Polynômes et racines PDF Considérons le cas d'

Polynômes et racines

Considérons le cas d'un polynôme de degré 4. On écrit a4x4. + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 On peut alors trouver les ?i en fonction des coefficients ai.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Calcul du discriminant : ? = b2 ?4ac = (2)2 ?4(1)(?3) = 16. Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en

RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL

les racines de la fonction. 2 3 4 c'est-à-dire de résoudre l'équation 2 3 4 0. ... Or

Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Pour A = X3 + X et a = 1 on obtient : X3 + X = 2 + 4(X1) + 3(X1)2 + (X1)3. Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois ...

Cours de mathématiques - Exo7

On continue avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles

Polynômes

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Exercices de mathématiques - Exo7

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SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.

Polynômes

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Chapitre 12 : Polynômes

07?/02?/2014 après en avoir trouvé une racine évidente. ... Exemple : Pour un polynôme de degré 4 ayant pour racines a b

Polyn^omes et racines

Christophe Ritzenthaler

1 Methodes generales

1.1 Evaluation d'un polyn^ome

SoitP(X) =anXn+:::+a1X+a02R[X]. Nous allons nous preoccuper du nombre d'operationselementaires (multiplication et addition) necessaires pourevaluerPen un nombre reel. Si on eectue le calcul de maniere basique, on a 2n1 multiplications etnadditions.

1.1.1 Methode de Horner

Ecrivons

a nxn+:::+a1x+a0= ((:::(anx+an1)x+an2):::)x+a0:

On obtientnmultiplications et additions.

1.1.2 Methode du produit

SiP(x) =a0Q(xi) avec tous lesireels, on a egalement besoin denmultiplications et additions.

1.1.3 Forme orthogonale

On ecritP(x) =Pn

k=0bkQk(x) ou les polyn^omesQisatisfont Q i+1= (Aix+Bi)Qi(x)CiQi1(x); Ai6= 0; Q0= 1; Q1= 0: L'evaluation requiert 3n1 multiplications et additions. Parmi les familles de polyn^omes orthogonaux, on a les polyn^omes de Chebyshev,Tnqui sont le meilleur choix en terme d'ecacite de l'evaluation. Rappelons que les polyn^omes de Chebyshev satisfontTn(cos(x)) = cos(nx) et sont donnes par la recurrenceAi= 2 pouri1,A0= 1 etBi= 0;Ci= 1 pour i0.

1.1.4 Pre-processing

Si on desire evaluer le polyn^ome en plusieurs points, il peut ^etre interessant de s'autoriser une modication des coecients avant le debut des calculs an de simplier ces derniers. Ceci s'appelle lepre-processing. Considerons le cas d'un polyn^ome de degre 4. On ecrit a

4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

=a4((x(x+0) +1)(x(x+0) +x+2) +3) (1) =a4x4+a4(20+ 1)x3+a4(1+2+0(0+ 1))x2 +a4((1+2)0+1)x+a4(12+3): 1 On peut alors trouver lesien fonction des coecientsai. La forme de (1) utilise 3 multipli- cations et 5 additions. Si, comme c'est souvent le cas, les multiplications sont plus co^uteuses que les additions, cet algorithme presente donc un avantage sur la methode de Horner.

1.1.5 Quelques resultats theoriques

De nombreux resultats sont connus sur ce qu'on peut faire de mieux pour ce probleme. Theoreme 1.1.Tout algorithme evaluant un polyn^omePde degrensans pre-processing a besoin d'au moinsnmultiplications etnadditions. Ainsi dans ce cas l'algorithme de Horner est optimal. Au contraire si on accepte le pre-processing, on a le resultat suivant. Theoreme 1.2.Il existe un algorithme explicite (de Belaga) pour l'evaluation d'un polyn^ome enb(n+1)=2c+1multiplications etn+1additions. Il n'existe pas d'algorithme avec moins deb(n+ 1)=2cmultiplications ou moins denadditions. On ne sait pas si le seuil peut ^etre atteint ou non. L'algorithme de Belaga peut avoir besoin de coecients complexes. Il en existe un autre (l'algorithme de Pan) enbn=2c+ 2 multiplications etn+ 1 additions qui pour des coecients deP`naturels' a des parametres reels. Par la suite Rabin et Winograd ont donne une methode endn=2e+O(logn) multipli- cations/divisions etn+O(n) additions avec uniquement des coecients reels.

