[PDF] Problemes aux limites en theorie des distributions

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Problemes aux limites en theorie des distributions.

PAUL KR]~E {*)

Rdsum~. - Etude de la mdthode des potentiels pour rdsoudre des probldmes aux limites relatifs certains opdrateurs diffdrentiels. Rdsolution et discussion des probldr~es aux limites pour un systdme diffdrentiel elliptique lorsque les donndes sont des distributio~s (le probldme dtant elliptique ~ droite ou ~ gauche). Soit 9. une vari6t6 compaete (C °° et r6elle) de bord to plongde dans une vari6t6 ~o~ et r6elle M, ~ et M ont la m~me dimension n. P d6signe un op6rateur diff~rentiel elliptique d'ordre m.

C (M, E)- C (M,

off E et /P sont deux fibr6s vectoriels complexes de base M. B d~signe un op6rateur pseudo diff6rentiel (o.pd.) sur co: off G est un fibr6 vectoriel complexe de base to et E '~ est la somme directe de m exemplaires du fibr6 E. Soit vj dans ~:c((,, E), j = 0, 1... m--1. Soit k le plus petit entier tel que B(vo, ..., v,~_l) ne d6pende que de (vo, ...vk_~} seulement. V 6tant un champ de vecteurs d6fini dans M au voisinage de to et transverse h to, on suppose qu'une carte de M transforme localement M en R ~, ~2 en le demi-espace off x~>0 et V enc~x--~. On se donne f dans ~)'(~, F) et g dans ~'(~o, G). Le prob]~me aux' limites g~n~ral relatif i~ ees donn6es consisterait '~: trouver u dans ~'(~, F) tel que (1)

Pu=f dans t]

B(yu) = g sur ~Q = to

Of 7U est form6 par

la collection des traces transverses de u sur le bord to (off x,~=O)uj=yju= u(., O) avecj-=O, 1..., m--1. Le probl~me (*) Entrata ill 1RedaMone il 6 dicembre 1968.

