[PDF] Chapitre 2 Comparaisons de deux distributions

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U.F.R. SPSE - Master 1

PMP STA 21 M´ethodes statistiques pour l"analyse des donn´ees en psychologie 2009-10Chapitre 2

Comparaisons de deux distributions

Il s"agit de comparer les distributions d"un mˆeme caract`ere dans deux populations, observ´ees sur deux

´echantillons. Les techniques statistiques utilis´ees d´ependent du type de caract`ere ´etudi´e, qualitatif ou quan-

titatif, des tailles des ´echantillons et de s"ils sont ind´ependants ou non (appari´es).

Pour un caract`ere qualitatif (`a deux modalit´es ou plus) et des tailles d"´echantillons suffisamment grandes

(>30) on utilise des tests du khi-deux (ou khi-carr´eχ2) qui consistent `a comparer les proportions des

diff´erentes modalit´es.

Pour un caract`ere quantitatif, lorsque les distributions sont suppos´ees normales, il suffit pour les comparer,

de comparer leurs moyennes (indice de position ou de valeur centrale) et donc de proc´eder `a un test de com-

paraison de deux moyennes bas´e sur la loi de Student, ou lorsque les tailles des ´echantillons sont suffisamment

grandes (>30) d"utiliser des tests bas´es sur les approximations normales des moyennes empiriques.

En revanche lorsque les distributions ne peuvent pas ˆetre consid´er´ees comme normales, et en g´en´eral pour de

petites tailles d"´echantillons (<30), il est pr´ef´erable d"utiliser des tests dits non-param´etriques (distribution

free) qui ne font pas d"hypoth`ese sur la forme des distributions et consistent `a comparer l"ensemble des

distributions (les fonctions de r´epartition) ou les m´edianes (indice de position ou de valeur centrale) de ces

distributions.

La plupart de ces techniques se g´en´eralisent `a la comparaison de plus de deux distributions.

1.Variables qualitatives

Tests de comparaison de proportions

- Deux ´echantillons ind´ependants : Test du khi-deux d"homog´en´eit´e (cf Annexe, sectionB)

g´en´eralisation `a plus de 2 distributions : mˆeme test - Deux ´echantillons appari´es : Test du khi-deux de Mac-Nemar g´en´eralisation `a plus de 2 distributions : Test Q de Cochran

2.Variables quantitatives

*Lois normales : tests param´etriques, test de comparaison de deux moyennes (cf Annexe, sectionA) - Deux ´echantillons ind´ependants : Test de Student (cf Annexe, sectionA.1) g´en´eralisation `a plus de 2 distributions (moyennes) : Test d"ANOVA `a un facteur - Deux ´echantillons appari´es : Test de Student (cf Annexe, sectionA.3)

g´en´eralisation `a plus de 2 distributions (moyennes) : Test d"ANOVA `a un facteur avec mesures

r´ep´et´ees

*Grands ´echantillons : tests param´etriques, test de comparaison de deux moyennes (cf Annexe, section

A) - Deux ´echantillons ind´ependants : Test normal (cf Annexe, sectionA.2) g´en´eralisation `a plus de 2 distributions (moyennes) : Test d"ANOVA `a un facteur - Deux ´echantillons appari´es : Test normal (cf Annexe, sectionA.3)

g´en´eralisation `a plus de 2 distributions (moyennes) : Test d"ANOVA `a un facteur avec mesures

r´ep´et´ees Conditions d"application des tests param´etriques (cf Annexe, sectionA.4) :

- ad´equation `a la loi normale : Test de Kolmogorov-Smirnov, Test de Lilliefors, Test de Shapiro-

Wilk, droite de Henry

- ´egalit´e de deux variances : Test de Fisher (rapport des variances)

- homog´en´eit´e des variances : Test de Bartlett (g´en´eralisation du test de Fisher), Test de Levene,

Test de Brown-Forsythe, Test de Hartley, Test de Cochran * Petits ´echantillons : tests non-param´etriques - Deux ´echantillons ind´ependants : Test de Wilcoxon Mann-Whitney (cf chapitre 2, section 2) g´en´eralisation `a plus de 2 distributions : Test d"ANOVA `a un facteur de Kruskal et Wallis

- Deux ´echantillons appari´es : Test des signes (cf chapitre 2, section 3.3), Test de Wilcoxon ou

test des signes et rangs (cf chapitre 2, section 3.4)

g´en´eralisation `a plus de 2 distributions : Test d"ANOVA de Friedman, coefficient de concordance

de Kendall 1

Tests non param´etriques

1 Tests non param´etriques bas´es sur les rangs

Les tests non param´etriques de (Wilcoxon) Mann-Whitney et de Wilcoxon (ou"signes et rangs") sont

bas´es sur les rangs des observations, par ordre croissant (de la plus petite `a la plus grande valeur).

