[PDF] Einige wichtige Beweismethoden





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Einige wichtige Beweismethoden

Einige wichtige Beweismethoden. (modifiziert nach wikibooks.org: Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik). Was ist ein Beweis?



Elementare Beweismethoden

24.04.2015 Bevor die verschiedenen Beweismethoden dargestellt und an Hand von Beispielen erklärt werden möchte ich zunächst einige Definitionen erläutern.



Beweise und Beweismethoden – ihre Bedeutung und Entwicklung

Struktur definierten Beweismethoden beschrieben. Der Fokus liegt aber auf der Geschichte des Beweisens in der Mathematik. Es handelt sich hauptsächlich um 



Logik und Beweismethoden I

Logik und Beweismethoden I. Anita Ullrich. ?. WS2017/18. Inhaltsverzeichnis. 1 Klassische Aussagenlogik. 2. 1.1 Aussagen und Wahrheitswerte .



Beweismethoden II

Beweismethoden II. Aufgabe 1. Sei n ? N eine natürliche Zahl. Betrachten Sie die Summe der ersten n ungeraden Zahlen das heißt die Summe. 1+3+5+ .



2 Beweismethoden

2 Beweismethoden. Definition 2.2. Eine natürliche Zahl größer eins die nur die trivialen Teiler be- sitzt



Beweismethoden

Beweismethoden. Definitionen (7.0). - Annahme (=Hypothese): Aussage von der man annimmt



A Beweismethoden

Grundbegriffe der Aussagenlogik: • Implikation (Folgerung): A ? B. Umkehrung (Kehrsatz):. B ? A. Inversion: nicht A ? nicht B. Kontraposition:.



2 Beweismethoden

2 Beweismethoden. Definition 2.2. Eine natürliche Zahl größer eins die nur die trivialen Teiler be- sitzt



1 Logik und Beweismethoden

Kapitel 1 – Logik und Beweismethoden. 1.1 Aussagenlogik. Je mehr Käse desto mehr Löcher. Je mehr Löcher

Einige wichtige Beweismethoden

(modiziert nach wikibooks.org: Mathe fur Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik) Was ist ein Beweis?Beweise sind fehlerfreie Herleitungen mathematischer S atze aus Axiomen und bereits bewiesenen Aus-

sagen. Sie bestehen aus endlich vielen Teilschritten, wobei bei jedem Teilschritt streng logisch eine neue

Aussage aus den vorhergehenden Aussagen geschlossen wird. Beweise spielen damit eine sehr wichtige Rolle

in der Mathematik, denn jeder neuer Satz einer Theorie muss durch einen Beweis begr undet werden. Satze zu beweisen ist damit eine der Hauptaufgaben (wenn nicht die Hauptaufgabe) eines Mathematikers. Wie ist ein Beweis aufgebaut? Am Anfang eines Beweises stehen seine Pr amissen. Dies sind Aussagen, die entweder Axiome der Theorie, bereits bewiesene S atze oder Voraussetzungen des zu beweisenden Satzes

sind. Dabei kommt es auf die Art des Satzes an, wie die einzelnen Voraussetzungen des Satzes konkret ausse-

hen. Aus diesen Pr amissen werden nun durch logische Schlussfolgerungen weitere Aussagen hergeleitet, aus

denen wiederum durch logische Schlussfolgerungen neue Aussagen hergeleitet werden, usw. Am Ende dieser

Herleitungen steht die zu beweisende Aussage. Durch einen solchen Beweis (der in der rechten Abbildung

skizziert ist) hat man nun folgende Aussage bewiesen: ) Wie k onnen logische Schlussfolgerungen aussehen? Stell dir vor, du hast bereits die Implikation"Wenn A,

dann B\ als Satz in deiner Theorie bewiesen oder es ist ein Axiom deiner Theorie oder eine Tautologie. Stell

dir auerdem vor, du hast die Aussage A bereits hergeleitet oder sie ist eine Pr amisse deines Beweises. Da

nun sowohl die Aussage A als auch die Aussage"Wenn A, dann B\ gilt, kannst du dir aus beiden Aussagen

die Aussage B logisch erschlieen und deinem Beweis hinzuf ugen.

Neben Implikationen k

onnen auchAquivalenzen zur logischen Schlussfolgerung herangezogen werden. Denn wenn eineAquivalenzA,Bgilt, so gilt sowohl die ImplikationA)Bals auch die Implikation B)A, die fur logische Schlussfolgerungen nach dem obigen Prinzip verwendet werden konnen.

Das Ende eines Beweises wird oft durch

"q.e.d.\ gekront. Dies steht fur"quod erat demonstrandum\ und bedeutet soviel wie"was zu beweisen war\. Auch das Symbolist als Markierung fur ein Beweisende verbreitet.

