Th´eorie des distributions
20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
Th´eorie des distributions
16 oct. 2018 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
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Th´eorie des distributions
15 sept. 2020 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
U.P.N - Sup Galil
´ee Ann´ee scolaire 2018-2019
Formation Ing
´enieurs MACSTh´eorie des distributions
H. Boumaza
Le 16 octobre 2018
page iiBibliographie
[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] F .Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier,´equations aux d´eriv´ees par- tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf [4] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [5] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [6] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [7]C. Zuily ,
´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,Dunod.
iii page ivTable des mati`eres
I Notions de bases 1
1 Rappels de th´eorie de l"int´egration 3
1.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.2 Espaces mesur
´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2 Int
´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.1 Construction de l"int
´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.2 Th
´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2.3 Int
´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.2.4 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.2.5 Th
´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.6 Th
´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Introduction `a la th´eorie des distributions 13
2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.1.1 De la "d
´efinition" du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.1.2 Mesure de Dirac en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.1.3 Notion d"int
´egrale d"action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.2 Notion de d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162.4 Le Dirac en
´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Fonctions test19
3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193.2 Formule de Taylor avec reste int
´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
3.3.1 Support d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203.3.3 Topologie deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.3.4 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223.4 Densit
´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253.4.3 R
´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274 Distributions sur un ouvert deRd29
4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.1.1 D
´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.1.2 D
´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 v4.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
4.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.2.1 Distribution associ
´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.2.3 Distribution de Dirac d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334.2.6 La valeur principale de
1x 334.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365 Op´erations sur les distributions 39
5.1 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
5.2 Les
´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.3 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425.4 Les
5.5 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466 Support d"une distribution 49
6.1 Partitions de l"unit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.2 Restriction
`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
506.4 Distributions
`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .526.5 Distributions
`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53II Notions avanc´ees 55
7 Convolution des distributions 57
7.1 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577.2 Propri
´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .587.3 Interpr
´etation physique de la convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597.4 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597.4.1 Convolution de deux fonctions dansL1loc(Rd). . . . . . . . . . . . . . . .59
7.4.2 Convolution d"une distribution et d"une fonction dansC¥0(Rd). . . . . .59
7.4.3 Utilisation des propri
´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .598 Transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees 61
8.1 La transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
8.1.1 L"espace de SchwartzS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
8.1.2 Transformation de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
8.1.3 Propri
´et´es de la transform´ee de Fourier dansS(Rd). . . . . . . . . . . . .658.2 L"espaceS0(Rd)des distributions temp´er´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
8.3 Transform
´ee de Fourier dansS0(Rd). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .708.3.1 D
´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .708.3.2 Transform
´ee de Fourier des distributions`a support compact . . . . . . . .728.3.3 Convolution et transform
´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .728.3.4 Transform
´ee de Fourier partielle et applications . . . . . . . . . . . . . . .748.3.5 Retour
`a la transform´ee de Fourier dansL1(Rd)etL2(Rd). . . . . . . . .75 page vi9 Solutions ´el´ementaires d"EDPs 77
9.1 Th
´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779.1.1 D
´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
789.2 Th
´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
9.3 Exemples de solutions
´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799.3.1 Probl
`eme du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799.3.2 L"
´equation des ondes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8110 Formule des sauts 83
10.1 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8310.2 Formule des sauts pour un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8410.3 Ouverts r
´eguliers dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8510.3.1 D
´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8510.3.2 Vecteur normal unitaire sortant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8510.3.3 Mesure de surface, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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