[PDF] Notes de cours - Statistique Descriptive

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Notes de cours - Statistique Descriptive

Licence Mathématiques et informatique appliquées aux sciences humaines et sociales

Université de Bordeaux

UE : Bases en statistiques - Première année Licence MIASHSRédaction: Brigitte Patouille et Jérôme Poix

Enseignants impliqués dans l"UE

Jérémie Bigot, Marie Chavent, Vincent Couallier, Brigitte Patouille

2016-2017

2

Table des matières

1 Les données5

2 Statistique descriptive à une variable 7

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Diagramme circulaire (camembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Diagramme des effectifs et des fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Diagrammes d"effectifs et de fréquences cumulés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Paramètres caractérisant une variable statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Paramètres (ou indicateurs) de position (ou de centralité) . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Statistique descriptive à deux variables 22

3.1 Distribution statistique d"un couple de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Distributions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1Yquantitative etXqualitative (ou quantitative) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2XetYqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3XetYquantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 4

1 Les données

Lesdonnées statistiquesse présentent sous la forme d"individuspour lesquels sont mesurés un certain nombre decaractères(ou"variables statistiques"). L"ensemble des individus constitue unéchantillon(ou encore unesérie statistique), formant ainsi un sous-ensemble d"un groupe (beaucoup) plus grand appelé"population". Les caractères statistiques peuvent être de plusieurs natures :

Lesvariables qualitatives:

Exemples : nationalité d"une personne, profession. Les valeurs possibles d"une variable qualitative sont appelées lesmodalités; Exemples :"Français", "Britannique", "Professeur", "Médecin". Remarque :Certaines variables qualitatives peuvent parfois comporter un ordre "naturel" ;

Exemple : variable "activité sportive" avec les modalités "peu sportif", "assez sportif", "très sportif".

Lesvariables quantitatives(qu"on peut mesurer);

- Lesvariables quantitatives discrètes: variables prenant leurs valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable (en généralN); Exemples : âge d"une personne (en années), nombre d"enfants dans une famille. Pour ces variables, les valeurs possibles sont également appeléesmodalités. - Lesvariables quantitatives continues: variables qui peuvent prendren"importe quelle valeurdans un intervalle deR, c"est à dire mesurées avec une très grande précision. Exemples : taille d"un individu (en mm), poids (en g), temps d"une réaction chimique (en micro- secondes).

En résumé :

Soit uncaractère statistiqueX.

Unéchantillon(ousérie statistique) pour ce caractère peut se représenter par la donnée d"une

suite de nombres : fx1;x2;:::;xng; où : -nest le nombre d"observations (ou encore lataille de l"échantillon) - et8i;1in,xireprésente la valeur du caractèreXpour l"individui. Les données présentées sous cette forme sont appelées lesdonnées brutes. On peut également les représenter sous la forme d"un tableau :IndividuX 1x 12x 2. ..nx nExemple de tableau de données à 4 individus et 3 variables : 5

SexeNombre de frères et soeursTaille(cm)

1M1143

2M2149

3F0144

4F2146

Pour un tableau de données ànindividus etkvariables, on peut étudier les données de plusieurs

façons :

-1 variable à la fois!statistique descriptive à 1 variable, étude d"un caractère statistique;

-2 variables à la fois!statistique descriptive à 2 variables, étudesimultanéede 2 carac- tères statistiques; -+ de 2 variables à la fois!statistique exploratoire, analyse des données (méthodes plus lourdes et plus complexes, calculs intensifs). 6

2 Statistique descriptive à une variable

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon

Variables qualitatives ou quantitatives discrètes.

Définition 1 :Une distribution statistique d"un échantillon denobservations d"une variable qua-

litative ou quantitative discrèteX(ou bien d"un caractère qualitatif ou quantitatif discret) est

constituée par la donnée d"un regroupement f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g; où : - lesai,1ipreprésentent les modalités de la variable statistiqueX(classées le plus souvent en ordre croissant,a1< a2<< ap),pétant le nombre de modalités; - le nombreni,1ip, appeléeffectif de la modalitéreprésente le nombre d"individus pour lesquels la variableXa la modalitéai,1ip. -pX i=1n i=n On peut représenter une distribution statistique discrète par un tableau :X(modalités)a 1a 2:::a pEffectifn 1n 2:::n pExemple :

Données brutes Distribution statistique

(Données regroupéesou"triées à plat")iÂgexi120 218
318
419
517
618
722
818
920

1018ÂgeEffectif

Variables quantitatives continues : deux approches possibles.

