ 1lnn+ 5f.limn!+1n

35npn+nlnn+n1e

3nen+ 1en

g.limn!+1pn 2+ 2n h.limn!+1pn

2+ 2npn

2+n i.limn!+13 n2n3 n+ 2n j.limn!+13ne3n k.limn!+1n nn!

Exercice 11.(☀☀)

a.limn!+1 1 +1n n b.limn!+1nsln 1 +1n

2+ 1c.limn!+1(2n3)lnn+ 3n+ 2

d.limn!+1 11n 2 n

Exercice 12.(☀☀)

a.limn!+1(21n + 51n )n b.limn!+11 +n21=nc.limn!+1(en+p2) 1n 2 d.limn!+1(1 +en2)1n nlnnpnThéorème de convergence monotone / d"encadrement

Exercice 13.(☀☀)(d"aprèsEDHEC 2001)

On considère la suite(un)définie par :

8< :u 0= 1

8n2N; un+1=un+1u

n a.Montrer que la suite est bien définie et à termes strictement positifs. b.En déduire que(un)est monotone. c.Pour toutkdeN, exprimeruk+12uk2en fonction deuk2. d.En déduire que pour toutn >0, on a : u n2= 2n+ 1 +n1P k=01u k2 e.En déduire que pournnon nul,un2>2n+ 1puis la limite de(un).

Exercice 14.(☀)

a.Démontrer :8n2N;1n!612 n1. b.Démontrer que la suite(Sn)de terme généralSn=nP k=01k!converge vers un réel`2]2;3].

Exercice 15.(☀)

a)Démontrer :8n2N;1 +12n1n

26r1 +

1n

61 +12n.

b)En déduire un équivalent simple der1 + 1n c)Déduire dea)la limite de la suite sn 2 1 +1n n!

.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3

ECE2-B2020-2021Exercice 16.(☀)(d"aprèsEDHEC 2006 (S)) 1) a. Montrer que l"on définit bien une unique suite(un)n1, à termes stric- tement positifs, en posant :u1= 1et, pour tout entiernsupérieur ou

égal à2:

u n=12n1n1X j=1u j b.Vérifier :u2=13 , puis calculeru3. c.Écrire enScilabune fonction de paramètrenqui calcule le termeun de la suite(un)n2N. 2) a. Etablir :8n>2; un+1=2n2n+ 1un. b.En déduire que la suite(un)n2Nest convergente. c.Donner un équivalent delnunu n+1 lorsquenest au voisinage de+1, puis déterminer la nature de la série de terme générallnunu n+1 d.En déduirelimn!+1ln(un), puis montrer :limn!+1un= 0.

3)Montrer :8n>2; un=4n4n2n

n

Exercice 17.(☀☀)

On considère la suite(Sn)définie pourn>1par :Sn=nP k=11pk a.Montrer que pourn>1, on a :1pn+ 162(pn+ 1pn)61pn b.En déduire la limite de la suite(Sn). c.On poseTn=Sn2pn. Démontrer à l"aide du théorème de convergence monotone que(Tn)converge. d.Donner un équivalent simple de la suite(Sn).Exercice 18.(☀☀☀) Soitx2R. On considère la suite(un)n2Nde terme généralun=1n 2n P k=1bkxc.

Déterminer sa limite.

Suites adjacentes

Exercice 19.(☀☀)

On considère la suite définie par :

8n2N; Sn=nP

k=1(1)k+1k Démontrer que les suites(S2n)n2Net(S2n1)n2Nsont adjacentes.

En déduire que la suite(Sn)converge.

Exercice 20.(☀☀)

On considère les suites(un)et(vn)définies par : u n=nP k=11k!etvn=nP k=11k!+1nn!

Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

Exercice 21.(☀)

Soient(un)et(vn)définies par les relations suivantes : (u0= 3etv0= 11 u n+1=3un+vn4 etvn+1=un+ 3vn4 a.Étudier la suite(vnun). Calculer son terme général en fonction den, quel est son signe? Donner sa limite. b.Montrer que(un)est croissante et(vn)est décroissante.

Que peut-on en déduire?

c.Étudier la suite(un+vn). Que conclure?(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4

ECE2-B2020-2021Suites de la formeun+1=f(un)

Exercice 22(☀)(d"aprèsECRICOME 2015)

On considère la fonctionFdéfinie pour tout réelxpar :

F(x) =0six <0;

1exsix>0:

On considère la suite(un)n>1définie paru1= 1et pour tout entier naturel non nulnpar :un+1=F(un). a.Montrer que pour tout réelx: ex>x+ 1. Montrer que l"égalité a lieusi et seulement six= 0. b.Montrer que pour tout entier natureln, on a :un>0. c.Recopier et compléter le programmeScilabsuivant qui permet de repré- senter les cent premiers termes de la suite(un)n>1:1U = zeros(1,100)

2U(1) = 1

3forn = 1 : 99

4U(n+1) = ------------

5end

6plot(U,"+")

d.Étudier la monotonie de la suite(un)n>1. e.En déduire que la suite(un)n>1est convergente et déterminer sa limite. f.À l"aide de la questiona., montrer successivement que pour toutn2N: u n+1>un1 +unet1u n+161 +1u n g.Montrer par récurrence que pour toutn2N:un>1n h.À l"aide de la questiong., établir la nature de la sériePun.Exercice 23(☀)

Soit(un)n2Nla suite définie paru0=12

etun+1=2unu n+ 1pour toutn2N. a.Démontrer que la suite(un)est bien définie. (indication: on montrera en particulier queun>0pour toutn) b.Démontrer que pour toutn2N:12

6un61.

c.Démontrer que la suite(un)est monotone. d.Démontrer que(un)converge et déterminer sa limite.

