[PDF] Cours de maths S/STI/ES - Suites et convergences

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Mathématiques

Fiche n°2 - Suites et convergence

Suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, etc.

J. Paquereau 1/14

Cours : fiche n°2 - Suites et convergences

Thème : suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, quelques théorèmes, etc.

Notions abordées Page

1. Suites et variations : définition, suites croissantes, constantes et décroissantes, sommes des

2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques : définitions et propriétés. 3

3. Suites récursives : définitions, convergence et divergence, opérations sur les limites,

démonstrations ou preuves par récurrence. 8 gendarmes, théorème du point fixe de Banach. 12

5. Suites homographiques : étude des suites homographiques. 13

1. Suites et variations

plusieurs nombres initiaux. Le nombre suivant va dépendre du ou des termes précédents, celui encore

Exemple : La succession de nombres : 0, 2, 4, 6, 8, etc. est une suite. Son terme initial est 0. Et la suite

évolue de 2 en 2.

suivants, est qualifié de terme initial. Si les termes suivants dépendent de plusieurs termes précédents,

on aura plusieurs termes initiaux. coefficients (indexes) sont les entiers naturels, i.e. : Ͳ, ͳ, ʹ, ͵, etc. de la suite !

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terme quelconque ݑ௡ (hors termes initiaux) en fonction du ou des termes initiaux de la suite.

Très logiquement, une suite est croissante si, de " terme en terme », elle augmente (ou au minimum

reste constante). Inversement, elle est dite décroissante si, de " terme en terme », elle diminue (du

moins si elle reste constante). La suite est finalement constante si, de " terme en terme », elle ne varie

pas. Dans la même veine, on parle de suite strictement croissante (resp. décroissante) si la suite est

suite de nombres réels : donc croissante si et seulement si ׊݊א donc décroissante si et seulement si ׊݊א donc constante si et seulement si ׊݊א

On ajoutera également que :

ݑ଴ൌͲ et ׊݊אԳכ

ݒ଴ൌͷ et ׊݊אԳכ

On constate que :

strictement croissante. même strictement décroissante.

Les lignes ci-dessus, quoique le cas soit simple à traiter, donnent une méthode afin de répondre à la

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ainsi de suite.

Par ailleurs, si tous les termes de la suite sont strictement positifs, un autre critère nous permet de

suite la somme suivante : ܵൌݑ଴൅ݑଵ൅ڮ On peut également calculer la somme des termes du ݅-ième au ݆-ième terme : ܵൌݑ௜൅ݑ௜ାଵ൅ڮ La somme des 5 premiers termes est égales à :

2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques

Nous allons à présent étudier quelques suites des plus communes.

2.1. Suites arithmétiques

ݑ଴ deux réels fixés.

On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.

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Si ݎ൐Ͳ, la suite est strictement croissante.

Si ݎൌͲ, la suite est constante.

Remarques :

du dernier terme.

Afin de démontrer, les propriétés qui précédent, nous allons introduire la notion de raisonnement par

récurrence. On parle encore de preuve ou démonstration par récurrence. Principe :

Etape Description

1 On montre que la proposition ܲ

݊ൌͲ. On dira que la propriété est vraie au rang Ͳ ou encore que ܲ

2 On suppose la proposition ܲ

propriété ܲ௡est vraie au rang ݊א 3 On montre que, si la proposition ܲ௡ est vraie au rang ݊א

4 On conclut que la propriété ܲ௡ est vraie pour tout ݊א

Démonstrations : tâchons de démontrer les propriétés précédentes sur les suites arithmétiques. Soit

Supposons ܲ௡ vraie au rang ݊א

Conclusion : ܲ௡ vraie pour tout ݊א

Pour démontrer la relation entre les variations de la suite arithmétique et le signe de sa raison, nous

Par définition, nous savons que ݑ௡ାଵൌݑ௡൅ݎ. Il vient que ݑ௡ାଵെݑ௡ൌݑ௡൅ݎെݑ௡ൌݎ.