AnnaIi di Matematica t5

114
P. K~n: Problemes aux Iimites et~ theorie des distributions de Dirichlet est un probl~me de ce type avec M--E:, ~2----boute unit~, p--.~ 5, ~n-- 2, k ~-1. Pour le probl~me ,]e 17EUZ~AZ~, on a k ~ 2 et X est te champ des vecteurs normaux... Lorsque les traces uj (j ~ 0 .... k ~ 1) sont ~ naturellement d~finies ~ (par exemple lorsque u est duns ~k(~}), 1' interpretation du probl~me (i~ ne pr~sente aucune difficultd: on dira que le probl~me (1) a naturellement un sens. Mais lorsqu~it n'en est plus ainsi (par exemple lorsque u est ~ duns et h croissance lente au voisinage du bord), il est ndcessaire de prdciser le seus duns lequel le probl~me {1) dolt ~tre interprdt~. II nous faut doric donner un sens au prob]bme {1) en th~orie des distributions. On peut se poser des probl~mes analogues d'interpr(itation pour des op~rateurs P non elliptiques. Duns le cas off Pest une ~quation, off B est uu syst~me normal d'op~- rateurs diff(irentiels sur le bord qui recouvre P, et off f satisfait h certaines restrictions, Lions et Magen/~s ([14]) out interpr~td ]e probl~me (1) ~ l'aide d'une formule de GREEN; ces auteurs out aussi discntd (1) en utitisant des techniques de transposition et &interpol~tion. Duns le cas off Pest un o.p.d. de type 0, une interpretation et une r~solution de (1) peuvent ~tre ddduites du travail [4] de L. BOU:pE~ de MONVEL les traces ~tant interpr~t~es /~ l'aide de noyaux de Poisson ([3]). Duns le pr6sent travail, on se fixe h priori deux interprOtations naturelles et directes des "fiulj ---- O, ... k - 1) : ou bien comme valeurs au bord (u ~tant semi-r~gulibre par rapport i~ x~: voir [18]) . ou bien comme traces fonctionnelles (d~finies par proIongement continu). Puis l'on (inonce une condition n4cessaire et suffisante pour que le probleme (1) air un sens relativement i~ ces interprdtations: voir § 4 (2) On fair l' hypoth~se essentielle que la distribution u cherchde se protonqe en une dislribution ddfinie sur M: l'exempte (6.c} montre qu'une hypoth~se de ce genre est n~cessaire si 1 ~on ne veut pas utiliser des fonctions g~n~ra- lis~es qui ne soient pus des distributions. On ~nonce (§ 3~ deux r~sultats prouvant l'existence de valeurs au bord ivoir d~finition au § 11 pour une solution u de l'~quation homog~ne. Le deuxi~me r~sultat rant m~me si P est non elliptique et permettrait de g~n~- raliser les classes da ttAnD¥ H ~. On indique aussi une g~n~ralisation de ]a formule de GREE~ (dans le cas de solutions distributions) et un thdorbme de prolongement des solutions i~ travers une hypersurface r~guli~re. On dtudie au § 2 la repr4sentation d'une solution de F~quation homog~ne ~ l'aide de potentiels. Vus ces pr~liminaires~ on constate alors (§ 5) que la m~thode de P. KneE: Problemes aux limites en theorie des distributions 115 L. Hi~R~IA~DER ([12]) pour r6soudre (resp. diseuter) un problbme du type (1) elliptique /~ droite (resp. h gauche) duns le cas off 7u a directement un sens, s'6tend au eas off la trace ;+u doit 6tre interpr~tde. Notons que la m6thode ci-dessus permet de r6soudre (resp. diseuter) les probl~mes (1) elliptiques h droite tresp, h gauche) dans des espaees de distributions diff6rents des espaces de Sobolev H ~. (par exemple des espaees H ~ anisotropes, des espaces de BESOV B;,p, et en particulier des espaces de fonetions h(~lderiennes). En effet, alors que la m6thode de LIons 5f~GENES n6eessite entre autres des propri6t6s de transposition et d'interpolation (volt problbme 11.3 et 11.4 de [14]), la m6~hode employ6e iciet d6taill6e au point (37) pour les espaces de SOBOLEV, utilise simplement des propri6t6s de prolongement~ de trace, et de continuit6 de l'op6rateur associ6 /~ un o.p.d.

§ l.- Preliminaires.

Nous rappelons d'abord quelques r~sultats sur les distributions prolon. geables (pour r~soudre (1), on supposera toujours que u est une distribution prolongeable). Afin de d6finir les deux interpretations du probl~me (1) que nous consid~rerons (§ 4) nous d~finissons ci-apr~s les valeurs au bord transverses et les traces fonctionnelles d'une distribution (non quelconque) sur f2.

Distributions prolongeables.

Soit Q un ouvert de R n. On peut, duns ce qui suit, remplacer R n par une varlet6 r~elle d6nombrable it l'infini M. Soit T duns ~'(~2). (de m~me, on peut consid~rer des sections distributions de fibres au lieu de distributions

it valeurs complexes). On dit que T est prolongeable s'il existe T duns ~'(R'), cc O telle que T soit la restriction de T h Co (-~). L'ensemble des distributions,

d6finies sur ~Q et qui sont prolongeables, est not6 ~(g). (3) Proposition.

a) Pour que la distribution T ddfinie sur ~ soit prolongeable, it faut ~Q et it suffit que la forme lindaire T sur C O ( ) soit continue, lorsque C~(~2} est

muni de let topologie induite par C~(R~). b) Si Test une distributioJ~, prolongeable ddfinie sur ~Q, il existe un prolongement de T porld par P=. Cette proposition r~sulte du th~or~me de HAtti'~ BAI~ACH. Notons que ta condition (3-a) peut s'~crire: (4) VK~R ~, ~C et m t.q.: V~eCo(~), Supp ~K; ] < 7; ~ > I_<. C sup ~(x) 116
P. KR~E: Problemes aux limites en theorie des distributions

