[PDF] Beweismethoden II Beweismethoden II. Aufgabe 1. Sei

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Vorkurs Mathematik WS 2017/18 10.

UbungsblattBeweismethoden II

Aufgabe 1

Sein2Neine naturliche Zahl. Betrachten Sie die Summe der erstennungeraden Zahlen, das heit die Summe

1 + 3 + 5 +:::+ (2n1):

Berechnen Sie die Summe f

ur einige naturliche Zahlenn. Erkennen Sie eine Regelmaig- keit? Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese. Aufgabe 2 (a)Wie viele Faltkanten entstehen (theoretisch), wenn man einen rechte- ckigen Papierstreifennmal (immer wieder in der Mitte parallel zur kurzen Seite) faltet? (b)Und wie gro kannnin der Praxis tatsachlich werden, wenn der Streifen ca.1m lang und ca.0:2mm dick ist?

Aufgabe 3

Was geht schief bei folgendem Induktionsbeweis?Satz.Alle naturlichen Zahlen sind gleich. Beweis.Wir zeigen Folgendes: Falls fur eine naturliche Zahl mgilt maxfa;bg=m, dann folgta=b, wobeiaundb nat urliche Zahlen sind. Aus dieser Behauptung folgt dann oenbar die Aussage unseres Satzes. Wir f uhren einen Induktionsbeweisubermdurch. Induktionsanfang:Es seim= 1. Also ist maxfa;bg= 1. Dies impliziert, dassa=b= 1, weilaundbnaturliche Zahlen sind.

Induktionsvoraussetzung:Fur ein gegebenesmsei die

Behauptung schon bewiesen.

Induktionsschritt:Wir nehmen an, dass maxfa;bg=m+1.

Daraus folgt, dass maxfa1;b1g=m. Nach der Induk-

tionsvoraussetzung gilt alsoa1 =b1. Wenn wir nun zu beiden Seiten dieser Gleichung 1 addieren, so erhalten wir a=b.Aufgabe 4

Zeigen Sie f

ur alle naturlichen Zahlenndie Gleichung n X r=1r 3= nX r=1r! 2

Vorkurs Mathematik WS 2017/18 10.

UbungsblattAufgabe 5

Es seienx1= 0;x2= 1 und furn2 seixn=12

(xn1+xn2). Beweisen Sie, dass x n=2n1+ (1)n32n2 f ur allen2Ngilt.

Hinweis. W

ahlen Sie eine gute Induktionsvoraussetzung.

Aufgabe 6

Beweisen Sie, das f

ur jede Anzahlkauer 2, 3 oder 5 ein Quadrat in genauknichtuber- lappende Teilquadrate zerlegt werden kann (welche unterschiedlich gro sein d urfen).

Aufgabe 7

In wie viele Teilgebiete kann eine Ebene durchnGeradenmaximalzerlegt werden?

Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Aufgabe 8

Bestimmen Sie diemaximaleAnzahl der Gebiete, in die eine Kreisscheibe zerlegt wird, wenn man zwischennPunkten auf ihrem Rand alle paarweisen Verbindungsstrecken einzeichnet. Hinweis.Bestimmen Sie diese Anzahl zunachst furn= 2;3;4;5 und stellen Sie eine

Vermutung auf. Bestimmen Sie sie auch f

urn= 6. Finden Sie eine allgemeine Formel und beweisen Sie diese.quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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