Soit la proposition ܲ௡׷

Supposons ܲ௡ vraie au rang ݊א

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On remplace ݑ௡ାଵ par ݑ௡ାଵൌݑ௡൅ݎ, on bidouille, puis on factorise :

La proposition ܲ

Par conséquent, la propriété ܲ

6 à 12.

Le terme général de la suite est : ׊݊א

Somme des termes ͸ à ͳʹ :

2.2. Suites géométriques

deux réels fixés. On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.

Si ݍ൐ͳ :

Si ݑ଴൒Ͳ, la suite est croissante et positive. Si ݑ଴൑Ͳ, la suite est décroissante et négative.

Si ݍൌͳ, la suite est constante.

Si ݑ଴൒Ͳ, la suite est décroissante et positive. Si ݑ଴൑Ͳ, la suite est décroissante et négative. décroissante). Elle est successivement positive puis négative. On parle de suite alternée.

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Remarques :

ݑ଴ est le premier terme.

݊൅ͳ est le nombre de termes.

Sans prouver formellement cette proposition par récurrence, on peut constater que : - Finalement, il vient que : ݑ௡ൌݑ଴ݍ௡ pour tout entier ݊.

Sens de variation de ݑ௡ :

Une fois encore, sans apporter une preuve par récurrence, constatons que : donc bien constante.

Autrement dit, les termes de la suite sont bien " rangés par ordre croissant ». La suite est bien

croissante. Au contraire, le fait que ݑ଴൑Ͳ change le sens des inéquations et les termes sont " rangés

Soit la proposition ܲ௡׷

On peut prouver cette proposition par récurrence :

Supposons ܲ௡ au rang ݊א

Conclusion : ܲ

Calcule les termes ݑହ et ݑଵ଴. Calculer la somme des 10 premiers termes. Calculer la somme des termes

5 à 10.

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Le terme général de la suite est : ׊݊א

Somme des termes ͷ à ͳͲ : il y a ͳͲെͷ൅ͳൌ͸ termes à sommer. Le premier terme est ݑହ.

2.3. Suites arithmético-géométriques

La notion de suite arithmético-géométrique vient généraliser les notions de suites arithmétiques et

géométriques. Nous les étudions ici à titre informel.

ݑ଴, ܽ et ܾ

On a les propriétés suivantes :

Si ܽ

range ݊ൌͳ.

Si ܽ

Si ܾ

Si ܽ

ଵି௔൒Ͳ alors la suite est croissante.

Si ܽ

ଵି௔൑Ͳ alors la suite est décroissante. ଵି௔൒Ͳ alors la suite est décroissante et tend vers ௕ ଵି௔ quand ݊ tend vers ൅λ. ଵି௔൑Ͳ alors la suite est croissante et tend vers ௕ ଵି௔ quand ݊ tend vers ൅λ. Important ! En terminale, il ne vous est clairement pas imposé de connaître ce type de suites,

amenés à en étudier, bien guidés, sans que le terme " arithmético-géométrique » ne soit

sous la forme ݑ௡ାଵൌܽݑ௡൅ܾ

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Justification du terme général de la suite. On obtient récursivement :

Justification des variations de la suite : en étudiant sereinement le signe de chacun des termes et

facteurs du terme général de la suite arithmético-géométrique, on obtient effectivement les

propriétés ci-avant présentées. ଵି௔, on a :

3. Suites récursives, convergence et divergence

" fonction », ou plus exactement une application qui associe un nombre à un index. Formellement :

Le plus souvent ܫ

que ce début ne dépende pas des prédécesseurs. Si les termes dépendent uniquement du précédent, on

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affine, et plus exactement : ݂׷Թ՜Թݔհܽݔ൅ܾ Rien ne nous empêche désormais de définir des suites récursives quelconques. pour quelles valeurs de ܽ et ܾ

On souhaite donc connaître le signe de ݒ௡ାଵെݒ௡ൌܽ݁௕௩೙െݒ௡ selon les valeurs ܽǡאܾ

On pose alors la fonction ݃׷Թ՜Թݔհܽ ௕ dont Or, la fonction ݈݊ est strictement croissante et on a : strictement croissante pour toutܽǡאܾ

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3.3. Convergence et divergence

Les notions de convergence et de divergence sont aux suites ce que les limites sont aux fonctions. Une

Attention ! Une suite divergente ne tend pas forcément vers േλ pour ݊ grand.