On a la:

(5) Caraetdrisatiol, dee distributions prolongeables. ~(R ~, ~Qi ddsigne l'ensemble des fonctions de ~(R") qui s'annulent sur ~Q ai'~mi que toutes leurs ddrivdes. Cel espace eat muni de la topologie de @(R"). Alors l'ensemble des distributions prolongeables ddfinies sur ~ s'idenlifie au dual topologique de ~(R ~, ~Q). (6) de Q: Exemples. a) Soit f mesurable: ~)~ -~ C, ~ croissance lente au voisinage du bord

VKCR ~, ~[K>0 t.q. VxsK(3~, f(x):©(dk(x, ~Q))

On suppose que fl est un <> (volt (7)). Alors~ on peut d6finir un prolongement de f par un proc~d~ de pattie finie en utilisant une pattie finie r6elle ou comp]exe (volt [17}). b) Toute distribution prolongeable reprdsent~e par une fonction ~ n'est pas n~eessairement h croissance lente an voisinage du bord. Si l'on considbre par exemple la distribution T sur R repr~sent~e par la fonction

T(xI: sin exp si x>0

Test port~e par 9, = R+. Donc, la restriction de f = T' ~ R+ est prolongeable~ et pourtant, f n'est pas i~ croissance lente au voisinage de l'origine. c) Si f est solution dans un ouvert rdgulier ~2 d'un op~rateur diff6ren- tiel elliptique P, f n'est pas forc6ment prolongeable en une distribution d(~finie sur R'. Par exemple, prenons: n=2. P ~ ~2= ledisque unit~, f(~)---~exp(. -1 t. \~--z/ En utilisant par exemple (5), on peut voir que f n ~est pas prolongeable en une distribution. (7) Ouvert rdgulier ~2, surfaces parall~les %, ddrivdes transverses. On suppose que ~ est une varigt(i C a i~ bord de la vari~t~ M, d~nombrable h l'infini. (Oet M ~itant de m~me dimension n). On se donne un champ de ve~tel!r V d~fini sur M au voisinage du bord to de (~ transverse "~ ¢o et

P. Kngn: Problemes aux limites en theorie des distributions 117 dirigd vers l'int~rieur de i2. On peut r~soudre localement (et poui t petit) le

dw syst~me diff~rentiel ~ = X, x(0) = xo ~ (0 co qui permet localement duns to : -- de d~finir les lignes de force du champ X -- de d~finir des coordonn~es curvilignes dans M au voisinage de to, le point ~(t) ~taut roper6 par (Xo, t). Si o) est compact, ces coordonn~es sent d~finies pour I tl~ Eo. On peut done supposer qu ~au voisinage de to, la structure de vari~t~ de M est d(~finie par un nombre fini de cartes ayant la propri~t¢ suivante. Pour x quelconque duns % il existe un voisinage de ~ duns ~ transform6 en un voisinage de l'origine dans le demi-plan de R: off x~ > 0. Le bord (o est transform~ loca. lement en l' hyperplan off x~ = 0, le champ V ~tant appliqu~ sur le champ ~. Pour simplifier, le champ Vest not~ ~. On appelle bord parall~le to~(] s [ <: so) la sous-vari~td de M off t = s. Chaque carte d~finie eidessus applique localement to~ sur l'hyperplan de R: off x. = s. Duns le cas o~ le bord to n'est pas compact, il n'est pas certain qu'il existe un champ transverse X tel que pour ~o suffisamment petit, les cartes locales ddfinies ci-dessus existent pour tout It]<_ e0 au voisinage de tout to. Nous limiterons an cas off un tel champ X existe. (8) Valeurs au bordet traces. Pour simplifie L on lit route distribution sur M d4finie au voisinage de

to h Faide des cartes d~finies pr~c~demment. (9) Ddfinition. Soit ~ une varidtd ~ bord et u dans ~9'(~).