Exercice 24(☀)(d"aprèsEML 2016)

On considère l"applicationf: [0;+1[!Rdéfinie, pour touttde[0;+1[, par : f(t) =t2tln(t)sit6= 0 0 sit= 0

On admet :0;69

On considère la suite(un)n2Ndéfinie par :

u 0=12 et8n2N; un+1=f(un)

1.Montrer quefest continue sur[0;+1[.

2.Justifier quefest de classeC2sur]0;+1[et calculer, pour touttde

]0;+1[,f0(t)etf00(t).

3.Dresser le tableau des variations def. On précisera la limite defen+1.

4.Montrer :8n2N,un212

;1.

5.Montrer que la suite(un)n2Nest croissante.

6.En déduire que la suite(un)n2Nconverge et déterminer sa limite.

(on pourra étudier les variations de la fonctiont7!tln(t))

7.Écrire un programme enScilabqui calcule et affiche un entier naturelN

tel que1uN<104.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5

ECE2-B2020-2021Exercice 25(☀☀)(d"aprèsEDHEC 2003) On se propose d"étudier la suite(un)n2N, définie par la donnée deu0= 0et par la relation, valable pour tout entier natureln:un+1=u2n+ 12 1) a. Montrer que, pour tout entier natureln, on a06un61. b.Étudier les variations de la suite(un)n2N. c.En déduire que(un)n2Nconverge et donner sa limite. 2) a. Écrire une fonctionScilabqui prend en paramètre un entiernet renvoie la valeur deun. b.Écrire un programme, rédigé enScilab, qui permet de déterminer et d"afficher la plus petite valeur denpour laquelle :0<1un<103.

3)Pour tout entier natureln, on posevn= 1un.

a.Pour tout entier naturelk, exprimervkvk+1en fonction devk. b.Simplifier, pour tout entier naturel n non nul, la sommen1P k=0(vkvk+1). c.Donner la nature de la sériePvn2ainsi que la valeur de+1P n=0v n2.

Exercice 26(☀)(d"aprèsESC 2009)

1) a. Étudier les variations de la fonctionh:x7!x44x+ 1. On précisera les limites dehaux bornes de son ensemble de définition. b.En déduire que l"équationx44x+ 1 = 0admet exactement deux solutions réelleset, avec6. c.Montrer :2[0;1[et >1.

2)On considère la suite(un)n2Ndéfinie par :(u

0= 0

8n; un+1=(un)4+14

a.Étudier les variations de la fonctiong:x7!x4+14 b.Montrer par récurrence :8n2N;06un6un+161. c.Montrer :limn!+1un=. d.Écrire un programme enScilabqui demande un entiernpuis qui calcule et affiche la valeur deun.Exercice 27(☀)(d"aprèsEML 1995) Soit f: [0;+1[7!R x7!xln(1 +x) On considère la suite définie par :u02]0;+1[et :8n2N;un+1=f(un). 1) a. Montrer quefest de classeC2sur[0;+1[, et calculer, pour tout x2[0;+1[,f0(x)etf00(x). b.Étudier les variations def0, puis celles def. c.Tracer la courbe représentative defdans un repère orthonormé.

2)Résoudre l"équationf(x) =x, d"inconnuex2[0;+1[.

3)On suppose dans cette question :u02]e1;+1[.

a.Montrer que pour toutn2N: e1< un6un+1. b.En déduire queuntend vers+1lorsquentend vers+1.

4)On suppose dans cette question :u02]0;e1[.

Étudier la convergence de la suite(un)n2N.

Exercice 28.(☀☀)

On considère la suite(un)définie par :u02R

8n2N; un+1= exp(un)1

On notefla fonction définie par :f(x) =ex1.

a.Montrer que l"équationf(x) =xa une unique solution qui est0. Déterminer le signe def(x)x. Préciser le sens de variation def.

On suppose maintenant :u0= 1.

b.Montrer que pour tout entiern,16un6un+1. c.Montrer que(un)n"est pas majorée et en déduire sa limite. d.Monter que six>1alorsf(x)>(e1)x. e.En déduire :8n2N,un>(e1)net retrouver la limite de la suite.

On suppose maintenant :u0<0.

f.Montrer que pour tout entiern,un<0.

g.En déduire que(un)est croissante puis qu"elle converge vers0.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 6

ECE2-B2020-2021Exercice 29(☀)

On considère la suite(un)n2Ndéfinie par :u0=12

8n2N; un+1= (1un)2

On notefla fonction définie surRparf:x7!(1x)2.

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