Ces tests n´ecessitent seulement de savoir ordonner les individus les uns par rapport aux autres (on n"a pas

besoin des valeurs pr´ecises de la variable ´etudi´ee).

Rang :place occup´ee par une valeur dans la suite ordonn´ee en ordre croissant (de la plus petite `a la plus

grande valeur). - exemple pourn= 6 observations de la variableX: x i30 12 41 27 20 32 rang(xi)4 1 6 3 2 5 les rangs vont de 1 `a 6.

Propri´et´es des rangs

Dans un ´echantillon denvaleurs, les rangs vont de 1 `an. La sommeSde tous les rangs ne d´epend que den:S=n×(n+ 1)2 - calcul deSpourn= 6 :

S = 1 +2 +3 +4 +5 +6

S = 6 +5 +4 +3 +2 +12 S = 7 +7 +7 +7 +7 +7 = 6×7doncS=6×72 = 21. - mˆeme raisonnement pourn:

S = 1 +2 ... +n

S =n+(n-1) ... +12 S =n+ 1 +(n+ 1) ... +(n+ 1)

=n(n+ 1)doncS=n×(n+ 1)2

Traitement des ex aequo

En cas d"ex aequo, on attribue le rang moyen c"est `a dire la moyenne des rangs qu"ils auraient eu s"ils avaient

´et´e cons´ecutifs.

- exemple : ex aequo sur les rangs 1 et 2 : rang moyen 1+22 = 1,5xi14 22 14 37 rang(xi)1,5 3 1,5 4

S=4×52

= 10 - exemple : ex aequo sur les rangs 2 et 3 : rang moyen 2+32 = 2,5 et sur les rangs 4, 5 et 6 : rang moyen

4+5+63

= 5 x i12 21 37 21 37 37 rang(xi)1 2,5 5 2,5 5 5

S=6×72

= 21 2

2 Comparaison de deux distributions sur deux ´echantillons ind´ependants

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

2.1 Contexte

On ´etudie deux populationsP1etP2et deux variables qui repr´esentent le mˆeme caract`ere, quantitatif de loi

continue. Elles sont not´ees :XdansP1etYdansP2.

On veut comparer les distributions deXet deY.

On dispose de deux´echantillons ind´ependants; cas le plus habituel : ils ont ´et´e obtenus par tirage au

sort dans deux populations diff´erentes. Exemple typed"utilisation de ce test : comparaison de l"efficacit´e de deux traitementsP

1={personnes sous traitementA}Xd´esigne le r´esultat avec le traitementA, et

P

2={personnes sous traitementB}Yrepr´esente le r´esultat avec le traitementB.

Exemple 1

Pour ´etudier l"efficacit´e d"un traitement contre la claustrophobie, 13 personnes atteintes de claustro-

phobie ont ´et´e r´eparties au hasard dans 2 groupes de 6 et 7 personnes.

Les personnes du premier groupe ont re¸cu un placebo et celles du second groupe le traitement. Apr`es

15 jours de traitement, on a ´evalu´e le degr´e de claustrophobie des 13 personnes

placebo5,2 5,3 5,6 6,3 7,7 8,1 traitement4,6 4,9 5,1 5,5 6,1 6,5 7,2 Peut-on au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le traitement est efficace?

Contexte :

P

1={personnes claustrophobes sous placebo}

P

2={personnes claustrophobes sous traitement}

X= degr´e de claustrophobie sous placebo, dansP1 Y= degr´e de claustrophobie sous traitement, dansP2 Les 2 variables mesurent le mˆeme caract`ere et sont quantitatives continues.