Exemple : la suite définie par ׊݊א

des notions de convergence et de divergence. Les deux définitions suivantes définissent justement le

pour tout ݊אԳ : ݊൐֜ܰȁݑ௡െ݈ȁ൑ߝ

Plus succinctement : אߝ׊Թାǡאܰ׌Գǡ׊݊אԳǡ݊൐֜ܰȁݑ௡െ݈ȁ൑ߝ

pour tout ݊אԳ : ݊൐֜ܰݑ௡൐ߝ

Plus succinctement : אߝ׊Թାǡאܰ׌Գǡ׊݊אԳǡ݊൐֜ܰݑ௡൐ߝ

Explication : cette formulation signifie que :

près, avec ߝ veut. diverge. En effet, dans le pire des cas, comme souvent, pour prouver quelque chose, on peut toujours repartir de la définition même.

3.4. Opération sur les limites

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les prouver en repartant de la définition même de limite (fournie ci-dessus). ൅λ െλ ݑ௡൅ݒ௡ Forme indéterminée Ͳ ൅λ ou െλ ݑ௡ݒ௡ Forme indéterminée

ݒ௡ Forme indéterminée

ݒ௡ Forme indéterminée

3.5. Convergence ou divergence des suites aritmétiques, géométriques et arithmético-géométriques

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(ii) : ׊݊אԳכǡݎ൐Ͳǡݑ௡ൌݑ଴൅݊ݎ. Soit ߝ൐Ͳ, ݑ଴൅݊ݎ൐֜ߝ

௥. On peut poser ݊଴ premier entier strictement supérieur à ௔ି௨బ ௥. Conclusion, on peut toujours trouver un rang au-delà duquel les ݑ௡

Démonstration : le principe est le même que celui utilisé au travers de la preuve précédente. On peut

4. Etude de convergence : quelques théorèmes

Théorème de convergence monotone : toute suite réelle monotone bornée est convergente.

De la précédente formulation du " théorème de convergence monotone » découle les deux propositions

équivalentes suivantes :

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Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente Egalement, voici une propriété souvent bien pratique : On préfère parfois étudier la limite de la différence plutôt que la limite même. Finalement, deux autres théorèmes également très utiles en pratique :

Théorème des gendarmes (convergence) :

Si ׌݊଴אԳǡ݊൐݊଴֜

N.B. : ce théorème passe pour plutôt évident. Si, à un moment donné, une suite se fait écraser par deux

Théorème des gendarmes (convergence, autre version) : Si ׌݊଴אԳǡ݊൐݊଴֜ Théorème des gendarmes (divergence vers ൅λ) : Si ׌݊଴אԳǡ݊൐݊଴֜

Théorème du point fixe de Banach :

5. Suites homographiques

A titre informel, nous allons étudier une autre forme de suites commune : les suites homographiques.

traite ci-après le cas général. ௖௨೙ାௗ avec ܽǡܾǡܿǡ݀א arithmético-géométrique, cas que nous avons déjà traité. On suppose donc que ܿ

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Pour étudier cette suite, on utilise une astuce classique consistant à introduire une nouvelle suite

Deux cas se présentent alors :

On suite alors la méthode suivante :

que ݒ௡ diverge vers േλ ;

Or, ݒ௡ൌଵ

On en déduit que ଵ

௩೙ converge vers Ͳ et a fortiori que ݑ௡ converge vers ܽ

On suite alors la méthode suivante :

Or, ݒ௡ൌ௨೙ିఉ

On a donc ݑ௡ൌିఉାఈ௩೙ ௩೙ିଵ ou encore ݑ௡െఉ dessus.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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