[PDF] Algèbre de Boole Exercice 2 : Donner l'équation

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Master MEEF CAPES Maths Option Informatique

Hamid Ladjal

hamid.ladjal@univ-lyon1.fr hamid.ladjal@liris.cnrs.fr

Logique combinatoire et représentation

numérique des données 2 1) logique combinatoire

2)Circuits combinatoires

3)Représentation et codage des données

Plan

Logique combinatoire

Opérateurs de base

Propriétés

Circuits combinatoires

3 4

Introduction

circuitsélectroniques. Chaque circuit fournit une fonction logiquebien déterminée; opérations logiques ou arithmétiques (addition, soustraction,

Circuit

AF(A,B)

B 5 Pour concevoir et réaliserce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonctionréalisée par ce circuit .

Ce modèle doit prendre en considération le

système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de

Boole.

Introduction

Algèbre de Boole

6

1854 : Georges Boole propose une algèbre

Propositions vraies ou fausses

et opérateurs possiblesAlgèbre de Boole

Étude des systèmes binaires :

Possédant

(des sous ensembles : les circuits logiques)

Algèbre binaire

7

Définitions:

États logiques: 0 et 1, Vrai et Faux, H et L (purement symbolique)

Variable logique: Symbole pouvant prendre

comme valeur des états logiques (A,b,c, Out ...)

Fonction logique

( f = not(a)^ (c OR r.t) ) Propriétés indispensables aux systèmes logiques

Calcul propositionnel

8 Algèbre de Boole sur [0,1] = algèbre binaire

2 lois de composition interne(LCI)

1 application unaire

2 LCI : ET, OU

Somme (OU, Réunion, Disjonction)

s = a + b = a v b

Produit (ET, intersection, Conjonction)

s = a . b = ab = a ^ b

Application unaire :

Not (complémentation, inversion, négation, non) s = a = not(a) = a

Fonctions logiques

9

Fonction logiqueà n variables f(a,b,c,d,...,n)

[0,1]n [0,1] Une fonction logique ne peut prendre que deux valeurs

Les cas possibles forment un ensemble fini ( 2n)

Descriptions, preuves possibles par énumération comparer f(a,b,c,..n) et g(a,b,c,..,n) = comparer les tables représentant f et g La table de fonction logique = table de vérité 10

Opérateurs logiques de base

11

OU ( OR )

Le OUest un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser la somme logique entre deux variables logiques.

Le OU fait ladisjonction entre deux variables.

Le OU est défini parF(A,B)= A +B ( il ne faut pas confondre avec la somme arithmétique)

ABA + B

000 011 101
111
12

ET ( AND )

Le ETest un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser le Produit logique entre deux variables booléennes.

Le ETfait laconjonction entre deux variables.

Le ET est défini par: F(A,B)= A.B

ABA .B

000 010 100
111
13

NON ( négation )

NON: est un opérateur unaire ( une seule variable) qui à inverser

F(A)= NonA =

( lire : A barre ) A 01 10 A

Tables de vérité de ET, OU, NON

14 ab s = a + b 01 0 1 01 11 s = a . b ab01 0 1 00 01

S est vrai si a OU b

est vrai.

S est vrai si a ET b

sont vrais. a 0 1 1 0 s = a

S est vrai

si a est faux a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b s

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a s

0 1

1 0

Deux autres opérateurs : NAND,NOR

15 s = a b = a+b ab01 0 1 10 00

S est vrai si ni a, ni b

ne sont vrais.

NOR (Not-OR)

ab s = a b = a.b 01 0 1 11 10

S est vrai si a OU b

est faux.

NAND (Not-AND)

NAND et NOR ne sont pas associatifs

Encore un opérateur : XOR

16

S est vrai si a OU b est vrai mais pas les deux.

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