Première approche :On peut considérer un échantillon d"un caractère continu comme celui d"un

caractère discret à valeur dans un sous-ensemble fini deR. !même définition de la distribution que dans le cas discret.X(modalités)a 1a 2:::a pEffectifn 1n 2:::n p7 On appellera cette distribution la"distribution empirique"du caractèreX.

Mais si l"hypothèse de continuité du caractère est pertinente, alorsp'n, et (presque) tous les

effectifsniseront égaux à 1. On se retrouve donc avec les données brutes dans ce cas.

!Les "modalités" sont les différentes valeurs prises par le caractère.Elles dépendent ici des

observations de l"échantillon. Remarque 1 :Cette définition de la distribution d"un caractère continu correspond seulement au

classement dans l"ordre croissant des données et au regroupement éventuel des quelques observations

qui pourraient être identiques.

Seconde approche :Pour obtenir une représentation synthétique des données, on a besoin d"ef-

fectuer unregroupement en classes.

Définition 2 :Une distribution statistique d"un échantillon denobservations d"une variable quan-

titative continue (ou d"un caractère quantitatif continu)Xregroupée en classesest constituée

par la donnée d"un regroupement f(C1;n1);(C2;n2);:::;(Cp;np)g; où : - lesCi,1ipsont des intervalles appelésclasseset formant une partition de l"ensemble des valeurs possibles pourX, c"est à dire C

1= [a0;a1[; C2= [a1;a2[;:::; Cp= [ap1;ap[;

ou bien C

1=]a0;a1]; C2=]a1;a2];:::; Cp=]ap1;ap];

aveca0< a1<< ap. - le nombreni,1ip, appeléeffectif de la classereprésente le nombre d"individus pour lesquels la valeur de la variableXest dans la classeCi,1ip.

On peut représenter une distribution statistique continue par un tableau :X(classes)]a0;a1]]a1;a2]:::]ap1;ap]Effectifn

1n 2:::n pRemarque 2 :On a bien sûr pour un échantillon de taillen, n

1+n2++np=n:

Remarque 3 :Quand on passe des données brutes à la distribution, il y a perte d"information,

surtout dans le cas des variables continues, puisqu"on ne connaît plus les valeurs effectivement prises

par la variable.

En résumé :

Echantillon

(données brutes)

Distribution

Regroupement Regroupement

en modalités en classes (qual. ou quant. discret) (quant. continu) 8

Exemples de distributions statistiques :

1. Groupe sanguin de 100 personnes (variable ..Groupe sanguinAOBAB

Effectif40331413

2. Nombre d"enfants dans 80 familles (

Nb d"enfantsEffectif

06 120
227
317
46
53
61

3. Taille (en cm) de 24 individus (

154117111821

156117411841

157117621851

160117711861

163117911881

167218021911

170118111941

4. Poids (en kg) de 92 personnes (

Avec Regroupement/Découpage de classes :

Remarque 4 :Dans le cas continu, la distribution statistique dépend du choix des classes, qui est arbitraire. En pratique, les classes seront choisies de manière "raisonnable" : en fonction du nombre d"observations. en fonction de l"amplitude de l"échantillon = +grande valeur - (+petite valeur). pas trop petites (sinon à la limiteni= 0ouni= 1,8i: ce n"est plus un regroupement en classes!) pas trop grandes (sinon à la limite il ne reste qu"une ou deux classes : plus aucune information sur les données).

On choisit souvent des classes de même amplitude, mais il est fréquent de regrouper des classes

d"effectifs trop faibles, et de couper des classes d"effectifs trop grands.

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée

Définition 3 :Soitn=n1++npl"effectif total d"un échantillon. On appellefréquencede la modalitéai(ou de la classeCi) le nombre f i=nin 9 f

iest la proportion des sujets de l"échantillon qui ont une modalité deXégale àai(ou qui sont

dans la classeCi). SiXest quantitative ou qualitative ordinale et que lesaisont classés par ordre croissant (a1< a2<< ap), on appelleeffectif cumuléde la modalitéai(ou de la classeCi) le nombre : N i=n1++ni=iX j=1n j N i=n1++niest le nombre de sujets de l"échantillon qui ont une modalité deXinférieure ou

égale àai.