Direkter Beweis:

Beim direktem Beweis wird der zu beweisende SatzSdirekt bewiesen. Dies bedeutet, dass man mit den

Voraussetzungen vonSbeginnt und aus diesen die zu beweisende Aussage direkt durch logische Schlussfol-

gerungen herleitet. Ein direkter Beweis nimmt also folgende Form an: Pr amissen und Voraussetzungen von S)Konklusion von S

Betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen den Satz

"Die Summe 3er aufeinander folgender naturlicher Zahlen ist durch 3 teilbar.\ beweisen. Dieser Satz l asst sich folgendermaen als Implikation formulieren: \Wennn eine nat urliche Zahl ist, dann istn+ (n+ 1) + (n+ 2) durch 3 teilbar.\. In dieser Implikation ist"n ist eine nat urliche Zahl\ die Pramisse und"n+ (n+ 1) + (n+ 2) ist durch 3 teilbar\ die Konklusion. Ein direkter

Beweis h

atte also folgende Form: n ist eine nat urliche Zahl.)n+ (n+ 1) + (n+ 2) ist durch 3 teilbar.

Ein solcher Beweis k

onnte in Flietext so aussehen (Implikationen der logischen Schlussfolgerungen sind orange): Sei n eine naturliche Zahl. Es istn+ (n+ 1) + (n+ 2) = 3n+ 3 = 3(n+ 1). Da mitnauchn+ 1 eine nat urliche Zahl ist, ist 3(n+ 1) durch 3 teilbar.\

Wie sehen hier die benutzten Pr

amissen und Implikationen aus? Schreiben Sie den Beweis ausf uhrlich auf! Beweis durch KontrapositionDie Kontraposition ist eine Beweismethode, die f ur Beweise von Implikationen der FormA)Bverwendet werden kann. Diese Beweismethode basiert auf der Tautologie (A)B),(:B) :A). Dies bedeutet, dass A)Bdann und nur dann wahr ist, wenn:B) :Awahr ist. Wenn wir also einen Satz der Form A)Bbeweisen wollen, konnen wir alternativ auch die Aussage:B) :Abeweisen. Beim Beweis durch

Kontraposition macht man genau dies.

Um also Kontraposition erfolgreich anwenden zu k

onnen, muss man die zu beweisenden Aussagen richtig negieren. Das erfordert ein wenigUbung.

Beispiel: Als Beispiel wollen wir folgenden Satz mit Hilfe der Kontraposition beweisen:"Fur alle naturli-

chen Zahlen gilt: Istn2gerade, dann istngerade.\

Dieser Satz hat die Form einer ImplikationA)Bmit:

n

2ist gerade|{z}

=A)nist gerade|{z} =B

Um diesen Satz durch Kontraposition beweisen zu k

onnen, mussen wir erst einmal die Aussage:B) :A, also die Negation der Aussagen A und B formulieren: :A=:n2ist gerade=n2ist ungerade:B=:(nist gerade) =nist ungerade

Damit erhalten wir f

ur:B) :A: (nist ungerade))n2ist ungerade als die gesuchte Kontraposition, die wir an Stelle vonA)Bbeweisen konnen. Beweis: Seineine naturliche Zahl und ungerade. Wir mussen nun zeigen, dassn2ungerade ist. Dan ungerade ist, gibt es eine nat urliche Zahlk0 mitn= 2k+ 1. Damit ist n

2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 22k2+ 2k

|{z} =:m+1 = 2m+ 1:

Also ist n eine ungerade Zahl.

Machen Sie sich das Beweisprinzip klar. Warum kann man stattA)Bauch:B) :A beweisen?

Widerspruchsbeweis oder indirekter Beweis:Anstatt einen mathematischen Satz S direkt zu beweisen, kann man seine Negation:Sdurch logische

Schlussfolgerungen zu einem Widerspruch f

uhren.:Snennt man Widerspruchsannahme. Ein Widerspruchs- beweis hat also folgende Form:

Widerspruchsannahme:Slog. Schlusse)Widerspruch

Um einen Widerspruchsbeweis erfolgreich durchzuf

uhren, muss man zunachst den zu beweisenden Satz S richtig negieren. Doch wieso haben wir den Satz S bewiesen, wenn wir die Widerspruchsannahme:Szu einem Widerspruch gef uhrt haben? Wenn man die Widerspruchsannahme:Szu einem Widerspruch gefuhrt hat, so weit man, dass:Simmer falsch sein muss. Damit ist die doppelte Verneinung::SvonSwahr.

Da::S,Seine Tautologie ist, ist::Sdann und nur dann wahr, wennSwahr ist (siehe Denition derAquivalenz). Damit muss aberSwahr sein. Genau dies ist zu zeigen, wenn wir den Satz S beweisen wollen.

