Polynômes et racines
Considérons le cas d'un polynôme de degré 4. On écrit a4x4. + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 On peut alors trouver les ?i en fonction des coefficients ai.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Calcul du discriminant : ? = b2 ?4ac = (2)2 ?4(1)(?3) = 16. Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en
RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL
les racines de la fonction. 2 3 4 c'est-à-dire de résoudre l'équation 2 3 4 0. ... Or
Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Pour A = X3 + X et a = 1 on obtient : X3 + X = 2 + 4(X1) + 3(X1)2 + (X1)3. Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois ...
Cours de mathématiques - Exo7
On continue avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles
Polynômes
Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) Pour les racines montrer que P(x) = 2cos(narccos(x/2)). 4 ...
Exercices de mathématiques - Exo7
Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) Pour les racines montrer que P(x) = 2cos(narccos(x/2)). 4 ...
SECOND DEGRE (Partie 2)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.
Polynômes
fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est
Chapitre 12 : Polynômes
07?/02?/2014 après en avoir trouvé une racine évidente. ... Exemple : Pour un polynôme de degré 4 ayant pour racines a b
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1Définitions :
DÉFINITIONOn appelle trinôme du second degré toute fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax2+bx+c(a,betcréels aveca6=0).Remarque :Par abus de langage, l"expressionax2+bx+cest aussi appelée trinôme du second degré.
DÉFINITIONOn appelle racine du trinômef, tout réel qui annulef.Exemple :1 est une racine du trinôme 2x2+3x5, car 2(1)2+3(1)5=0.
Remarque :Chercher les racines du trinômeax2+bx+c, revient à résoudre dansRl"équationax2+bx+c=0.
2Factorisation, racines et signe du trinôme :
DÉFINITIONOn appelle discriminant du trinômeax2+bx+c(a6=0), le réelD=b24ac.2-1SiD<0:Racines :Pas de racines réelles.
Factorisation :Pas de factorisation dansR.
Signe :ax2+bx+cest toujours du signe dea.?
O?ı??a >0
a <01 reSérie Générale - Second degrécP.Brachet -www .xm1math.net1
2-2SiD=0:
Racines :Une racine réelle dite "double" :x1=b2a.Factorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)2.
Signe :ax2+bx+cest toujours du signe deaet s"annule pourx=x1.?O?ı??a >0
a <0x12-3SiD>0:
Racines :Deux racines réelles :x1=bpD
2aetx2=b+pD
2aFactorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)(xx2).
Signe :ax2+bx+cest du signe deaà l"extérieur des racines. (on suppose quex13Exemples de résolution d"équations et d"inéquations du second degré
3-1Equations du second degré
Résolution dansRde l"équationx2+2x3=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=2 etc=3 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (2)24(1)(3) =16.
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l"équa-
tion :Calcul des solutions :
x 1=bpD2a=2p16
21=242
=3x2=b+pD2a=2+p16
21=2+42
=1. L"ensemble solution est doncS=f3;1g.Résolution dansRde l"équation 2x22p2x+1=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=2p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b24ac= (2p2)24(2)(1) =428=0.Le discriminant est nul, donc le trinôme admet une seule racine réelle qui est en fait la solution de l"équation :
Calcul de la solution :
x1=b2a=(2p2)22=p2
2 . L"ensemble solution est doncS=( p2 2Résolution dansRde l"équation 3x2+4x+5=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=3,b=4 etc=5 ). Calcul du discriminant :D=b24ac=424(3)(5) =1660=44.Le discriminant est strictement négatif, donc le trinôme n"admet aucune racine réelle. L"ensemble solution est doncS=/0
Résolution dansRde l"équationx2+4x=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=0 ).Comme à chaque fois queb=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes
traditionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser parx:
x2+4x=0,x(x+4) =0,x=0 oux+4=0,x=0 oux=4. L"ensemble solution est doncS=f4;0g
Résolution dansRde l"équation 4x21=0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=0 etc=1 ). Icib=0, il est donc inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées.4x21=0,4x2=1,x2=14
,x=12 oux=12 . L"ensemble solution est doncS=12 ;123-2Inéquations du second degréMéthode générale :on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l"inéquation. On en déduit le signe du trinôme sur
R. On détermine alors l"ensemble solutionS, en cherchant les valeurs dexvérifiant l"inéquation.(Pour les bornes, on applique les
règles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes aux infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes si
l"inéquation est de la forme<0 ou>0 et sont fermées si l"inéquation est de la forme60 ou>0 .)
Remarque :Sib=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde
sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes.Exemples nécessitant le calcul du discriminant :
Résolution dansRde l"inéquationx2+4x560 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=5 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (4)24(1)(5) =36.
Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par
calculer les deux racines : x 1=bpD2a=4p36
21=462
=5x2=b+pD2a=4+p36
21=4+62
=1Signe du trinôme surR: (icia=1 est positif, donc le trinôme est positif à l"extérieur des racines et négatif à l"intérieur)1
reSérie Générale - Second degrécP.Brachet -www .xm1math.net3
x-∞ -51+∞x2+ 4x-5+0-0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+4x-5 est inférieur ou égal à 0. Cela
revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S= [-5;1]. Ce qui peut se vérifier
graphiquement :y x 1 -5ORésolution dansRde l"inéquation2x25x+3<0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=3 ).Calcul du discriminant :D=b24ac= (5)24(2)(3) =49.
Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par
calculer les deux racines : x 1=bpD2a=(5)p49
2(2)=574=12
x2=b+pD
2a=(5)+p49
2(2)=5+74=3
Signe du trinôme surR: (icia=2 est négatif, donc le trinôme est négatif à l"extérieur des racines et positif à l"intérieur)x-∞
-312+∞-2x2-5x+ 3-0+0-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2-5x+3 est strictement inférieur à 0. Cela
revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S=]-¥;-3[[]12
;+¥[. Ce qui peut se vérifier graphiquement :y x1/2-3+
-ORésolution dansRde l"inéquation2x2+5x4>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=4 ).Calcul du discriminant :D=b24ac=524(2)(4) =7.
Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea" , c"est à dire toujours négatif cara=2.
Signe du trinôme surR:4
c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degréx-∞+∞-2x2+ 5x-4-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2+5x-4 est supérieur ou égal à 0, ce qui
est impossible vu le tableau de signe. D"où,S=/0.Résolution dansRde l"inéquationx2+p2x+1>0 :
(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (p2)2-4(1)(1) =-2.Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea", c"est à dire toujours positif cara=1.
Signe du trinôme surR:x-∞+∞x
2+⎷2x+ 1+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+⎷2x+1 est strictement supérieur à 0, ce
qui est toujours le cas vu le tableau de signe. D"où,S=R. Résolution dansRde l"inéquation 4x2-4⎷3x+3>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=-4⎷3 etc=3 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (-4⎷3)2-4(4)(3) =0.Le discriminant est nul, la règle est donc "toujours du signe dea(c"est à dire toujours positif cara=4) et s"annule pour
la racine doublex1=-b2a=-(-4⎷3)24=⎷3 2Signe du trinôme surR:x-∞
⎷3 2+∞4x2-4⎷3x+ 3+0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels 4x2-4⎷3x+3 est strictement supérieur à 0, ce
qui est toujours le cas vu le tableau de signesaufpour⎷3 2 . D"où,S=R-( ⎷3 24Relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme
PROPRIÉTÉSoit un trinômeax2+bx+c(a6=0) dont le discriminantDest strictement positif. Les deux racinesx1etx2sont telles que :
x1+x2=-ba
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] Trouver les registres de 'et si c'était vrais' de marc Lévy !
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