[PDF] Th´eorie des distributions 16 oct. 2018 [1] J.





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Th´eorie des distributions

20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse



Th´eorie des distributions

16 oct. 2018 [1] J.M. Bony Cours d'analyse



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Th´eorie des distributions

15 sept. 2020 [1] J.M. Bony Cours d'analyse

U.P.N - Sup Galil

´ee Ann´ee scolaire 2018-2019

Formation Ing

´enieurs MACSTh´eorie des distributions

H. Boumaza

Le 16 octobre 2018

page ii

Bibliographie

[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] F .Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier,´equations aux d´eriv´ees par- tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf [4] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [5] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [6] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [7]

C. Zuily ,

´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,

Dunod.

iii page iv

Table des mati`eres

I Notions de bases 1

1 Rappels de th´eorie de l"int´egration 3

1.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2 Espaces mesur

´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Int

´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.1 Construction de l"int

´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.2 Th

´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.3 Int

´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.2.4 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.5 Th

´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.6 Th

´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Introduction `a la th´eorie des distributions 13

2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1 De la "d

´efinition" du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.1.2 Mesure de Dirac en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.3 Notion d"int

´egrale d"action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2 Notion de d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4 Le Dirac en

´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3 Fonctions test19

3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2 Formule de Taylor avec reste int

´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.3.1 Support d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.3 Topologie deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.3.4 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4 Densit

´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4.3 R

´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4 Distributions sur un ouvert deRd29

4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.1.1 D

´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

4.1.2 D

´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 v

4.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

4.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2.1 Distribution associ

´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2.3 Distribution de Dirac d

´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

4.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2.6 La valeur principale de

1x 33

4.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

5 Op´erations sur les distributions 39

5.1 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.2 Les

´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.3 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

5.4 Les

5.5 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

6 Support d"une distribution 49

6.1 Partitions de l"unit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

6.2 Restriction

`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

6.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

6.4 Distributions

`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

6.5 Distributions

`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

II Notions avanc´ees 55

7 Convolution des distributions 57

7.1 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.2 Propri

´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

7.3 Interpr

´etation physique de la convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

7.4 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

7.4.1 Convolution de deux fonctions dansL1loc(Rd). . . . . . . . . . . . . . . .59

7.4.2 Convolution d"une distribution et d"une fonction dansC¥0(Rd). . . . . .59

7.4.3 Utilisation des propri

´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

8 Transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees 61

8.1 La transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

8.1.1 L"espace de SchwartzS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

8.1.2 Transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

8.1.3 Propri

´et´es de la transform´ee de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . .65

8.2 L"espaceS0(Rd)des distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

8.3 Transform

´ee de Fourier dansS0(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.3.1 D

´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.3.2 Transform

´ee de Fourier des distributions`a support compact . . . . . . . .72

8.3.3 Convolution et transform

´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

8.3.4 Transform

´ee de Fourier partielle et applications . . . . . . . . . . . . . . .74

8.3.5 Retour

`a la transform´ee de Fourier dansL1(Rd)etL2(Rd). . . . . . . . .75 page vi

9 Solutions ´el´ementaires d"EDPs 77

9.1 Th

´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

9.1.1 D

´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

9.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

9.2 Th

´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

9.3 Exemples de solutions

´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

9.3.1 Probl

`eme du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

9.3.2 L"

´equation des ondes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10 Formule des sauts 83

10.1 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

10.2 Formule des sauts pour un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

10.3 Ouverts r

´eguliers dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

10.3.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

10.3.2 Vecteur normal unitaire sortant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

10.3.3 Mesure de surface, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86
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