a) On dit que u admet des valeurs au bord transverse jusqu'h l'ordre k si ~--Ivx~/ u(x , x~) e ~°(R+,; ~'[(R:_~)} ~=1, ...k c' e.~t-~-dire si u(x', xn} e ~k(R+, _i~'tRn-l~,..~ ,

On pose alors ~x~) u(., o) ~(eu est appelde ta trace transverse d' ordre ~. 118
P. KRgE: Problemes aux timiles en theorie des distributions b) Soit X un sous espace vectoriel topologique de ~'p(~2) oh XA~t~ est dense. On dit que les dldments de X admetlenl des traces transverses jusqu ~ l'ordre k si les applications (pour 0 <__ ~ _< k}: se prolongent par conlinuild en des applications continues de X duns ~'@). .(~ est appeld la X-trace lrasverse d' ordre ~ de u. (10) Prolongement de distributions admeltant des valeurs au bord tran. sverse, jus~u' & l' ordre k. En utilisant par exemple ]e d4veloppement de TAYLOR h i'origine da la , , (R~,)) admet un fonetion x,,--~u(, x.), on volt que toute u de Ck(R~ ~)' "-~ prolongement dans ~¢(R~, ~)'(~71)) donc duns ~)'(R~, ~)'(R~71) = 9'(M). (ll) Si une distribution admet une valeur au bord d'ordre O, elle est prolongeable. En prolongeant la fonction x. ~ u(. , x.) par 0 pour x. < O, oJ~ obtient une fonction bornde & valeurs dans ~'(R~,, ~'(R~7 -~) c'est-&-dire une distribution sur R ~: cette distribution est appelde le prolongement canonique de u.

5Toter qu' on peut eonsid6rer yE~u(1 transverse d'ordre }t d'un prolongement de u. De la m~me manibre, avee les hypotheses de (9-b), s'il existe un sous- espace veetoriel topologique X de ~)'(M) tel que -- F application de restriction & ~2: X. restr. > X soil surjective --cette application admet un rel~vement continu rel: X--~X, alors on petit consid6rer ~'l~u comme la X-trace transverse d'ordre ~ d'un relbve- mcnt u de u. (12) Exemples a) Espaces H P de Stein et Weiss.

O. -~ R'+x ~" R+ >~ h~n--lx' , et F(, D) = A.

Soit u une fonetion d4finie et harmonique sur .Q et telle que L ~ R.-I f u ~ L°°(R+, ( ~, )) soil sup I [(x', x~l tPdx ' < xn>O P. KRI~E: Problemes aux Iimites en theorie des distributions 119 u appartient dt ~(~}. On peut montrer que u admet une valeur au bord dans L e (voir [18] et aussi (28-a)) si 1

1 s>k+~.

c) Espaces H ~ avec poids.

On pose

H~(R~_}=Iue~'(R~+); x~D~ueL2(R~) pour ]~l<_s}

De [6], il r4sulte que les distributions de cet espaee admettent des

1 H~-- traces fonctionnelIes sis ;> a ~ ~ et que

1 -- ees traces sont nulles si ~ + ~ _< 0 1 -- ces traces sont dans //~-~-- 2 ~%ter que si ~ < 0, les ~l~ments de H~(R~+I n'ont pas de traces [pour s convenable) sur un hyperplan off x~ est une constante positive. § 2.- Representation d'une solution de l'equation homogene a l'aide de potentiels. Soit 12 une vari~tef i~ bord ~ de la vari@t@ C m r@elle M (dim ~-~- = dimM~--n). Soit P un systi)me diff@rentiel d'ordre m sur M. (on 6tudie au voisinage du bord ~o de ~ les cartes d4finies au § pr~ceident. Si A est une distribution sur M support~e par % elle s'~crit localement t13) A----- ~ u~(~')X Co{Xn) V=0 avec u~ dans ~'(R~7-~). On dit que u~ est la densit6 de la multieouche uv X 8(~). 120
P. KRt~E: Problemes aux limites en theorie des distributions

Soil T un param4trise ~ gauche de P:

