Th´eorie des distributions
20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
Th´eorie des distributions
16 oct. 2018 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
Une introduction à la théorie des distributions (Deuxième Partie)
Cette deuxième partie du cours de la théorie des distributions complète dgune produit tensoriel le produit de convolution des distributions et on ...
INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS
INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS. 1 Fonctions tests. DÉFINITION 1.1 : Espace des fonctions tests. Soit ? un espace topologique.
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THEORIE DES DISTRIBUTIONS. A VALEURS VECTORIELLES (*) par Laurent SCHWARTZ. INTRODUCTION. Le présent ouvrage étend aux distributions à valeurs vecto-.
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Th´eorie des distributions
15 sept. 2020 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS
1 Fonctions tests
DÉFINITION1.1 : Espace des fonctions tests
SoitΩun espace topologique. L"espace des fonctions tests?(Ω)est l"ensemble des fonctions?+∞sur
Ωà support compact inclus dansΩ.
2 Distributions
Remarque :on utilisera la notation T pour les distributions et?T,??qui signifie que l"on applique T à?
(équivalent à T(?)).DÉFINITION2.2 : Distributions
Une distribution est uneforme linéaire continuesur?(Ω). L"ensemble des distributions est donc le
dual topologique de?(Ω)on le note donc??(Ω).Le terme deforme linéairen"est pas particulier. Par contre, la notion decontinuitéest particulière :
?Kcompact?Ω,?Ck>0,?mk>0,??? ?(Ω),|?T,??|?Cksupα|?mksup
x?Ω|∂α?(x)| Remarque :On utiliseα=(α1, ...,αn)?Nn,|α|=n? k=1α3 Exemple de distributions
3.1 Les fonctionL1loc
DÉFINITION3.3 : Fonctions localements intégrables Une fonctionf L1loc(Ω)est une fonction intégrable sur un compact inclu dansΩ.PROPRIÉTÉ3.1 : Les fonctionsL1loc
Soitfune fonctionL1loc(Ω), alors l"application : T f:?(Ω)-→C f(x)?(x)dx est unedistribution.Preuve 1 :La démonstration de la linéairité est immédiate. Reste à montrer la continuité.
Soit Kun compact inclu dansΩ, et?une fonction?∞à support dansK. On aTf,?=?
f(x)?(x)dx=? K f(x)?(x)dx 1On a alors :Tf,???
K |f(x)?(x)|dx?sup x?Ω|?(x)|? K |f(x)|dxAinsi, avecCk=?
K |f(x)|dxetmk=0, on vérifie la continuité de?Tf,??.Remarque :Pour(f,g)?L1loc(Ω)2telles que
f=g presque partout alors T f=TgRemarque :Tf=Tg?f=g presque partout
3.2 La masse de DIRAC
DÉFINITION3.4 : La masse de DIRAC
Soita?R, alors la masse de DIRACest définie par : a:a-→C ??-→?(a) Preuve 2 :La preuve de la continuité est assez aisée :|δa|=|?(a)|?supx?R|?(x)|4 Dérivation au sens des distributions
PROPRIÉTÉ4.2 : Dérivation
SoitT? ??(Ω). L"application :
∂T ∂xi:?(Ω)-→C ??-→ -?T,∂ ?∂xi? est une distribution.Preuve 3 :La preuve de la linéarité ne pose pas de problème. Démontronsque c"est une application
continue. Soit Kun compact et?une fonction?∞telle que supp(?)?K. On a :Tdistribution? ?Ck,?mk,|?T,??|?Cksup
α|?mksup
x?Ω|∂α?(x)|Puisque?est?∞alors on a :
??T,∂ ? ∂xi?????? ?Cksupα|?mksup
x?Ω|∂α?(x)| 2 PROPRIÉTÉ4.3 : Liens dérivation usuelle et dérivation au sens des distributionsSoitf? ?1(Ω), on a :
∂Tf ∂xi=T∂f∂xi Preuve 4 :On se restreint ici à la dimension 1. Soitf? ?1(R)et?? ?(R). On a, par définition : (Tf)?,?=-Tf,?? i.e. :(Tf)?,?=-Tf,??=-?Rf(x)??(x)dx
Par IPP, on a :(Tf)?,?=-[f(x)?(x)]+∞
Rf?(x)?(x)dx
Or puisque?est à support compact, on a :
(Tf)?,?=?Rf?(x)?(x)dx=Tf?,?
