[PDF] Correction du devoir commun TS 15 décembre 2012

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Correction du devoir commun TS15 décembre 2012

Exercice 1 (9 points)Polynésie, juin 2012

Partie A

On considère l"algorithme suivant :

Les variables sont le réelUet les entiers naturelsketN. Entrées: Saisir un nombre entier naturel non nulN. début

Affecter àUla valeur 0

pourkallant de 0 àN-1faire

Affecter àUla valeur 3U-2k+ 3

Sorties: AfficherU

Algorithme 1:

Affichage en sortie lorsqueN= 3 :

N= 3 U= 0

Pourk= 0 àk= 2 :

k= 0

U= 3U-2k+ 3

= 3k= 1

U= 3U-2k+ 3

= 3×3-2×1 + 3 = 10k= 2

U= 3U-2k+ 3

= 3×10-2×2 + 3 = 29 fin duPour

Affichage :U= 29

Partie B

On considère la suite (un) définie paru0= 0 et, pour tout entier natureln,un+1= 3un-2n+ 3.

1. Calcul deu1etu2:

u

1= 3u0-2×0 + 3

= 3×0 + 3 = 3u

2= 3u1-2×1 + 3

= 3×3-2 + 3 = 10 on a doncu1= 3 etu2= 10

2. a. Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln,un?n:

On appelleP(n) la propriétéun?n.

•Initialisation :n0= 0

u

0= 0 doncu0?0 doncP(0) est vraie.

•Hérédité :

on suppose queP(k) est vraie, c"est-à-dire queuk?k; a-t-on alorsP(k+1) vraie aussi, c"est-à-direuk+1?k+ 1?

SiP(k) est vraie alorsuk?k

donc 3uk?3k d"où 3uk-2k+ 3?3k-2k+ 3 doncuk+1?k+ 3 or, 3?1 donck+ 3?k+ 1 doncuk+1?k+ 1 doncP(k+ 1) est vraie. •Conclusion :Pour tout entier natureln, on aun?n. b. Déduction de la limite de la suite (un) :

Pour tout entier natureln, on aun?net limn→+∞n= +∞donc d"après un théorème de

comparaison, lim n→+∞un= +∞

3. Démontrons que la suite (un) est croissante :

Pour tout entier natureln, on aun+1-un= 3un-2n+ 3-un = 2un-2n+ 3 or, d"après la question 2. a., pour tout entier natureln, on aun?n donc 2un?2n d"où 2un-2n?0 donc 2un-2n+ 3?3 d"oùun+1-un>0 doncun+1> un donc (un) est croissante (strictement).

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=un-n+ 1.

a. Démontrons que la suite (vn) est une suite géométrique : Pour tout entier natureln, on avn+1=un+1-(n+ 1) + 1 = 3un-2n+ 3-n-1 + 1 = 3un-3n+ 3 = 3(un-n+ 1) = 3vn v

0=u0-0 + 1

= 0 + 1 = 1 Pour tout entier natureln, on avn+1= 3vndonc la suite (vn) est géométrique de raisonq= 3 son premier terme estv0= 1. b. Déduisons-en que, pour tout entier natureln,un= 3n+n-1 : (vn) est géométrique de raisonq= 3 et de premier termev0= 1 donc pour tout entier natureln, on avn=v0×qn = 3 n or,vn=un-n+1??un=vn+n-1 donc pour tout entier natureln, on aun= 3n-n+ 1.

5. Soitpun entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu"il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn?n0, u n?10p?

On a montré dans la questionB2. b. que limn→+∞un= +∞; par définition , cela signifie

que pour tout réelA(et aussi grand soit-il), à partir d"un certain rang, tous lesun appartiennent à l"intervalle [A; +∞[. PrenonsA= 10p; il existe un entiern0tel que pour tous les entiersn?n0, on aun?10p. On s"intéresse maintenant au plus petit entiern0. b. Détermination à l"aide de la calculatrice cet entiern0pour la valeurp= 3 : 10

3= 1000

D"après la calculatrice,u6= 734 etu7= 2193 donc à partir den0= 7, on aun?103. c. Montrons que quelque soitp?N?u3p?10p; déduisons-en quen0?3p: u

3p= 33p+ 3p-1

= (3

3)p+ 3p-1

= 27 p+ 3p-1 or, quel que soitpdansN?, on a 27
p?10pet 27p+ 3p-1?10p+ 3p-1?10pdoncu3p?10p. La suite (un) est croissante donc, pour toutntel quen?3p, alorsun?u3pet donc u n?10ppour toutn?3p. n

0étant la plus petite de ces valeurs, on a doncn0?3p.

d. Proposition d"un algorithme qui, pour une valeur depdonnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entiern0tel que, pour toutn?n0, on aitun?10p:

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nulp.