(14) To P-~ Id + r off r est un op4rateur de noyau C ~. On suppose que T envoie ~'(M) dans ~)'(M). T(A) est appel~ le potentiel de la distribution A. Si u duns ~(g) est telle que Pu-----O, on eherche ~ repr4senter u (duns ~) comme un potentiel (d'une charge 4falSe sur o)). La proposition (15) donne des cas off une telle representation existe ~t une fonction C ~ pr~s. On cherehe ensuite ~ simplifier cette repr4sentation. Puis l'on montre que si Pest elliptique, u est, h crois- sauce lente au voisinage du bord (l'int~r~t de ceei r~sulte de t6.b). Si v est dans ~0/Q)~ v o d4signe la distribution sur M repr~sent4e par la fonction 4gale v(x) pour ~c dans ~), e~ par 0 si non. (15) Proposition. a) Soil u dans ~((~). (15') Alors P(u °) = (Pu)°+ Ptyu) oh ~P(yu) est une distribution dtalde sur ~2 et qui ddpend de u, seulement par l' intermddiaire de la donnde de Cauehy : yu-----(yoU, y~u, ... ym_~u)

Si Pu-~ 0 dans ~, on a

(16) u ° ÷ ru°: T(P(yu)} bt Soil u dans ~(~i telle que Pu ~ O. Soil u un prolongement de u portd par Q. Alors Pu ~ A, A distribution porlde par o) et (17) TPu = u + ru -~ TA. dlant une Les formules (16) et (17) figurent dans [10], si Pest elliptique. (18} Remarque sur la reprdsentation sous forme de potentiel d'une solution u de l'dquation homogOne Pu ~ O. Pour simplifier, on suppose que Test une solution ~l~mentaire bilat~re de P. (TP = Id, PT---Id} et que u est dans C~(O.). On peut se poser les; (19) questions a) Que peut-on dire de routes les dislributions A de support to telles que; (20) u~ TA duns Q. et P. KRt~E: Probtemes aux timites en theorie des distributions 121 b) Comment peut-on rdduire le nombre de multicouches composant A si

A est telle que (20).

~otons que les traces yiu{i ~ 0, ... m- 1) sont reliOes par des o.p.d.: voir par exemple [10]. De plus, L. ~Bov~E~ de )$O~VEL a remarqu(~ (voir [4]) que si le bord est non caraetOristique pour P, il existe A vOrifiaJat (20), A (itant compos~e par des multieouches d'ordre au plus m ~ 1. On peut noter encore eccl. (21) proposition. Soil A' une distribution portde par to formde par une somme de multicou- ches de densitd ~. Pour que A' soil telle que TA'~-O dens 9~, il faut et il suffit qu' il existe v dans ~{~P,) tetle que A'= P'(~[v) et Pv-~-0 dans ~.

Cette proposition est vraie sons les:

{22) Conditions (a) Si °v est la distribution sur M repr~sent(ie par la fonction v(~c) sur ~ et par 0 sur Q, _P'(Tv) est d~fini par la formule de GttEEZ~

Per) = +

(b) T agit sur t5'(7v) (c} T v~rifie la condition de la r~gularit~: TA' est dans les densit~s de A' sont @'~.

En effet :

La condition de (21) est suffisante car vu (22.a) et (22.b), on a C (Gu) si

TPi°v) -= °v = TP(Vv)

done, le potentiel de /5'(,{v) est nul sur P,. R4ciproquement si TA'--~ 0 dans ~2, v= TA' est porto par ~Q et vu (22.c), v est dans ~{~). On a Pv = PTA'= A'. Vu (22.a), on a A'----/3'(yv). (23} Exemple. Soit u harmonique dens un domaine Q de M= E', et u dans ~(~), h admet une solution (fl~mentaire bilat~re T. On prend pour V un champ des vecteurs normaux "h la frontibre to de 9.. Vu (16), on a u-~-T[)(yu) avec _P(~'u) = u0 X ~' -{- u~ X 8. Si l' on sail trouver v dans ~(~2)~ telle que hv = 0 dans ~, admettant ut comme trace d'ordre 1, alors u ~ T(P(yu)+ A ~) dans

Q avec A' ~- -- ua X ~ + ...