On appellefréquence cumuléede la modalitéai(ou de la classeCi) le nombre F i=Nin =f1++fi=iX j=1f j: F

iest la proportion des sujets de l"échantillon qui ont une modalité deXinférieure ou égale àai.

Ces deux dernières quantités n"ont pas de sens pour les variables purement qualitatives.

Remarque 5 :Le nombreficalculé sur un échantillon de taillenest une estimation de la fréquence

p

ide la modalitéai(ou de la classeCi) pour l"ensemble de la population. On appellepila "fréquence

théorique" ou encore probabilité de la modalité ou classe en question. On peut montrer sous certaines conditions que (loi dite des "grands nombres") lim n!+1fi=pi

2.3 Représentations graphiques

Elles représentent

les effectifs, les fréquences (tout type de variables), les effectifs cumulés, les fréquences cumulées (variables quantitatives ou ordinales), les valeurs d"un caractère statistique pour chaque individu.

2.3.1 Diagramme circulaire (camembert)

Cette représentation graphique est à réserver aux variables (purement) qualitatives. On divise le disque enpsecteurs représentant les modalités(a1;a2;:::;ap)et proportionnels aux

effectifs correpondants(n1;n2;:::;np). L"angle (en degrés) du secteur représentant la modalitéai

sera égal à : i=nin 360
Exemple :Diagramme circulaire de la variable Groupe sanguin.

2.3.2 Diagramme des effectifs et des fréquences

Cas discret: modalitésai, effectifsni.

Sur l"axe des abscisses, on reporte les modalitésai; sur l"axe des ordonnées on reporte les effectifs

ou les fréquences. Au-dessus de chaque modalité, on trace un segment vertical dont la hauteur est

égale (ou proportionnelle) à la fréquence (à l"effectif) associé. Ce diagramme est aussi appeléDiagramme en bâtons. 10 Exemple :Diagramme en bâtons de la variable Âge.

Cas continu: classesCi, effectifsni.

Sur l"axe des abscisses, on reporte les classesCi; sur l"axe des ordonnées on reporte les effectifs ou

les fréquences. Au-dessus de chaque classe, on trace un rectangle dont l"aireest égale (ou propor-

tionnelle) à la fréquence (à l"effectif) associé. Ce diagramme est aussi appeléHistogramme.

Remarque 6 :La hauteur du rectangle représente ladensité d"effectifou ladensité de fré- quenced"une classe.

!Siareprésente l"amplitude de référence, alors la hauteurhidu rectangle correspondant à la

classeCi=]ai1;ai]vaut h i=niaa iai1: !Pour une classe d"amplitude k fois plus grande (resp. k fois plus petite), on divise (resp. on multiplie) l"effectif ou la fréquence par un facteur k pour obtenir la hauteur du rectangle.

Exemple :Histogramme de la variable Poids.

11

2.3.3 Diagrammes d"effectifs et de fréquences cumulés

Variables quantitatives discrètes.

Définition 4 :On appellefonction de répartition empirique ou observée, ou encore dia-

gramme des fréquences cumulées d"un échantillonfx1;:::;xng(ou d"une distribution statistique

f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g) la fonction définie8x2Rpar :

F(x) =Nombre d"observationsxn

c"est-à-dire :

F(x) =8

:0;8x < a1; F i;8x2[ai;ai+1[;

1;8xap:

Remarque 7 :Dans le cas d"un caractèreXdiscret, la longueur des marches de la fonction de

répartition est fixée au départ (en général elle vaut 1), mais les sauts sont de hauteurs variables.

Exemple :Fonction de répartition du caractère Nombre d"enfants

Variables quantitatives continues.

a. Fonction de répartition empirique.

En général, le terme de fonction de répartition empirique d"un échantillonfx1;:::;xngdésigne

toujours la fonction en escalier

F(x) =Nombre d"observationsxn

Dans le cas d"une variableXcontinue, on ne peut tracer cette fonction que si on connaît le détail

des données (données brutes), ce qui permet de considérerXcomme un caractère discret à valeurs

dans un sous-ensemble fini deR. Cette fonction correspond donc bien à lafonction de répartition

de la "distribution empirique"du caractèreX.