Betrachten wir ein Beispiel, einen der ber

uhmtesten undaltesten bekannten Widerspruchsbeweise, der auf Euklid zur uckgeht: Der Beweis der Irrationalitat von Wurzel aus 2. Die Aussage lasst sich beispielsweise so formalisieren: F ur allex2Qgilt:x26= 2

Zur Durchf

uhrung des Beweises per Widerspruch formulieren wir zunachst die Widerspruchsannahme:S:

Es gibt einx2Qmitx2= 2

Diese Aussage f

uhren wir nun zu einem Widerspruch: Angenommen,:Sgilt, d.h., es gibt einx2Qmit x

2= 2. Dann konnen wirxalsvollstandig gekurztenBruch schreiben; es gibt also teilerfremde naturliche

Zahlenp;qmit

(pq )2= 2

. Es gilt alsop2= 2q2.p2ist also gerade; damit ist (s. das Beispiel fur die Kontraposition) auchpgerade.

Insbesondere l

asst sichpschreiben alsp= 2r, wobeireine naturliche Zahl ist. Wegenp2= 2q2folgt daraus

4r2= 2q2;also 2r2=q2:

Also ist auchq2eine gerade Zahl, also (mit derselben Argumentation wie furp) auchqgerade.pundqhaben also den gemeinsamen Teiler 2. Der Bruch pq ist alsonicht vollstandig gekurzt, war aber als vollstandig gekurzt gw

ahlt { ein Widerspruch. Die Aussage:Sfuhrt also auf einen Widerspruch; sie kann also nicht wahr sein,

und damit muss die AussageSgelten. Machen Sie sich wieder klar: Wie sehen hier die benutzten Pr amissen und Implikationen aus? Schreiben Sie den Beweis ausf uhrlich auf!

Beweis per (vollst

andiger) Fallunterscheidung:Bei vollst andiger Fallunterscheidung wird der Beweis in eine endliche Anzahl von Fallen F1;F2; :::Fn aufgeteilt. F ur jeden der Falle wird die zu beweisende Aussage unter zusatzlicher Annahme der Fallbedingung F

kbewiesen; das macht den Beweis manchmal leichter. Ein Beweis durch vollstandige Fallunterscheidung hat

damit folgende Form: Pr amissen, F1log. Schl usse)zu beweisende Aussage;Pramissen, F2log. Schl usse)zu beweisende Aussage; :::;Pramissen, Fn1log. Schl usse)zu beweisende Aussage;Pramissen, Fnlog. Schl usse)zu beweisende Aussage:

Dabei muss sichergestellt sein, dass unter den Pr

amissen des Satzes mindestens einer der Falle F1;F2; :::Fn eintritt (Deswegen das Wort"vollstandig\ im Namen). Beispiel: Als Beispiel beweisen wir folgenden Satz mit Hilfe vollst andiger Fallunterscheidung: Ist p eine Primzahl ungleich 2, dann gibt eine naturliche Zahl k mitp= 4k+ 1 oderp= 4k+ 3:\

Wir werden folgende vier F

alle unterscheiden: Es gibt eine naturliche Zahlkmit... F

1:p= 4k;F2:p= 4k+ 1

F

3:p= 4k+ 2 F4:p= 4k+ 3

Da p eine nat

urliche Zahl ist (nur naturliche Zahlen konnen per Denition Primzahlen sein), muss einer der obigen vier F alle auftreten. Unsere Fallunterscheidung ist damit vollstandig. Betrachten wir nun die vier Falle:

Fall 1:p= 4k. p ist durch 4 teilbar und damit keine Primzahl. Somit ist die Pramisse der zu beweisenden

Implikation falsch und damit die gesamte Implikation wahr. Fall 2:p= 4k+1. Die Konklusion der zu beweisenden Implikation und damit die gesamte Implikation ist wahr. Fall 3:p= 4k+2. Es istp= 4k+2 = 2(2k+1):Damit ist p durch 2 teilbar. Da nach Voraussetzung der

zu beweisenden Implikationp6= 2 ist, kann p keine Primzahl sein. Somit ist die Pramisse der zu beweisenden

Implikation falsch und damit die gesamte Implikation wahr. Fall 4:p= 4k+3. Die Konklusion der zu beweisenden Implikation und damit die gesamte Implikation ist wahr.

In jeden der F

alle konnten wir beweisen, dass unter der Bedingung der jeweiligen Fallunterscheidung die zu beweisende Implikation wahr ist. Da unsere Fallunterscheidung vollst andig ist, ist die zu beweisende Im- plikation unabh angig von jeweiligen Fall wahr.

Machen Sie sich die benutzten Pr

amissen und Implikationen in den einzelnen Fallen klar. Warum ist die zu beweisende Aussage in Fall 1 und 3 wahr, obwohl die Pr amisse nicht erfullt ist?quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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