Annali di Matematica 16

122
P. KnifE: Problemes attx timites en theorie des distributions Done u ~ TA dans O~ off A est une double couehe ~tal~e sur ~2. C'est cette reprdsentation qui est utilis~e pour rc~soudre le th~or~me de Dirichlet. On peat montrer de la m~me fa~on que toute fonction harmonique duns un ouvert r~gulier de R '~ peut ~tre repr~sent~e eomme le potent]el d'nne simple couche. (24) Relation entre la rdgularitd des charges et celle de leurs potentiels. On sail (Cf [3], [11], [17]) que si T est un param~trix d'un opdrateur diff6rentiel elliptiqne, T v~rifie la condition de la r~gularit~. On a encore la (25} proposition. Soil Tun opdrateur pseudo diffdrentiel et: A -~ u(x') X 8o(~)(x~) avec u darts Ot +. Alors le potent]el TA est ~ croissance lente au voisinage du bord.

Ddmonstration.

Quitte h remplacer T par To(D~)~', on peut supposer que ~ ~ 0. Soit p(x, x--?I) le noyau de T. On a v~--TA avec = fp(x', xo; x'-o', x )u(o)do' Repr~sentant u par une d~riv~e de la fonction continue f, il vient: ' dz v(x)= p(x', x.; x'-z, x.) z') ' v(x) = ~-~ p(x~, x~; x/-- x°)f(z')dz' Cette expression et la caract~risation ([13]) du noyau de p montrent que pour l suffisamment grand, w~v(w) est une fonction continue. § 3. - Existence de valeurs au bord transverses d'ordre queleonque pour toute solution de l'equation homogene. Nous indiquons deux raisonnements permettant de prouver ]'existence de valeurs au bord transverses d~ordre quelconque pour une solution u de l'op~rateur diff4rentie] elliptique P d4fini au voisinage de la vari~t~i i~ bord (le bord ¢o est suppos(i tr~s r~gulier). Le premier raisonnement (proposition (26)) est une variante d' un raisonnement de tt(IRMA~CDER ([10]). P. KRI~E: Problemes aux limites en theorie des distributions 123 Le deuxi~me raisonnement suppose que P op6rateur P ne comporte pus de terme rectangle, mais il ne suppose pus que /)est un op6rateur elliptique. On indique ensuite des corollaires de l'existence de ces valeurs au bord: d'abord une extension de la formule de GaEE~ (proposition (29)) puis des conditions suffisantes pour qu' une solution de 1' 6quation homogbne en dehors d' une vari~t~ r~igulibre soit ~n fair une solution C ~ d6finie duns tout 1 ~ espa, ce. (26) Proposition. Soit Pun opdrateur diffdrentiel elliptique ddfini sur M au voisinage de la varidte ~ bord O~(Q et M de m~me dimension n, le bord (o est supposd trds rdgulier, mais ~2 n'est pus forcdment compact!. Soit u dans ~{~) tel que Pu~--O dans q. Alors u appartient ~ ~(R+, ~'(Rn-ili ~, ,, ce qui signifie que pour que pour tout ~, u admet une valeur au bord transverse d'ordre (d6finition (9)).

Preuve.

On utilise les notations de §§ 1 et 2. Soit T un paramftrix compact (compactly supported duns la terminologie de [9]). I1 suffit done de montrer vu (9), que pour ~out v, (D~T(u ®$(~)})(x, x~) avec ueg(R, ) tend vers uue limite dans ~)'(R ~-~} lorsque x~ tend vers 0(x~ > 0).