1.1.6 Une question auxiliaire : la stabilite et le conditionnement

Grossierement, un algorithme est ditnumeriquement instables'il cree des erreurs d'arron- dis qui augmentent de maniere incontr^ole. Un autre concept est lemauvais conditionnement. Un algorithme est mal conditionne si une petite incertitude sur les donnees d'entrees peut creer une grande incertitude sur le resultat. Le tableau ci-dessous resume ces proprietes pour les algorithmes d'evaluation.Forme Conditionnement stabilite Horner peut ^etre mal conditionne peut ^etre instable

Forme produit assez bien conditione stable

Chebyshev bien conditionne stable

Belaga peut ^etre mal conditionne peut ^etre tres instable

Pan Conj. : si petits Pan coef. alors bien conditionne peut ^etre tres instable.1.2 Interpolation. Spline. Courbes de Bezier

1.2.1 Interpolation de Lagrange

Soient (x0;y0);:::;(xn;yn)2C2avec lesxidistincts. Il existe un unique polyn^omeF2 C[X] tel queF(xi) =yi. Celui-ci est construit de la maniere suivante. Soit b i=Q n j=0(Xxj)Xxi; i= 0;:::;n: Ces polyn^omes forment une base des polyn^omes de degre au plusnet ona facilement

F(X) =nX

i=0y ib i(xi)bi(X): Remarque 1.On peut bien s^ur envisager des interpolations d'ordre superieure. 2

1.2.2 Spline

Soient (x0;y0);:::;(xn;yn)2R2avec lesxicroissants distincts. Sur chacun des intervalles [xi;xi+1], on considere un polyn^ome (habituellement de degre 3), (Pi)i=0;:::;n1qui verient les proprietes suivantes : P i(xi) =yi; Pi(xi+1) =yi+1; P0i(xi+1) =P0i+1(xi+1); P00i(xi+1) =P00i+1(xi+1): Ces conditions sont des conditions naturelles de recollement. On suppose parfois que la derivee seconde est nulle aux extremites de l'intervalle pour permettre de prolonger par une fonction ane en dehors de l'intervalle. Ces fonctions sont utilisees dans les modelisations de courbes planes. Remarque 2.Les points ou la fonction change ne sont pas necessairement les points de contr^ole. C'est ici une simplication.

1.2.3 Courbes de Bezier

voir texte.

2 Racines d'un polyn^ome

2.1 Calcul exact

Rappelons qu'il n'y a pas de formule permettant d'exprimer de maniere generale les racines d'un polyn^ome de degre 5 ou plus. Ce resultat est obtenu par la theorie de Galois. Remarque 3.On peut se demander quelles sont les equations de degre5resolubles par radicaux. Toute equation irreductible de degre5peut se mettre sous la formex5+ax+b= 0. Celle-ci admet des solutions (Carl Runge, 1885) par radicaux si et seulement si il existe des rationnelsu;vtels que a=5u4(4v+ 3)v

2+ 1; b=4u5(2v+ 1)(4v+ 3)v

2+ 1: Par exemplex55x410x310x25x1admet comme unique solution reellex= 1 + 5p2 + 5p4 + 5p8 +

5p16. Quant ax55x+ 12elle admet egalement des solutions sous

formes de radicaux mais demande600symboles pour l'ecrire.

2.1.1 Degre2

Rappelons le resultat connu.

Proposition 2.1.Soitax2+bx+cun polyn^ome de degre2. Les racines de ce polyn^omes sont bpb

24ac2a:

2.1.2 Degre3

Passons au degre 3. Soitx3+ax2+bx+cun polyn^ome unitaire de degre 3. On eectue le changement de variablex=za=3 et on obtient une equation du type z

3+pz+q= 0; p=ba2=3; q= 2a3=27ab=3 +c:

On a deux cas possibles :

3 {p= 0. Dans ce cas l'equation s'ecritz3=qqui admet trois solutions dansCqu'on calcule en ecrivantq=exp(i#). {p6= 0. On posez=u+vet on obtient alors u

3+v3+q+ (3uv+p)(u+v) = 0:

On s'interesee au systeme suivant :

u3+v3+q= 0

3uv+p= 0:

Ce systeme est equivalent a

u6+qu3p3=27 = 0 v=p=3u:

Dans la premiere equation, on posey=u3et on a

2+qyp3=27:

On calcule une solutiony0puis on remonte auen prenant les 3 racines, puis a (u;v) qui donnezet de lax.

Remarque 4.De l'identite

13 =12

2(1 +12

2)(1 +12

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