Polynômes PDF fondamental de l'algèbre : «

Polynômes et racines

Considérons le cas d'un polynôme de degré 4. On écrit a4x4. + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 On peut alors trouver les ?i en fonction des coefficients ai.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Calcul du discriminant : ? = b2 ?4ac = (2)2 ?4(1)(?3) = 16. Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en

RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL

les racines de la fonction. 2 3 4 c'est-à-dire de résoudre l'équation 2 3 4 0. ... Or

Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Pour A = X3 + X et a = 1 on obtient : X3 + X = 2 + 4(X1) + 3(X1)2 + (X1)3. Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois ...

Cours de mathématiques - Exo7

On continue avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles

Polynômes

Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) Pour les racines montrer que P(x) = 2cos(narccos(x/2)). 4 ...

Exercices de mathématiques - Exo7

Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) Pour les racines montrer que P(x) = 2cos(narccos(x/2)). 4 ...

SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.

Polynômes

fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est

Chapitre 12 : Polynômes

07?/02?/2014 après en avoir trouvé une racine évidente. ... Exemple : Pour un polynôme de degré 4 ayant pour racines a b

Polynômes

Vidéo"partie 1. Définitions

Vidéo"partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo"partie 3. Racine d"un polynôme, factorisation

Vidéo"partie 4. Fractions rationnelles

Fiche d"exercicesPolynômes

Fiche d"exercicesFractions rationnelles

MotivationLes polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les

équations de degré2:aX2+bX+c=0. Savez-vous que la résolution des équations de degré3,aX3+bX2+cX+d=0,

a fait l"objet de luttes acharnées dans l"Italie duXVIesiècle? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de

trente équations de degré3à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout

les trente équations en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée

quelques années plus tard comme la " méthode de Cardan ».

Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l"arithmétique des polynômes.

Il y a une grande analogie entre l"arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème

fondamental de l"algèbre : " Tout polynôme de degrénadmetnracines complexes. » On termine avec les fractions

rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitreKdésignera l"un des corpsQ,RouC.

1. Définitions

1.1. DéfinitionsDéfinition 1.

Unpolynômeà coefficients dansKest une expression de la forme

P(X) =anXn+an1Xn1++a2X2+a1X+a0,

avecn2Neta0,a1,...,an2K.

L"ensemble des polynômes est notéK[X].

Lesaisont appelés lescoefficientsdu polynôme. Si tous les coefficientsaisont nuls,Pest appelé lepolynôme nul, il est noté 0.

On appelle ledegrédePle plus grand entieritel queai6=0; on le notedegP. Pour le degré du polynôme nul

on pose par convention deg(0) =1.

Un polynôme de la formeP=a0aveca02Kest appelé unpolynôme constant. Sia06=0, son degré est 0.Exemple 1.

X35X+34

est un polynôme de degré 3.

Xn+1 est un polynôme de degrén.

POLYNÔMES1. DÉFINITIONS2

2 est un polynôme constant, de degré 0.

1.2. Opérations sur les polynômes

Égalité.SoientP=anXn+an1Xn1++a1X+a0etQ=bnXn+bn1Xn1++b1X+b0deux polynômes à coefficients dansK.

P=Q() 8i ai=bi

et on dit quePetQsont égaux.

On définit :

P+Q= (an+bn)Xn+(an1+bn1)Xn1++(a1+b1)X+(a0+b0)

Multiplication.

SoientP=anXn+an1Xn1++a1X+a0etQ=bmXm+bm1Xm1++b1X+b0. On définit

PQ=crXr+cr1Xr1++c1X+c0

avecr=n+metck=X i+j=ka ibjpourk2 f0,...,rg. Multiplication par un scalaire.Si2KalorsPest le polynôme dont lei-ème coefficient estai.

Exemple 2.

SoientP=aX3+bX2+cX+detQ=X2+X+

. AlorsP+Q=aX3+ (b+)X2+ (c+)X+ (d+

PQ= (a)X5+ (a+b)X4+ (a

+b+c)X3+ (b +c+d)X2+ (c +d)X+d . EnfinP=Qsi et seulement sia=0,b=,c=etd=

La multiplication par un scalairePéquivaut à multiplier le polynôme constantpar le polynômeP.

L"addition et la multiplication se comportent sans problème :Proposition 1.

Pour P,Q,R2K[X]alors

0+P=P, P+Q=Q+P,(P+Q)+R=P+(Q+R);

1P=P, PQ=QP,(PQ)R=P(QR);

P(Q+R) =PQ+PR.Pour le degré il faut faire attention :

Proposition 2.