On utilise les r6sultats de [10]. Si

On pose t(~, ~t ~ ~ tj(x, ~

/b(x, ~t----it(x ' ~)_ z ¢(x, ~) ] 1 F~, d6signe une courbe simple du demi-plan off Im ~0, I'~, enlace les poles de tj(x, ~', ~; et si I~'[ ~ 1, P~, contient le segment d'extr~mit~s __--~ (1 -- 1 ~ 12~ ~/2. Lorsque u est darts C~tR~-~,o ~ ,, ,, Itiirmander montre que si x~ > 0 : + (27:) -o f ((Do + ~o)~Rj(z, ~);I¢~CIe~<~, :> d~' = 2 ~ + n ]D~T(u®8 ~) apparait done comme la somme ZIj et II. Lorsque u est une distribution ]124 P. KR~E: Problemes aux Iimites en theorie des distributions fonction h croissance lente. Doric pour u dans ~', II est une fonction continue de (x', Xn) si Jcst suffisamment grand; ce qui prouve que la pattie de D~,(T(u®~'))(., Xn)qui correspond fi~ II tend vers une limite darts ~)'(R:7 -~) lorsque Xn tend vers 0. I1 nous suffit de considdrer la pattie qui correspond E /]. Soit ¢? duns Co{R~7 -1. I1 nous suffit de montrer que iJ (I], ~?) : (2=) -n (( ~?(~')d~(~')doe~d~' ; ((Dn + ~)g~elxfi.d~n ,] J est d6fini pour u duns ~' et tend vers une limite lorsque Oen tend vers 0.

Or (5, ~) = J ~C)A~d~' avee

et une int6gration par parties donne

~'~A]-~ f d<*';~'> (J ~)~[?(x', f ((Dn + ~)~tj[x, ~,~j~n~-nd~n] dx'. Comme le crochet est uniform~ment born4 lorsque xn tend vers 0 par

C I~'l~'+~+~J +~, il en r~sulte que ~//, ¢p ~ est d~fini pour u duns ~' et tend vers une limite lorsque ~c~ tend vers 0. (27) proposition. Soit P un opdraleur diffdrentiel hypoelliptique sur et s' dcrivant

P(x, D) = P~(x, D') + a(z)D: It:, i~ coefficients C ~ avec m ~ 0 et a(x) ~ O. Pg ne fair intervenir que D' (les d~rivations tangentielles)

Soit u ddfinie pour Xn~ 0 lelle que Ic~ fonction uo dgale & u pour ~Cn ~ 0 et ~ 0 pour xn ~ 0 soit localement intdgrctble darts Rn. On suppose que

Pu = 0 {pour Xn ~ 0}. Alors pour tt(O ~ ~ .<_ m -- 1). tend ver, une limi~e duns ~'¢R n-l) lorsque ~ ~, O.

Preuve. ,

Soit ~ dans C~(R:7 -~) nulle pour lx I_ Aet ~ duns ~(/i~n) valant 1 au voisinage de l'origine. On applique la formute de GREEN (15}' h, P,, au cylindre

P. KRI~E: Problemes aux limites en theorie des distributions 125 C off ~ ~ x. < ~: et Ix'I~2 A. Eu Ogalant les actions des 2 distributions

figurant duns les 2 membres de (t5}' sur la fonction test ~, on obtient: f f f Au premier membre, tout terme correspondant/~ un op~rateur de d(irivation

normal dans 'Pest nul. Le premier membre se r4duit done h: f /WPo~. C De m~me, au deuxibme membre, route multicouche (d'ordre ~ 1) de Q(yu) donne une contribution nulle. Vue la formule (2.2.1) de [9], le 2 ~ membre se r~duit ~: i -~ :~ (P~+~(~c, D')u~)~@---i -~ a , " ' z=0. (x)u,~_~(x)?(x, ld~c . BC ~C D ~ off x~ 2 xl~---~ 2 Si u est localement int6grable, le 2 ~ membre tend vers 0 lorsque zl et ~2 tendent vers 0. La dernibre relation montre alors que (aug_l)(., x~), done u~_l(., x,) tendent vers des limites duns ~'(R~. -~) lorsque x. tend vers 0. Done u.~_~ appartient /~ C°(R+, ~)'). I1 en r6sulte que les primitives (par rapport /~ x~) de la fonetion veetorielle u.~_~ appartiennent aussi ~ C°(R~, ~'}, done que u,~_~ est (m- 1) lois d~frivable ~ valeurs duns ~)'. (28) Corollaires. a) Gdndralisation des classes H P de Hardy.