Exemple :Ind.Taille(cm)

1149,5

2157,3

3172

4168,2

12

QuandXest continu, alors en général toutes les observations de ce caractère ont des valeurs diffé-

rentes. Dans ce cas les sauts deF(x)seront tous de1=n; en revanchela longueur des marches est variable et dépend des observations. Exemple :Fonction de répartition empirique du caractère continu Taille b. Fonction de répartition "Polygone des fréquences (ou des effectifs) cumulé(e)s". Soit une distribution d"un caractère continuX:X(classes)]a0;a1]]a1;a2]:::]ap1;ap]Effectifn 1n 2:::n pSi on définitF(x)comme précédemment, c"est-à-dire :

F(x) =Nombre d"observationsxn

on voit qu"on ne connaît a priori les valeurs deF(x)que pourx=a0;a1;:::;ap. En effet : 8< :F(a0) = 0;

F(ai) =Fi=Nin

F(ap) = 1;

et d"autre partF(x) = 0; x < a0etF(x) = 1; x > ap.

Comment définirF(x),8x2]ai1;ai[;1ip?

On suppose en fait que les observations sont uniformément réparties à l"intérieur de chaque classe

et on peut alors définirF(x)comme une droite sur chaque intervalle]ai1;ai[. Cela revient donc à

relier les pointsMi(ai;Fi)par des segments de droite.

Ainsi,8x2]ai1;ai[,

F(x) =F(ai1) + (xai1)F(ai)F(ai1)a

iai1 =Fi1+ (xai1)fia iai1:

Le graphique ainsi obtenu est appelépolygone des fréquences cumulées. On peut aussi définir

la fonctionG(x) =nF(x)dont la représentation graphique s"appelle lepolygone des effectifs cumulés. Exemple :Polygone des fréquences cumulées du caractère Poids 13

2.4 Paramètres caractérisant une variable statistique

2.4.1 Paramètres (ou indicateurs) de position (ou de centralité)

La moyenne(arithmétique)

a. Calcul à partir des données de l"échantillon (données brutes). Définition 5 :Soit un échantillon d"un caractère statistiqueX:fx1;:::;xng: On appellemoyenne(arithmétique) de l"échantillon le nombre : x=1n n X i=1x i:

Exemple :Moyenne de Âge (échantillon) :

b. Calcul à partir d"une distribution.

Définition 6 :

-cas discret: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif discretX: f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g: On appellemoyenne(arithmétique) de la distribution le nombre : x=1n p X i=1n iai=pX i=1f iai:

Exemple :Moyenne de Âge (distribution) :

-cas continu: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif continuX, f(C1;n1);(C2;n2);:::;(Cp;np)g: On appellemoyenne(arithmétique) de la distribution le nombre x=1n p X i=1n ici=pX i=1f ici; où81ip,ciest le centre de la classeCi=]ai1;ai], autrement dit :ci=ai1+ai2 Exemple :Moyenne du Poids (distribution avec regroupement et découpage) :

Remarque 8 :La moyenne vérifie lapropriété de linéarité. étant donné deux caractères statis-

tiquesXetYde moyennes respectivesxety, et deux nombres réelsaetb, alors la moyenne du 14 caractèreZ=aX+bY(c"est à dire de l"échantillon formé des observationszi=axi+byi;1in) vaut z=ax+by:

Remarque 9 :La moyenne calculée à partir de la distribution est appelée"moyenne pondérée"

(par les effectifs ou les fréquences).

Remarque 10 :Dans la cas d"un caractère discret la moyenne calculée sur les données brutes est

la même que celle calculée sur la distribution, en revanche ces deux quantités diffèrent dans le cas

d"un caractère continu.Données BrutesDistribution

Xdiscretx=1n

n X i=1x i= x=1n p X i=1n iaiXcontinux=1n n X i=1x i6= x=1n p X i=1n iciLa médiane

La médiane est le nombre tel que la moitié des valeurs de l"échantillon lui sont inférieures ou égales

(et par conséquent la moitié des valeurs de l"échantillon lui sont supérieures). Elle divise l"échantillon

en deux parties égales (en nombre de valeurs).

