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ANNALES DE L"INSTITUTFOURIERMICHELPARREAU

Surlesmoyennesdesfonctionsharmoniqueset

Annales de l"institut Fourier, tome 3 (1951), p. 103-197 © Annales de l"institut Fourier, 1951, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Annales de l"institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l"accord avec les conditions gé- nérales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systématique est constitutive d"une in- fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

SUR LES MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES

ET

ANALYTIQUES

ET LA

CLASSIFICATION

DES

SURFACES

DE

RIEMAN

N par M.

PARREAU

Paris)

INTRODUCTION

L'obje

t de ce travai l est l'étud e des moyenne s des fonction s har- monique s et analytique s su r les surface s de

Rieman

n ouvertes etl'application qu'on peut en faire au problème de la classification de ces surfaces La théori e des surface s de

Rieman

n ouvertes, consi- dérée s comme variété s abstraites a fai t de grand s progrès au cours de ces quinz e dernière s années surtou t grâce au x travau x de l'écolefinlandaise, notamment de R. Nevanlinna, P. J. Myrberg, L.AhIfors, L.

Sario,

K I.

Virtanen

auxquel s il fau t joindr e A

Pfluger

M Heins etc.. 1 Ces divers auteur s ont

étudi

particulièremen tles fonctions bornées ou à intégrale de Dirichlet finie, et ont pris comm e critères pou r la classification l'existenc e ou la non-existence de fonction s harmonique s ou analytique s non constante s appartenan t l'un e de ces catégories. J'a i essayé ici de montre r qu'o n peu tobtenir des résultats intéressants en imposant aux fonctions f

étudiée

s la condition de born e suivant e lyi adme t un e majorant e harmoniqu e (avec x i et mêm e a o pou r les fonction s analy-tique). C'est surtout des fonctions harmoniques qu'il sera question ici on leu r imposera souven t l a condition plus générale

étan

t donn un e fonctio n convex e dan s [o, -l-oo[, adme t un emajorante harmonique (2). 4 Voir la bibliographi e placée la fi n de ce mémoire Les numéro s entr e crochets qui suiven t le no m d'u n auteu r renvoien t cette bibliographie 2

L'introductio

n des classes plu s générale s (HM(},) est du e R

NEVANLINN

A [8]

Laplupart des résultats établis ici sont encore valables pour les fonctions harmoniques définies

dans u n espace de Green (cf. M. BRELO T e t G.

CHOQUE

T [i]).

10^ M. PARREAU

Dans l e premie r chapitre après avoi r rappelé u n certai n nombr e de définitions j e reprend s la solutio n du problèm e de

Dirichle

t pou r u n domaine relativemen t compact pa r la méthod e de

Perron

Brelot,

qui s'éten d san s difficult un e surfac e de

Riemann

carie s propriétés des fonction s harmonique s ou sous-harmonique s qu i y sont utilisées sont essentiellement des propriété s locales.

L'exposé

de cette méthode, dan s l e cas plus général des espaces de Green est faiquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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