[PDF] Th´eorie des distributions 15 sept. 2020 [1] J.





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20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse



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Th´eorie des distributions

15 sept. 2020 [1] J.M. Bony Cours d'analyse

Th´eorie des distributions

U.S.P.N - Sup Galil

´ee Ann´ee scolaire 2020-2021

Formation Ing

´enieurs MACSTh´eorie des distributions

H. Boumaza, T. Duyckaerts, E. Schenck

Le 15 septembre 2020

page ii

Bibliographie

[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] J. Faraut, Calcul int´egral, 2006, EDP Sciences. [4] F .Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier,´equations aux d´eriv´ees par- tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf [5] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [6] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [7] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [8]

C. Zuily ,

´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,

Dunod.

iii page iv

Table des mati`eres

1 Quelques rappels sur les fonctions int´egrables 1

1.1 Th

´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 Int

´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.4 Th

´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.5 Th

´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2 Introduction `a la th´eorie des distributions 9

2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2 Notion de d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Fonctions test13

3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2 Formule de Taylor avec reste int

´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.3.1 Support d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3.3 Formule d"int

´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3.3.4 Topologie deC¥K(W)et deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3.3.5 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.4 Densit

´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.4.3 R

´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.5 Application : Lemme de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 Distributions sur un ouvert deRd25

4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4.1.1 D

´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4.1.2 D

´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

4.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.2.1 Distribution associ

´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2.3 Distribution de Dirac d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

4.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2.6 La valeur principale de

1x 30

4.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

v

4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

4.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5 Op´erations sur les distributions 35

5.1 Majoration de la norme d"un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

5.3 Les

´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 5.4 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.5 L"

´equationT0=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

5.6 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6 Support d"une distribution 45

6.1 Partitions de l"unit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

6.2 Restriction

`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

6.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

6.4 Distributions

`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

6.5 Distributions

`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

7 Transformation de Fourier 53

7.1 La transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

7.1.1 L"espace de SchwartzS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

7.1.2 Transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

7.1.3 Formule d"inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.1.4 Th

´eor`eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

7.1.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

7.2 L"espaceS0(Rd)des distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

7.3 Transformation de Fourier dansS0(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.3.1 D

´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.3.2 Retour sur la transformation de Fourier dansL1et dansL2. . . . . . . . .64

7.3.3 Transform

´ee de Fourier des distributions`a support compact . . . . . . . .65

7.3.4 Convolution des distributions temp

´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

8 Exemples d"´equations aux d´eriv´ees partielles 67

8.1 ´Etude d"une´equation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

8.1.1 R

´esolution de l"´equation par la transformation de Fourier . . . . . . . . .67

8.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

8.3 Introduction rapide

`a l"´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.3.1 Calcul formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

8.3.2 Solution au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

8.3.3 Noyau de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

A Mesure et int´egrale de Lebesgue 77

A.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 A.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1.2 Espaces mesur

´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .79

A.2 Int

´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

B Quelques notations 83page vi

Chapitre 1

Quelques rappels sur les fonctions

int´egrables

Ce chapitre rappelle les r

´esulats de th´eorie de l"int´egration surRdque nous utiliserons syst

´ematiquement. Le cadre g´en´eral est celui de l"int´egrale de Lebesgue surRd, qui est sup-

pos ´ee connue, ainsi que les notions d"espaces mesur´es, de mesure, d"ensemble et de fonction mesurables. On renvoie le lecteur qui voudra r ´eviser ces notions`a l"appendice A et`a [3, 6]. Les notations sont celles de l"appendice A. En particulier,L1(W)d´esigne l"espace vectoriel des fonctions int

´egrables surW.

Les preuves sont omises. Le lecteur pourra consulter [3, 6].

1.1 Th´eor`eme de convergence domin´ee

Nous pr

´esentons le th´eor`eme de convergence domin´ee ouTCDen abr´eg´e. Ce th´eor`eme affirme

queRlimn!+¥fn=limn!+¥Rfnlorsque(fn)n2Nest une suite simplement convergente de fonctions int ´egrables domin´ee par une fonction positive int´egrablegau sens suivant :jfnj g pour toutn. Le fait qu"il suffise d"avoir une convergence simple de la suite(fn)n2Nversfest un grand progr

`es par rapport aux´enonc´es qui peuventˆetre rencontr´es dans le cadre de l"int´egrale

de Riemann. D"une mani `ere g´en´erale, le th´eor`eme de convergence domin´ee est, comme nous le verrons, d"une grande utilit

´e pratique.

Th´eor`eme 1.1.1(Th´eor`eme de convergence domin´ee).Soit(fn:Rd!C)n2Nune suite de fonctions int´egrables. On suppose que (i) il exist eune fonction f :Rd!Ctelle que la suite(fn)n2Nconverge simplement vers f presque partout surRd; (ii) il exis teune fonction g :Rd![0,+¥[int´egrable telle que, pour tout n2N,jfnj g presque partout surRd. Alors la fonction f est int´egrable surRdet on a limquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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