Définition 7 :

-cas discret: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif discretX: f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g; de fonction de répartitionF. On appellemédianede la distribution la modalité~x=aitelle que

F(ai1) =Fi1=f1++fi1<0;5;

F(ai) =Fi=f1++fi>0;5:

Dans le cas où il existeaitel queF(ai) =Fi= 0;5, alors on posera ~x=ai+ai+12 -cas continu: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif continuX, f(C1;n1);(C2;n2);:::;(Cp;np)g;

de fonction de répartitionF. On appellemédianede la distribution le nombre~xtel queF(~x) = 0;5.

Détermination pratique de la médiane d"une variable quantitative (discrète ou conti- nue) à partir des données brutes (échantillon) :

On commence par ordonner toutes les valeursxide l"échantillon en les répétant autant de fois

qu"elles sont observées. Alors : - sinest pair (n= 2k) :~x=xn=2+xn=2+12 =xk+xk+12 - sinest impair (n= 2k+ 1) :~x=x(n+1)=2=xk+1.

Exemples :

15 Détermination grahique de la médiane d"une variable quantitative (discrète ou conti- nue) : -cas discret: on utilise la fonction de répartition empirique. -cas continu: on utilise le polygone des fréquences cumulées.

1er cas :9itel queF(ai) = 0;5)~x=ai.

2nd cas :9itel queF(ai1)<0;5; F(ai)>0;5d"où~x2]ai1;ai[.

On calcule alors la médiane par interpolation linéaire : Sur]ai1;ai[la fonction de répartitionFest une droite d"équation :

F(x) =F(ai1) + (xai1)F(ai)F(ai1)a

iai1 =F(ai1) + (xai1)fia iai1: Pour trouver la valeur~xtelle queF(~x) = 0;5, il suffit de remplacerF(x)par0;5etxpar~xdans l"équation ci-dessus :

0;5 =F(ai1) + (~xai1)fia

iai1 ,~x=0;5F(ai1)f i(aiai1) +ai1:

On peut aussi écrire en posantG(x) =nF(x),

G(x) =G(ai1) + (xai1)nia

iai1; d"où finalement commeF(~x) = 0;5,G(~x) =n=2, ~x=n=2G(ai1)n i(aiai1) +ai1:

Exemples :

16 * Généralisation : les quantiles.

Définition 8 :

-cas discret: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif discretX: f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g; de fonction de répartitionF, et soit2]0;1[. On appellequantiled"ordrede la distribution la modalitéq=aitelle que

F(ai1) =Fi1=f1++fi1< ;

F(ai) =Fi=f1++fi> :

Dans le cas où il existeaitel queF(ai) =Fi=, alors on posera : q = (1)ai+ai+1: -cas continu: Soit une distribution d"un caractère statistique quantitatif continuX: f(C1;n1);(C2;n2);:::;(Cp;np)g; de fonction de répartitionF. On appellequantiled"ordrede la distribution le nombreqtel que

F(q) =.

Définition 9 :On appellepremier quartiled"une distribution statistique et on noteraQ1le quantile d"ordre= 0;25(Q1=q0;25). On appelletroisième quartiled"une distribution statistique et on noteraQ3le quantile d"ordre = 0;75(Q3=q0;75).

Remarque 11 :La médiane n"est autre que le deuxième quartile (~x=Q2=q0;5) et on a bien sûr :

Q

1~xQ3:

Exemples :

17

Le mode

Définition 10 :On appellemode(cas qualitatif ou quantitatif discret, noté^x) ouclasse modale (cas quantitatif continu, notée^C) d"une distribution statistiquela modalité ou classe de plus grand effectif.

Exemples :

Remarque 12 :S"il existe un seul mode, on dit que la distribution statistique estunimodale. Dans le cas contraire on parle de distributionmultimodale(bimodale, trimodale,...) Dans le cas d"un caractère continu, on peut prendre comme mode le centre de la classe modale. * Avantages et inconvénients des différents paramètres de position :MoyenneMédianeMode +*toujours calculable*toujours définie*permet de détecter *calculs faciles*peu sensible auxplusieurs "pics" (linéarité)valeurs extrêmesdans une distribution -*sensible aux valeurs*pas de linéarité*pas toujours extrêmesbien défini

2.4.2 Paramètres de dispersion

Ils mesurent la tendance des données à s"étaler ou au contraire à se concentrer autour d"une

valeur centrale (donnée par un paramètre de position).

L"étendue.

Définition 11 :On appelleétendued"une série statistique d"un caractèreXla différence entre la

plus grande valeur de la série pour ce caractère et la plus petite.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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