2.2 Hypoth`eses de test et risque

Sous l"hypoth`ese nulleH0, les variablesXetYsont distribu´es de la mˆeme mani`ere (les deux traitements

ont la mˆeme efficacit´e) H

0:XetYont la mˆeme loi ouH0:X≡Y

pour l"hypoth`ese alternativeH1, selon l"hypoth`ese de recherche envisag´ee, soit l"un des deux traitements est plus efficace que l"autre,alternative unilat´erale les valeurs deXpeuvent ˆetre globalement sup´erieures `a celles deY c-`a-d que la distribution deXest `a droite de celle deY H1:X?Y ou bienles valeurs deXpeuvent ˆetre globalement inf´erieures `a celles deY c-`a-d que la distribution deXest `a gauche de celle deY H1:X?Y soit les traitements ont des efficacit´es diff´erentes,alternative bilat´erale les valeurs deXsont globalement diff´erentes de celles deY XetYn"ont pas la mˆeme loi (sans orientation)H1:X?≡Y

Exemple 1

Hypoth`eses et risqueα= 5%

SousH0on suppose que traitement et placebo ont la mˆeme efficacit´e, les degr´es de claustrophobie sous

placeboXet sous traitementYsont globalement identiques.

Le traitement est efficace si les degr´es de claustrophobie sous traitementYsont inf´erieurs aux degr´es

sous placeboX:Y?XouX?Y.

D"o`u les hypoth`eses `a tester

?H0: les valeurs deXsont globalement ´egales `a celles deY H

1: les valeurs deXsont globalement sup´erieures `a celles deY

3 ou ?H0:XetYont la mˆeme distribution H

1: la distribution deXest `a droite de celle deY

Le test s"´ecrit de mani`ere ´equivalente?H0:X≡Y H

1:X?Ytest unilat´eral, au risqueα= 5%

2.3 Observations

On dispose de 2 ´echantillons tir´es au hasard de mani`ere ind´ependante dans les 2 populations. On note :

E

1l"´echantillon de taillen1issu deP1etxiles mesures deE1,

E

2l"´echantillon de taillen2issu deP2etyiles mesures deE2

nrepr´esente la taille totale des 2 ´echantillons:n=n1+n2Exemple 1 On dispose de 2 ´echantillons ind´ependants : E

1de taillen1= 6 issu deP1etE2de taillen2= 7 issu deP2.

Au total, nous avonsn= 6 + 7 = 13 individus.

E

1est appel´e "groupe t´emoin" etE2"groupe exp´erimental".

2.4 Analyse descriptive des donn´ees

Histogrammes et boˆıtes `a moustaches comparatifs des donn´ees observ´ees deXet deYpermettent de situer

les deux distributions l"une par rapport `a l"autre et de comparer visuellement indices de position (m´ediane)

et de dispersion (intervalle inter-quartiles).

Exemple 1

Les m´edianes observ´ees deXet deYvalent resp.mX= 5,95 (milieu entre 5,6 et 6,3) etmY= 5,5

(valeur observ´ee deYde rang 4) : elles sont proches (pour l"ensemble des 2 groupes la m´ediane observ´ee

vautm= 5,6 valeur observ´ee de (X,Y) de rang 7).

Cependant la dispersion observ´ee deXest plus grande que celle deYet la distribution observ´ee deX

est d´ecal´ee `a droite par rapport `a celle deY(valeurs deXglobalement plus grandes que celles deY) :

les degr´es de claustrophobie observ´es sont globalement plus ´elev´es sous placebo que sous traitement

(Figure 1). Il faut n´eanmoins faire un test pour confirmer ou infirmer la pr´esence de ce d´ecalage dans

les populations.

Fig.1 - Boˆıtes `a moustaches deXet deY4

2.5 Statistiques de test

On d´efinit tout d"abord les statistiques de Wilcoxon pour 2 ´echantillons ind´ependants not´eesWxetWypuis

les statistiques de Mann-Whitney not´eesUxetUyqui en d´ecoulent, d"utilisation plus simple. •PrincipeSousH0:XetYont la mˆeme loi, ouH0:X≡Y les deux ´echantillons ne forment qu"un seul ´echantillon tir´e d"une seule population.

Si on range par ordre croissant l"ensemble desnvaleurs (les 2 ´echantillons confondus) les rangs deXet

deYsont ´equivalents.