u ° est localement sommable en particulier si ueL~(R +, LP(R:71)) avec 1

appartiennent h la classe lip relative i~ P. Vue (27), pour 0~ ~m--1, TFu tend vers une limite duns ~)'. En particulier, les y~u d~cr~vent un born~ de L "° et convergent duns ~'. Comme la bouble unit~ de L Pest faiblement ferrule dans ~', on v oit que U admet une valeurs au bord dans L v. ~26 P. KneE: Problemes aux limites en theorie des distributions b) Valeurs au bord d' une fonelion f{z) holomorphe pour y--~ hn z > 0 et dt croissance lente au voisinage de l ~axe rdel oc'Ox. II est bien connu qu'une telle valeurs au bord existe dans ~)'. On peut retrouver ce r6sultat en ap- pliquant (27) ~t l'op6rateur P ~ -= ~ et h une primitive complexe de f d'ordre convenable (exerciee). ~z (29) Proposition (formule de Green) Soit u dans ~'p(P.) avec Pu ~ 0 dans 12. 7u ~ (7°u, ... %_,u) ddsigne l' en- semble des valeurs au bord transverses "(ju avec O ~j ~ m--1. Soit u ° le prolongement cano)~ique de u. Alors (8o) P(u o) = P(vu).

En effet.

Soit .% la vari6t6 h bord limit6e par (~. u ~ d6signe la distribution sur M repr6sent6e par la fonction (io'ale ~ u sur f~ et par 0 dans le compl6mentaire de Q~. Lorsque s tend vers 0, u ~ tend vers une distribution u ° sur M, appel4e le prolongement canonique de u. La formule de GR]~E~ appliqu6e /~ ~ donne t)(u ~) = P(~u) avec ~u =- (y~u, ... ~,~_~u). Lorsque s tend vers 0, vu (26), ~'~u tend vers une limite notde yiu. a done prouv~ (30). On (31) CoroUaire (principe du prolongement hypoelliptique). On suppose P hypoelliptique. On pose ~o _~ Q et 01 = M\9.. On se donne u] dans ~'p(..oj) avec PuJ=O sur J, j~O on 1. 0~ suppose que u ° et u 1 admettent les m~mes valeurs au bord jusqu' ~ l' ordre m--1. Alors le couple (u °, u ~) ddfinit une fonction ~o0 sur M. En effet, notons u ° et u ~ les prolongements canoniques de u ° et u 1. Les formules de GREE~ relatives h p o et ~ s' ~crivent P(u °) ~ P°(yu) et P(~d)~ ~)~(u). Comme les second membres repr6sentent des distributions de signes contraires, on a p(~o + ¥) = o. L~ conclusion en r~salte puisque Pest hypoelliptique.

P. KngE: Problemes aux limites en theorie des distributions 127 § 4. - Deux Interpretations du probleme (1)

Consid6rons le probl~me abstrait !t). Nous altons considdrer deux variantes de ce problbme.

Interpretation 1.

u est dans Ck(R~., ~'(R~.)). (1 8 )~ d~finit une fonction continue de Pour tout ~ telque0~,~k,_~ 8x~.U la variable x~, ~ valeurs dans ~'(R~2:~ 1 et par consequent -fru peut ~tre inter- pr~t~ dans (1) comme une valeur au bord.

Interprdtation 2.

u est dans un sous espace topologique X de ~}4(~)~): X dtant tel que ~(~) est dense dans X et pour tout ~(0~ 9~k), l'appli- cation se prolonge en une application continue de X dans ~'(o)). Dans ces conditions y~u doit ~tre interpr~t~ clans (1) comme une trace. Espace 2£. (32) Etant donn(i un tel espace X, on appelle ci-apr~s X tout sousquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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