[PDF] Fiche méthode 6 : Plan détude des suites arithmético-géométriques

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F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

Fiche méthode 6 :

Plan d"étude des suites arithmético-géométriques.

Le contexte :on considère une suite définie par la donnée de son premier termeu0et une relation de

récurrence de la formeun+1:=aun+b. On aimerait déterminer explicitementunen fonction den. (On supposea6= 1, sinon la suite est arithmétique etb6= 0sinon la suite est géométrique.)

Une remarque :une telle suite est en fait un cas particulier d"une relation de récurrence de la forme

u

n+1:=f(un)avec la fonctionf:x7!ax+b. Mais ici on arrive à expliciterunen fonction den, ce qui n"est

pas possible en général!

1 Le plan d"étude

On va ramener l"étude d"une suite arithmético-géométrique à l"étude d"une suite géométrique.

1.

On commence par c hercherla limite év entuellede la suite (un)(c"est-à-dire le point fixe de l"application

f). Pour cela, on résout l"équationx=ax+b. Notons`la solution de cette équation. 2. On p ose,p ourtout n2N,vn:=un`. Alors la suite(vn)est géométrique de raisona.

Démonstration (à faire à chaque fois ?) : Par définition deun+1,un+1=aun+bet par définition de`,`=a`+b. En faisant la différence entre ces

deux égalités,un+1`=aun+b(a`+b) =auna`=a(un`). Doncvn+1=avn.3.D"après les form ulesconcernan tles suites géométriques, on a alors vn=v0an.

4. Comme on a vaitvn=un`, on déduit du point précédent queun`= (u0`)anet doncun= (u0`)an+`.

On peut ensuite éventuellement déterminer la limite de la suite(un)en se souvenant que la suite géométrique

a nde raisona6= 1converge vers0si et seulement si1< a <1et diverge sinon.

2 Pourquoi et comment les suites arithmético-géométriques appa-

raissent.

•Les suites arithmético-géométriques sont les suites les plus simples qui peuvent converger vers n"importe

quelle limite : les suites constantes ne servent pas à grand chose. Les suites arithmétiques (non constantes)

divergent toutes vers l"infini. Les suites géométriques peuvent "au-mieux" converger vers0.

•Les suites arithmético-géométriques permettent de lier une quantité à l"instantn(un) à la même quantité à

l"instantn+1(un+1), ce qui permet de modéliser des phénomènes qui évoluent dans le temps d"une façon assez

élémentaire. Elles offrent un modèle à la fois simple (donc utilisable) et suffisamment souple (deux paramètres,

limites diverses, cf. remarque précédente).

•Ce type de modélisation intervient également en probabilités (plus ou moins lié aux chaînes de Markov).

Vous rencontrerez donc ce type de suite dans les exercices de probabilités.

3 Des exemples

Exercice 1 :

On considère la suite définie par la donnée deu0:= 2etun+1:=3un+ 1. Expliciterunen fonction den.

On suit le plan donné précédemment : on cherche la limite éventuelle de la suite. C"est la solution de l"équation

x=3x+ 1, donc de4x= 1:`=14 . On pose alorsvn:=un14 . Commeun+1=3un+ 1et que`vérifie `=3`+1, la différence entre les deux relations donneun+1`=3un+1(3`+1) =3(un`), donc la suite(vn)est géométrique de raison3. Ainsi, pour toutn,vn=v0(3)n. Commeu0= 2,v0= 214 =74 et doncvn=74 (3)n. Ainsi,un14 =74 (3)net doncun=74 (3)n+14 . Remarquons que la suite(un)n"a ici pas de limite (car la suite((3)n)diverge). 1/2 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

Exercice 2 :

Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de1à12.

Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilité

de s"arrêter devant ce repère.

À chaque partie un joueur mise une certaine somme d"argent en choisissant un, deux ou trois numéros sur les

12; il est gagnant si le secteur qui s"arrête devant le repère porte l"un des numéros qu"il a choisis.

Un joueur possédant un crédit illimité effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :

Il mise sur le c hiffre1à la première partie.

S"il p erdà la niemepartie,n>1, il mise uniquement sur les chiffres1et2à la partie suivante et s"il gagne

à laniemepartie, il mise sur les chiffres1,3et5. On notepnla probabilité de l"événementAn: "le joueur gagne laniemepartie". 1. Calculer les probabilités conditionnelles PAn(An+1)etPA n(An+1).

En déduire que

8n2N; pn+1=112

pn+16 2. En déduire l"expression de pnen fonction denet déterminerlimn!+1pn. 1.

Soit n>1fixé. LorsqueAnest réalisé, le joueur a remporté lan-ième partie. L"événementAn+1est alors

réalisé si et seulement si la roue s"arrête en présentant le secteur1,3ou5face au repère. Ceci se réalise

avec probabilité 312
=14 car les douze secteurs de la roue sont identiques et ont la même probabilité de s"arrêter devant le repère. Ainsi,PAn(An+1) =14.

De façon analogue, siA

nest réalisé, le joueur a perdu lan-ième partie. L"événementAn+1est alors

réalisé si et seulement si la roue s"arrête en présentant le secteur1ou2face au repère. Ceci se réalise

avec probabilité 212
=16 car les douze secteurs de la roue sont identiques et ont la même probabilité de s"arrêter devant le repère. Ainsi,PA n(An+1) =16.

D"après la formule des probabilités totales appliquée au système complet d"événement(An;A

n),

P(An+1) =PAn(An+1)P(An) +PA

n(An+1)P(A n). Compte-tenu des calculs précédents, des notations de l"énoncé et du fait queP(A n) = 1P(An) = 1pn, on a doncpn+1=14 pn+16 (1pn) =16 +14 16 pn.

Finalement, on a bien,8n2N; pn+1=112

pn+16. 2.

La suite (pn)est, d"après la question précédente, une suite arithmético-géométrique. Cherchons`tel

que`=112 `+16 , ce qui équivaut à1112 `=16 . Ainsi,`=211 . La suite(un)définie parun:=pn211 est alors géométrique de raison 112
(carun+1=pn+1`=112 pn+16 (112 `+16 ) =112 (pn`) =112 un), et donc pour toutn2N,un=112 n1u1. Comme pour toutn,un=pn`, on a donc, pour toutn2N, p n=112 n1(p1`)+`. Compte-tenu de la valeur de`et du fait queu1=112 (car le joueur a une chance sur12de gagner la première partie : le repère doit être sur le1), on a donc8n2N; pn=211 1311
112
n.

La suite de terme général

112
nétant géométrique de raison112 avec1<112 <1, elle converge vers0,

et doncpn!n!+1211. Ainsi, au bout d"un grand nombre de parties, la probabilité que le joueur gagne

à une partie fixée est environ

211
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