Exemple 1

Ici,n= 13 : les rangs dans l"interclassement de X et de Y, not´esrang(x,y) vont de 1 `a 13. x i5,2 5,3 5,6 6,3 7,7 8,1 rang(x,y)4 5 7 9 12 13w x= 50y i4,6 4,9 5,1 5,5 6,1 6,5 7,2 rang(x,y)1 2 3 6 8 10 11w y= 41

Remarques:

- En cas d"ex aequo, on leur attribue leur rang moyen. - On ne supprime jamais d"observations dans ce test. •Statistiques de WilcoxonW xetWypour 2 ´echantillons ind´ependants W x= somme des rangs deXetWy= somme des rangs deY W xetWysont des variables quantitatives discr`etes.

Propri´et´e:Wx+Wy=n(n+ 1)2

en effet, cette somme correspond `a celle de tous les rangs des individus, du 1eraun`eme, elle vaut donc

1 + 2 +...+n=n(n+1)2

Exemple 1

Statistiques de WilcoxonWxetWy

Les valeurs observ´ees sont

pourWx:wx= 4 + 5 + 7 + 9 + 12 + 13 = 50 pourWy:wy= 1 + 2 + 3 + 6 + 8 + 10 = 41 v´erification :n= 13, doncn×(n+1)2 =13×142 = 91.

Nous avonswx+wy= 50 + 41 = 91 doncwx+wy=n(n+1)2

Remarque:

les valeurs observ´ees deWxetWysont g´en´eralement des valeurs enti`eres, sauf en pr´esence d"ex aequo.

•Domaines de variation deWxetWy- Pour la statistiqueWx Au minimum: lesn1valeurs deXont les rangs les plus faibles, donc de 1 `an1(lesxiprennent lesn1 premi`eres places) alors :wx= 1 + 2 +...+n1=n1(n1+1)2

Au maximum: `a l"inverse, lesn1valeurs deXont les rangs les plus ´elev´es, et par cons´equent, lesyi

occupent les rangs les plus faibles donc de 1 `an2(lesyiprennent lesn2premi`eres places et lesxilesn1

derni`eres places) alors :wy=n2(n2+1)2 et au maximumwx=n(n+1)2 -n2(n2+1)2

Domaine de variationdeWx:?n1(n1+ 1)2

, ...,n(n+ 1)2 -n2(n2+ 1)2

Exemple 1

Pourn1= 6 etn2= 7 le minimum deWxvautn1(n1+1)2

=6×72 = 21 et le maximum deWxest

13×142

-7×82 = 91-28 = 63. W xvarie de 21 `a 63 : son domaine de variation (d´efinition) est{21,22,...,63}. 5 - Pour la statistiqueWy Un raisonnement identique pour les mesuresyinous conduit au domaine de variation deWy:?n

2(n2+1)2

, ...,n(n+1)2 -n1(n1+1)2

Exemple 1

Pourn1= 6 etn2= 7 le minimum deWyvautn2(n2+1)2

=7×82 = 28 et le maximum n(n+1)2 -n1(n1+1)2 = 91-21 = 70 doncWyvarie de 28 `a 70. Lorsquen1?=n2les statistiquesWxetWyont des domaines de variations diff´erents.

SousH0, elles n"ont donc pas tout `a fait la mˆeme distribution et ne jouent pas un rˆole sym´etrique, d"o`u

des difficult´es d"utilisation. Pour simplifier nous allons utiliser les statistiques de Mann-Whitney. •Statistiques de Mann-WhitneyU xetUy On se base surWxetWymais on fait en sorte que les domaines de variation deUxetUycommencent `a

0. On d´efinit :

U x=Wx-n1×(n1+ 1)2 etUy=Wy-n2×(n2+ 1)2 U xetUysont des variables quantitatives discr`etes.

Exemple 1

Statistiques de Mann-WhitneyUxetUy

Les valeurs observ´ees sont

pourUx:ux= 50-6×72 = 50-21 = 29 pourUy:uy= 41-7×82 = 41-28 = 13 Le domaine de variation deUxva de 21-21 = 0 jusqu"`a 63-21 = 42 qui est en fait ´egal `a n

1×n2= 6×7 = 42.

Le domaine de variation deUyva de 28-28 = 0 jusqu"`a 70-28 = 42 qui est aussi ´egal `an1×n2= 42.

•Domaine de variation deUxetUyU xetUyont le mˆeme domaine de variation :{0,1,...,n1×n2} -UxetWxvarient dans le mˆeme sens, de mˆemeUyetWy.

