Th´eorie des distributions
20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
Th´eorie des distributions
16 oct. 2018 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
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15 sept. 2020 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
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´ee Ann´ee scolaire 2020-2021
Formation Ing
´enieurs MACSTh´eorie des distributions
H. Boumaza, T. Duyckaerts, E. Schenck
Le 15 septembre 2020
page iiBibliographie
[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] J. Faraut, Calcul int´egral, 2006, EDP Sciences. [4] F .Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier,´equations aux d´eriv´ees par- tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf [5] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [6] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [7] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [8]C. Zuily ,
´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,Dunod.
iii page ivTable des mati`eres
1 Quelques rappels sur les fonctions int´egrables 1
1.1 Th
´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Int
´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.4 Th
´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.5 Th
´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Introduction `a la th´eorie des distributions 9
2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.2 Notion de d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113 Fonctions test13
3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133.2 Formule de Taylor avec reste int
´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
3.3.1 Support d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153.3.3 Formule d"int
´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163.3.4 Topologie deC¥K(W)et deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
3.3.5 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173.4 Densit
´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203.4.3 R
´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.5 Application : Lemme de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244 Distributions sur un ouvert deRd25
4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254.1.1 D
´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254.1.2 D
´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274.2.1 Distribution associ
´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284.2.3 Distribution de Dirac d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294.2.6 La valeur principale de
1x 304.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
v4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
4.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335 Op´erations sur les distributions 35
5.1 Majoration de la norme d"un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355.2 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
5.3 Les
´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 5.4 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.5 L"
´equationT0=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.6 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426 Support d"une distribution 45
6.1 Partitions de l"unit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456.2 Restriction
`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
476.4 Distributions
`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.5 Distributions
`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .517 Transformation de Fourier 53
7.1 La transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
7.1.1 L"espace de SchwartzS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
7.1.2 Transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
7.1.3 Formule d"inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577.1.4 Th
´eor`eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .587.1.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
587.2 L"espaceS0(Rd)des distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
7.3 Transformation de Fourier dansS0(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
7.3.1 D
´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .627.3.2 Retour sur la transformation de Fourier dansL1et dansL2. . . . . . . . .64
7.3.3 Transform
´ee de Fourier des distributions`a support compact . . . . . . . .657.3.4 Convolution des distributions temp
´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .658 Exemples d"´equations aux d´eriv´ees partielles 67
8.1 ´Etude d"une´equation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678.1.1 R
´esolution de l"´equation par la transformation de Fourier . . . . . . . . .678.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
698.3 Introduction rapide
`a l"´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .708.3.1 Calcul formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
718.3.2 Solution au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
728.3.3 Noyau de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74A Mesure et int´egrale de Lebesgue 77
A.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 A.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.2 Espaces mesur
´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .79A.2 Int
´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80B Quelques notations 83page vi
Chapitre 1
Quelques rappels sur les fonctions
int´egrablesCe chapitre rappelle les r
´esulats de th´eorie de l"int´egration surRdque nous utiliserons syst´ematiquement. Le cadre g´en´eral est celui de l"int´egrale de Lebesgue surRd, qui est sup-
pos ´ee connue, ainsi que les notions d"espaces mesur´es, de mesure, d"ensemble et de fonction mesurables. On renvoie le lecteur qui voudra r ´eviser ces notions`a l"appendice A et`a [3, 6]. Les notations sont celles de l"appendice A. En particulier,L1(W)d´esigne l"espace vectoriel des fonctions int´egrables surW.
Les preuves sont omises. Le lecteur pourra consulter [3, 6].1.1 Th´eor`eme de convergence domin´ee
Nous pr
´esentons le th´eor`eme de convergence domin´ee ouTCDen abr´eg´e. Ce th´eor`eme affirme
queRlimn!+¥fn=limn!+¥Rfnlorsque(fn)n2Nest une suite simplement convergente de fonctions int ´egrables domin´ee par une fonction positive int´egrablegau sens suivant :jfnj g pour toutn. Le fait qu"il suffise d"avoir une convergence simple de la suite(fn)n2Nversfest un grand progr`es par rapport aux´enonc´es qui peuventˆetre rencontr´es dans le cadre de l"int´egrale
de Riemann. D"une mani `ere g´en´erale, le th´eor`eme de convergence domin´ee est, comme nous le verrons, d"une grande utilit´e pratique.
Th´eor`eme 1.1.1(Th´eor`eme de convergence domin´ee).Soit(fn:Rd!C)n2Nune suite de fonctions int´egrables. On suppose que (i) il exist eune fonction f :Rd!Ctelle que la suite(fn)n2Nconverge simplement vers f presque partout surRd; (ii) il exis teune fonction g :Rd![0,+¥[int´egrable telle que, pour tout n2N,jfnj g presque partout surRd. Alors la fonction f est int´egrable surRdet on a limquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] Support de cours Dreamweaver - ACTIV Formations
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