Soient P et Q deux polynômes à coefficients dansK.deg(PQ) =degP+degQdeg(P+Q)6max(degP,degQ)On noteRn[X] =P2R[X]jdegP6n. SiP,Q2Rn[X]alorsP+Q2Rn[X].

1.3. Vocabulaire

Complétons les définitions sur les polynômes.Définition 2. Les polynômes comportant un seul terme non nul (du typeakXk) sont appelésmonômes. SoitP=anXn+an1Xn1++a1X+a0,un polynôme avecan6=0. On appelleterme dominantle monôme anXn. Le coefficientanest appelé lecoefficient dominantdeP. Si le coefficient dominant est 1, on dit quePest unpolynôme unitaire.Exemple 3. P (X) = (X1)(Xn+Xn1++X+1). On développe cette expression :P(X) =Xn+1+Xn++X2+XXn+ Xn1++X+1=Xn+11.P(X)est donc un polynôme de degrén+1, il est unitaire et est somme de deux monômes :Xn+1et1.

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES3

Remarque.

Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.Mini-exercices.

1.SoitP(X) =3X32,Q(X) =X2+X1,R(X) =aX+b. CalculerP+Q,PQ,(P+Q)RetPQR. Trouver

aetbafin que le degré dePQRsoit le plus petit possible. 2.

Calculer (X+1)5(X1)5.

3. Déterminer le degré de (X2+X+1)naX2nbX2n1en fonction dea,b. 4. Montrer que sidegP6=degQalorsdeg(P+Q) =max(degP,degQ). Donner un contre-exemple dans le cas où degP=degQ. 5. Montrer que si P(X) =Xn+an1Xn1+alors le coefficient devantXn1deP(Xan1n )est nul.2. Arithmétique des polynômes

Il existe de grandes similitudes entre l"arithmétique dansZet l"arithmétique dansK[X]. Cela nous permet d"aller

assez vite et d"omettre certaines preuves.

2.1. Division euclidienneDéfinition 3.

SoientA,B2K[X], on dit queBdiviseAs"il existeQ2K[X]tel queA=BQ. On note alorsBjA.On dit aussi queAest multiple deBou queAest divisible parB.

Outre les propriétés évidentes commeAjA, 1jAetAj0 nous avons :Proposition 3.

Soient A,B,C2K[X].

Si A jB et BjA, alors il existe2Ktel que A=B.

Si A jB et BjC alors AjC.

Si C jA et CjB alors Cj(AU+BV), pour tout U,V2K[X].Théorème 1(Division euclidienne des polynômes).

Soient A,B2K[X], avec B6=0, alors il existe un unique polynôme Q et il existe un unique polynôme R tels que :A=BQ+R etdegR Notez que la condition degREnfinR=0 si et seulement siBjA.

Démonstration.

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Polynômes

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Fiche d"exercicesPolynômes

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1. Définitions

1.1. DéfinitionsDéfinition 1.

P(X) =anXn+an1Xn1++a2X2+a1X+a0,

L"ensemble des polynômes est notéK[X].

X35X+34

Xn+1 est un polynôme de degrén.

POLYNÔMES1. DÉFINITIONS2

2 est un polynôme constant, de degré 0.

1.2. Opérations sur les polynômes

P=Q() 8i ai=bi

On définit :

P+Q= (an+bn)Xn+(an1+bn1)Xn1++(a1+b1)X+(a0+b0)

Multiplication.

PQ=crXr+cr1Xr1++c1X+c0

Exemple 2.

SoientP=aX3+bX2+cX+detQ=X2+X+

PQ= (a)X5+ (a+b)X4+ (a

Pour P,Q,R2K[X]alors

0+P=P, P+Q=Q+P,(P+Q)+R=P+(Q+R);

1P=P, PQ=QP,(PQ)R=P(QR);

Proposition 2.

1.3. Vocabulaire

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES3

Remarque.

1.SoitP(X) =3X32,Q(X) =X2+X1,R(X) =aX+b. CalculerP+Q,PQ,(P+Q)RetPQR. Trouver

Calculer (X+1)5(X1)5.

2.1. Division euclidienneDéfinition 3.

Soient A,B,C2K[X].

Si A jB et BjA, alors il existe2Ktel que A=B.

Si A jB et BjC alors AjC.

Démonstration.

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