[PDF] Chapitre 3 - Structure des ondes planes progressives harmoniques

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Chapitre 3

Structure des ondes planes

progressives harmoniques

3.1 Notation complexe

A toute solutiona(M,t) =Acos(ωt-k·r-φ) on associe le champ complexe donta(M,t) est la partie r´eelle et d´efinie par : a(M,t) =a(M,t) +ia(M,t-T/4) =Aexp[i(ωt-k·r-φ)] Alors en explicitantk·r=kxx+kyy+kzz, on obtient : ∂a∂t =iωa; ∂a∂x =-ikxa; ∂a∂y =-ikya; ∂a∂z =-ikzaCes r´esultats peuvent se regrouper `a l"aide de l"op´erateur nabla : ∂∂t =iω;?=-ik Pour une OemPPH, on associe un champ complexe en passant en no- tation complexe toutes les composantes du champ ´electromagn´etique. En regroupant les amplitudes et les phases `a l"origine dans deux vecteurs `a composantes complexesE0 etB0 , les champs complexes d"une OemPPH sont de la forme : E=E0 exp[i(ωt-k·r)] ;B=B0 exp[i(ωt-k·r)] 1

2CHAPITRE 3. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES

3.2 Structure des ondes planes progressives har-

moniques dans le vide Ici, nous exploitons directement les ´equations de Maxwell en notation complexe. En utilisant l"op´erateur?particuli`erement efficace ici, ces´equations s"´ecrivent en l"absence de charges et de courants : ? ·E= 0 ;? ?E=-∂B∂t ;? ·B= 0 ;? ?B=?0μ0∂B∂t Apr`es transcription en notation complexe, il vient :

-ik·E= 0 ;-ik?E=-iωB;-ik·B= 0 ;-ik?B=i?0μ0ωELa transcription de l"´equation de Maxwell-Gauss impose :k·E= 0, soit

aveck=ku,u·E= 0. En prenant la partie r´eelle, nous obtenons alors : ?(u·E) = 0 soitu· ?(E) = 0 puisu·E= 0 Ainsi le champ ´electriqueEest `a tout instant perpendiculaire `a la direction de propagationu: on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transverses ´electriques. La transcription de l"´equation de conservation du flux magn´etique conduit, avec des calculs strictement analogues, `a la condition : u·B= 0 Ainsi le champ magn´etiqueBest `a tout instant perpendiculaire `a la direction de propagationu: on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transverses ´electriques. Les champsEetB ´etant tout deux perpendiculaires `a la direction de propagationu, on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transversales. Les transcriptions de l"´equation de Maxwell-Faraday et de Maxwell-

Amp`ere s"´ecrivent apr`es simplification :

B= kω u?E;-1c 2E= kω u?BEn ´eliminantB, il vient : ku??kω u?E? =-ωc 2E

3.2. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES DANS LE VIDE3

En d´eveloppant le double produit vectoriel :

u?(u?E) = (u·E)u-(u·u)E=-Eil vient : -k2ω

E=-ωc

2Esoitk2=ω2c

2 Nous obtenons ainsi la relation de dispersion liantketω, et qui apparaˆıt ici comme la condition de compatibilit´e des quatre ´equations de Maxwell : k=ωc Cette relation de dispersion est conforme `a ce que nous attendions d"apr`es le chapitre pr´ec´edent pour une solution harmonique des ´equations de D"Alem- bert. En rempla¸cant enfin dans la transcription de l"´equation de Maxwell- Faraday, nous obtenons une relation entre les champs ´electrique et magn´e- tique : B= kω u?E= u?Ec

En prenant les parties r´eelles, il vient :

B=?(B) =??u?Ec

=uc ? ?(E) = u?Ec

Soit finalement :

B=u?Ec

Cette relation montre d"abord que le tri`edre (u,E,B) est un tri`edre orthogonal direct. En outre le rapport des champs vaut :

E(M,t)B(M,t)=c

de telle sorte que le champ ´electrique et le champ magn´etique d"une onde ´electromagn´etique plane progressive harmonique dans le vide sont en phase. L"ensemble de ces r´esultats constitue la structure des ondes ´electroma- gn´etiques planes progressives harmoniques dans le vide. Il importe `a la fois de les connaˆıtre parfaitement pour les utiliser directement, mais aussi de prendre garde `a ne les utiliser que dans ce cas l`a! Notons toutefois que cette structure ne fait pas apparaˆıtre la pulsationω. D"apr`es l"analyse de Fou- rier, toute onde ´electromagn´etique plane progressive est une somme d"ondes

4CHAPITRE 3. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES

´electromagn´etiques planes progressives harmoniques ayant toutes la mˆeme direction de propagationuet des pulsationsωdiff´erentes. Ainsi, les r´esultats obtenus pour les ondes ´electromagn´etiques planes progressives harmoniques s"´etendent par sommation aux ondes ´electromagn´etiques planes progressives non n´ecessairement harmoniques.

3.3 Polarisation des ondes planes progressives har-

moniques La structure des OemPPH laisse ind´etermin´ee la direction du champ ´electriqueEdans le plan perpendiculaire `a la direction de propagationu. Cette direction est appel´ee direction de polarisation de l"onde. Notons qu"une fois que cette direction est connue, celle deBest d´etermin´ee par la structure des ondes OemPPH. Prenons un tri`edre cart´esien, dontuxsoit la direction de propagation de l"OemPPH. Par d´efinition le champ ´electrique est de la forme : E=0 E

0ycos(ωt-kx)E

0zcos(ωt-kx-φ)

o`u on a choisi l"origine des temps de mani`ere `a prendre nulle une des phases `a l"origine. Dans le cas le plus g´en´eral, le champ ´electriqueEd"une onde OemPPH d´ecrit en un point donn´e une ellipse avec une p´eriode ´egale `a celle de l"onde; on dit que l"onde est polaris´ee elliptiquement. Si de plus, l"ellipse est d´ecrite dans le sens trigonom´etrique autour du vecteuru, on dit que la polarisation est elliptique-gauche (PEgen abr´eg´e); si l"ellipse est d´ecrite dans le sens des aiguilles d"une montre, la polarisation est dite elliptique-droite (PEden abr´eg´e). Attention, cette convention est celle des opticiens. Les physiciens des particules ont opt´e pour la convention inverse! Par rotation des axesuyetuz, on peut toujours se ramener au cas d"une ellipse d"axesuyetuzet mettre le champ ´electrique sous la forme : E=0 E

0ycos(ωt-kx)±E0zsin(ωt-kx)

Le signe + repr´esente le cas d"unePEget le signe-le cas d"unePEd.

3.4. PROPAGATION DE L"

´ENERGIE DES OEMPPH5

Dans le cas particulier o`u les deux composantes du champ ont mˆemequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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