35 Quelques propriétés, définitions
PROPRIÉTÉ5.4 :
Soitfune fonction?∞telle que :
?x?Rn,f(x)?=0.Alors pourT? ??(R):
f T=0?T=0. PROPRIÉTÉ5.5 : Division dans l"ensemble des distributions ÊLes distributionsT? ??(R)solutions de l"équation : (x-a)T=0 sont de la formeT=kδaoùkest une constante réelle. ËLes distributionsT? ??(R)solutions de l"équation : (x-a)2T=0 sont de la formeT=k1δa+k2δ? aoùk1etk2sont deux constantes réelles.DÉFINITION5.5 : Valeur principale
On définit lavaleur principale de xcomme étant la dérivée au sens des distribution dex?-→log|x|. On
la note vp"1 x" . On a, par définition : vp"1 x" =limε→0? |x|?ε?(x)xdx PROPRIÉTÉ5.6 : Distributions à dérivée nulle Les distributionsT? ??(R)telles queT?=0 sont les distributions associées auxfonctions constantes.6 Dérivation d"une fonction discontinue
THÉORÈME6.1 : Dérivation d"une fonction discontinue On considère une fonctionf?1(]-∞,a[)et?1([a,+∞[). On af?L1loc(R), et on l"indentifie à la distributionTf. Alors : (Tf)?=(f(a+)-f(a-))δa+T{f?} 4Preuve 5 :La preuve se fait par simples calculs :
?(Tf)?,??=-?Tf,??? f(x)??(x)dx a f(x)??(x)dx-? a f(x)?(x)?dx =-f(x)?(x)a-∞+? a f?(x)?(x)dx-f(x)?(x)+∞ a+? a f?(x)?(x)dx =(f(a+)-f(a-))?(a)+? {f?}(x)dxTHÉORÈME6.2 : Formule des sauts
Soitfune fonction?1par morceaux surR. Alors :
?(a1,...,an)?Rn,?i??1,n-1?,f|]ai,ai+1[? ?1(ai,ai+1)On pose{f?}(x)=f?(x)sur]ai,ai+1[. On a :
(Tf)?=n? i=1(f(a+ i)-f(a- i))δai+T{f?}7 Convergence d"une suite de distributions
DÉFINITION7.6 : Convergence de distributions
Soit(T)nune suite de distributions de??(Ω). On dit que(Tn)converge vers la distributionTlorsque : ??? ?(Ω),?Tn,??-→+∞?T,?? Exemple :Soitθ? ?(R), non nul sur[-1, 1], avecθ(0)=1,?x?R,θ(x)?0 et?θ(x)dx=1.
On poseθε(x)=1
εθxε, avecε>0.
On considère la suiteTθε. Soit?? ?(R), on a :Tθε,?=?
θε(x)?(x)dx
d"oùTθε,?=1
θ(xε)?(x)dx
Avecy=x
εon a :
Tθε,?=1?
θ(y)?(εy)dx
On vérifie alors les hypothèses du théorème de la convergencedominée : 5θ(y)?(εy)|?sup
y?R|?(y)||θ(y)|D"où, par convergence dominée :
Tθε,?--→ε→0#
θ(y)dy#
?(0) i.e.Tθε,?--→ε→0?δ0,??
THÉORÈME7.3 : Convergence de la dérivéeSoit(Tn)une suite de distributions qui converge vers une distributionT. Alors la suite ∂Tn∂xi
(ifixé) converge vers ∂T ∂xi.8 Support d"une distribution
Rappel :
SoitΩun ouvert deRn. On considèrefune fonction continue surΩ. Le support defest :Supp(f) =
{x?Ω;f(x)?=0} 6DÉFINITION8.7 : Vocabulaire
SoitT? ??(Ω)une distribution. On considèreωunouvertinclu dansΩtel que : T |ω=0???? ?(Ω),Supp(?)?ω,?T,??=0On définit :
T=ωouvert?Ω,T|ω=0
et : T=?ω??Tω
PROPRIÉTÉ8.7 :
ÊTs"annule sur l"ouvertθT
ËθTest le plus grand ouvert sur lequelTs"annuleDÉFINITION8.8 : Support d"une distribution
En gardant les notations précedemment définies, on a :Supp(T) =
Ω\θT
Remarque :C"est un fermé dansΩ.
Exemple :
ÊSupp(δa) ={a}
ËSupp"
vp1 x" =R.ÌSupp(Y) =R+
Remarque :Pour une fonction continue f : Supp(Tf) =Supp(f).9 Produit de convolution des distributions
9.1 Supports convolutifs
DÉFINITION9.9 : Supports convolutifs
SoitF1etF2deux fermés deR.F1etF2sont convolutifs si pour toutr>0, l"ensemble r={(x,y)?F1×F2;|x+y|?r} estbornédansR2, i.e., qu"il existeρ(r)tel que|x|+|y|?ρ.Résultats :
7Ê[a,b]etRsont convolutifs.
Ë[a,+∞[et[b,+∞[sont convolutifs
Ì]-∞, 0]et[0,+∞[sont convolutifs
9.2 Produit de convolution des fonctionsL1loc(R)
PROPRIÉTÉ9.8 : Produit de convolution des fonctionsL1loc(R) Soitfetgdeux fonctionsL1loc(R)à supports convolutifs.Êf?x?R,y?-→f(y)g(x-y)?L1loc(R).
ËOn définit :
f?g(x)=? f(y)g(x-y)dy avecf?g?L1loc(R). Résultats :Alors la distribution associé àf?g Tf?g, on a :Tf?g,?=Tf(y),?Tg(z)??(y+z)
Alors, on définit :
Tf?g,?=Tf?Tg,?
9.3 Convolution des distributions
DÉFINITION9.10 : Convolution des distributions
SoitSetTdeux distributions à supports convolutifs. On définit la distributionS?Tpar :S?T,??=?S(x),?T(y),?(x+y)??
xetyne sont là que formellement...PROPRIÉTÉ9.9 :
ÊS?T=T?S
ËL"élément neutreδ?S=S
Ì(S?T)?=S??T=T??S
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