-UxetUyvarient en sens contraire de mani`ere `a ce que leur somme soit toujours constante, ´egale `a :

U x+Uy=n1×n2

Exemple 1

V´erification :ux+uy= 29 + 13 = 42 etn1×n2= 6×7 = 42, doncux+uy=n1×n2. •Interpr´etation deUxetUyU

xest le nombre de fois o`u une valeur deXest sup´erieure `a une valeur deY, ou le nombre de fois o`u un

rang deXest sup´erieur `a un rang deY. De mˆeme pourUy.

2.6 Lois des statistiques de Mann-Whitney sousH0et niveau de signification

du test

SousH0les statistiquesUxetUyont la mˆeme distribution, not´eeU, d´efinie sur{0,1,...,n1×n2}sym´etrique

autour de la moyenne (et milieu)n1×n22 donn´ees dans les tables de Mann-Whitney.

Puisqueux+uy=n1×n2on d´eduit queuxetuysont sym´etriques par rapport au milieu sur la distribution

On pourra ainsi trouver le niveau de significationαobsoup-valeur, soit en lisant directement les tables,

soit en utilisant au pr´ealable la sym´etrie de la distribution deU. 6

Exemple 1

Loi exacte des statistiques de Mann-Whitney sousH0

SousH0:X≡Y

-UxetUyont la mˆeme distribution, d´efinie sur{0,1,...,6×7 = 42}sym´etrique autour de la moyenne (et milieu) n1×n22 =422 = 21, repr´esent´ee par son diagramme en bˆatons (Figure 2).

- lesxiet lesyisont m´elang´es de mani`ere ´equilibr´ee donc les rangs faibles (forts) apparaissent en

quantit´es similaires dans les 2 ´echantillons. Alors les valeurs deUxetUysont proches, situ´ees pr`es du centre de la distribution.

Fig.2 - Diagramme en bˆatons de la loi deUsousH0pourn1= 6 etn2= 7R´egion critique et niveau de signification du test

SousH1:X?Yles valeurs deXoccupent des rangs ´elev´es ce qui implique de grandes valeurs de W

xet donc deUx, et `a l"oppos´e de petites valeurs deWyet donc deUy. La r´egion critique du test

RCest `a droite de la distribution deUx(`a gauche pourUy).

Si on choisit de travailler avecUx:

(cf table de Mann-Whitney) •R´egion critique et niveau de signification du testTest unilat´eral H H

Test bilat´eral

H o`uumin= min(ux,uy)

•Approximation normale des statistiques de Mann-Whitney sousH0Pour des tailles d"´echantillons suffisamment grandes (n1>8 oun2>8) la distribution deUsousH0est

approxim´ee par une loi normale de moyenneμ(U) =n1×n22 et de variancevar(U) =n1×n2×(n+ 1)12 o`un=n1+n2. La variable centr´ee et r´eduite :Z=U-μ(U)?var(U)=U-n1×n22? n

1×n2×(n+1)12

approx ≂ N(0,1) Si on choisit de travailler avecUxla valeur observ´ee deZ:zobs=ux-μ(U)⎷var(U)? =-uy-μ(U)⎷var(U)?

•R´egion critique et niveau de signification du testSi on choisit de travailler avecUx(dans le cas contraire, pourUyle signe deZet les in´egalit´es sont invers´es)

7

Test unilat´eral

H

1:X?Y RC`a droite pourUxet pourZ αobs=PH0[Ux≥ux]?PH0[Z≥zobs]

H

Test bilat´eral

H

1:X?≡Y RCaux 2 extr´emit´es deUxet deZ αobs?2×PH0[Z≥ |zobs|]

Exemple 1

Approximation normale sousH0

Si on approxime la loi deUpar la loi normale de moyenneμ(U) =n1n22 =6×42 = 21 et de variance var(U) =n1n2(n+1)12 =6×7×1412 = 49 la statistique de testZ=U-μ(U)⎷var(U)approx≂ N(0,1) On choisit de travailler avecUxdonc la valeur observ´ee deZ: z obs=ux-μ(U)⎷var(U)=29-21⎷49 =87 ?1,142857 R´egion critique et niveau de signification du test (cf Table de la loiN(0,1)).

2.7 D´ecision et conclusion

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