Traitement

Affecter àUla valeur 0

Affecter àkla valeur 0

Tant queU <10p

Affecter àUla valeur 3U-2k+ 3

Affecter àkla valeurk+ 1

Fin tant que

Sortie

Afficherk

Exercice 2 (9 points)Pondichery, avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soitzun nombre complexe. On rappelle que

zest le conjugué dezet que|z|est le module dez. On admet l"égalité :|z|2=z z. Montrons que, siz1etz2sont deux nombres complexes, alors|z1z2|=|z1||z2|: |z1z2|2=z1z2 z1z2 =z1z2 z1z2 =z1 z1z2z2 =|z1|2× |z2|2 = (|z1| × |z2|)2 or, le module d"un nombre complexe est un réel positif; donc pour tous nombres complexesz1etz2, on a : |z1z2|2= ([z1||z2|)2et les nombres|z1z2|et|z1||z2|sont positifs; on a donc|z1z2|=|z1||z2|.

Autre méthode * :On posez1=a1+ib1etz2=a2+ib2

z

1z2= (a1+ib1)(a2+ib2)

=a1a2+ia1b2+ia2b1+i2b1b2 =a1a2-b1b2+i(a1b2+a2b1) |z1z2|=? (a1a2-b1b2)2+ (a1b2+a2b1)2 (a1a2)2-2a1a2b1b2+ (b1b2)2+ (a1b2)2+ 2a1b2a2b1+ (a2b1)2 a21a22+b21b22+a21b22+a22b21 |z1||z2|=? a21+b21?a22+b22 (a21+b21)(a22+b22) a21a22+a21b22+b11a22+b21b22 on a effectivement|z1z2|=|z1||z2|

*Il est préférable d"utiliser la première méthode qui utilise la propriété rappelée et admise dans

l"énoncé; une telle propriété est parfois appelée pré-requis dans les ROC. Partie B : Étude d"une transformation particulière Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct(O;?u;?v), on désigne parAetBles points d"affixes respectives 1 et-1. Soitfla transformation du plan qui à tout pointMd"affixez?= 1, associe le pointM?d"affixez?tel que : z ?=1-z z-1

1.zC=-2 + i.

a. Calcul de l"affixezC?du pointC?image deCpar la transformationf, et placement des pointsCetC?dans le repère donné en annexe : z

C?=1-zC

zC-1

1-(-2 +i)

-2-i-1 3-i -3-i (3-i)(-3 +i) (-3-i)(-3 +i) -9 + 3i+ 3i-i2 (-3)2+ (-1)2 -8 + 6i 10 =-4 + 3i

5Le pointC?a pour affixezC?=-45+35i

b. Montrons que le pointC?appartient au cercleCde centreOet de rayon 1 : OC ?=|zC?-zO| =????-4

5+35i????

?-4 5? 2 +?35? 2 16

25+925

1 = 1 OC ?= 1 doncC?appartient au cercle de centreOet de rayon 1. c. Montrons que les pointsA,CetC?sont alignés : z # »AC=zC-zA =-2 +i-1 =-3 +iz # »AC?=zC?-zA -4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

[PDF] on considere la suite un definie par u0=1 et pour tout n de n un+1=un+2n+3

[PDF] aujourd'hui traduction anglais

[PDF] on considere la suite (un) definie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=1/3un+n-2

[PDF] aujourd'hui traduction italien

[PDF] on considere la suite (un) definie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=1/3un+4

[PDF] un 1 1 3un n 2 algorithme

[PDF] on considere la suite (un) définie par u0=1 et un+1=un+2n+3

[PDF] on considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n un+1=

[PDF] corrigé polynésie 2013 maths

[PDF] un 1 un 2 2un 1

[PDF] un 1 a le meme signe que (- 1 n

[PDF] u n 2 )= 3un 1 )- 2un

[PDF] on considere la suite (un) definie par u0=0 et pour tout entier naturel n

[PDF] un+1=3un-2n+3

[PDF] démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n un 1 a le même signe que (- 1 n