Opérations sur les matrices
On note Mpq l'ensemble des matrices `a p lignes et q colonnes. On peut additionner deux telles matrices : L'addition des matrices est commutative.
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cas alors leur produit est une nouvelle matrice (C) qui possède le même nombre Montrons que la multiplication de deux matrices n'est pas commutative en ...
Sous-algèbre commutative définie dans lensemble des matrices
5 févr. 2014 Matrices bisymétriques. 13. CHAPITRE 2. 25. MATRICES BISYMETRIQUES COMMUTATIVES – ESPACE VECTORIEL BSCn () –. SOUS-ALGEBRE COMMUTATIVE BSCn ...
Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A c'est-à-dire telles que AM =.
Sur les sous-algèbres commutatives de M n (k)
12 oct. 2020 Mots-clés: Matrice partie commutative
MATRICES
Les nombres sont appelés les coefficients de la matrice. Exemple : est une matrice de taille 2 x 3 La multiplication de matrices n'est pas commutative :.
les matrices sur Exo7
A+ B = B + A : la somme est commutative. 2. A+ (B + C)=(A+ B) + C : la somme est associative
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Definition. 2. The matrix A is k-commutative with respect to B where A and B are nXn matrices
Introduction to Matrices - Massachusetts Institute of Technology
matrix (A) and the corresponding elements in the jth column of the second matrix (B) NoticethattheproductABisnotde?nedunlesstheaboveconditionissatis?edthatisthe numberofcolumnsofthe?rstmatrixmustequalthenumberofrowsinthesecond Matrixmultiplicationisassociativethatis A(BC)=(AB)C (15) butisnotcommutativeingeneral AB= BA (16)
Matrix algebra for beginners Part I matrices determinants
you can add any two n×m matrices by simply adding the corresponding entries We will use A+B to denote the sum of matrices formed in this way: (A+B) ij = A ij +B ij Addition of matrices obeys all the formulae that you are familiar with for addition of numbers A list of these are given in Figure 2
Matrices and Linear Algebra - Texas A&M University
Matrices and Linear Algebra 2 1 Basics De?nition 2 1 1 A matrix is an m×n array of scalars from a given ?eld F The individual values in the matrix are called entries Examples A = ^ 213 ?124 B = ^ 12 34 The size of the array is–written as m×nwhere m×n cA number of rows number of columns Notation A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n
Chapter 3 Matrices - Trinity College Dublin
matrices to be the ‘same’ matrix only if they are absolutely identical They have to have the same shape (same number of rows and same number of columns) and they have to have the same numbers in the same positions Thus all the following are different matrices 1 2 3 4 6= 2 1 3 4 6= 2 1 0 3 4 0 2 4 2 1 3 4 0 0 3 5 3 2 Double subscripts
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What is matrix algebra?
Introduction to Matrices Modern system dynamics is based upon a matrix representation of the dynamic equationsgoverning the system behavior. A basic understanding of elementary matrix algebra isessential for the analysis of state-space formulated systems.
How many matrix multiplications are there?
0 0 2Note there are two matrix multiplications them, one for each Type 3 ele-mentary operation. by row operations. Called theRREF, it has the following properties. Each nonzero row has a 1 as the?rst nonzero entry (:=leading one). (b) All column entries above and below a leading one are zero.
Which matrix is skew symmetric?
The left matrix is symmetric while the right matrix is skew-symmetric.Hence both are the zero matrix. =(A+AT)+(AAT). Examples. A= is skew-symmetric. Let =(B?(B+BT). An important observation about matrix multiplication is related to ideasfrom vector spaces. Indeed, two very important vector spaces are associatedwith matrices.
What is the operation of addition of two matrices?
Elementary Matrix Arithmetic The operation of addition of two matrices is only de?ned when both matrices have the samedimensions. IfAandBare both (m×n), then the sum A+B=B+A. (9) cij =aij ?bij. (11) ij =k×aij. (12) in fact unless the two matrices are square, reversing the order in the product will causethe matrices to be nonconformal.
F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche aide-mémoire 7 :
Commutant d"une matrice.
Beaucoup de sujets de concours s"intéressent à la détermination du commutant d"une matriceA:
Définition :
SoitAune matrice carrée d"ordren.
On appellecommutant deAl"ensemble des matricesMqui commutent avecA, c"est-à-dire telles queAM=MA. On le note généralementC(A). Ainsi :
C(A) =fMatricesMtelles queAM=MAg=fMjAM=MAg:
Les questions concernant le commutant sont souvent les mêmes. Les résultats suivant sont à retenir.
1 Des remarques pour commencer
•La matrice nulle deMn(R)appartient àC(A). En effet,0A= 0etA0 = 0. •La matrice identité deMn(R)appartient àC(A). En effet,AI=AetIA=A. •La matriceAappartient àC(A). En effet,A:A=A2etA:A=A2(!). •Les puissances deAappartiennent àC(A). En effet,A:Ak=Ak+1etAk:A=Ak+1, ce8k2N.2 Le commutant deAest un sous-espace vectoriel deMn(R).
Ce résultat se démontre de deux façons :
2.1 Démonstration directe
•SiMcommute avec la matriceAqui est carrée d"ordren, alors les produitsAMetMAont tous les deux
un sens :Mest donc carrée d"ordren. Ainsi,C(A) Mn(R). •La matrice nulle (au choix, ou l"identité, ouA) appartient àC(A), doncC(A)6=;. •SoientMetNdeux matrices deC(A). Alors par définitionAM=MAetAN=NA. Montrons que M+N2C(A). CommeAM=MAetAN=NA, on aA(M+N) =AM+AN=MA+NA= (M+N):A, ce qui montre queM+N2C(A). •SoitMune matrice deC(A)et2R. Alors par définitionAM=MA. Montrons queM2C(A). Comme AM=MA, et que2Ron aA(M) =(AM) =(MA) = (M)A. Ainsi,M2C(A). •Finalement,C(A)est un sous-espace vectoriel deMn(R).2.2 Le commutant vu comme le noyau d"une application linéaire.
On remarque, comme précédemment, queC(A) Mn(R). On considère l"applicationA:Mn(R)! Mn(R)
M7!AMMA:
•'Aest un endomorphisme deMn(R). En effet, on remarque déjà que l"ensemble de départ et d"arrivée de
Asont les mêmes. Il suffit donc de montrer que'Aest linéaire. SoientMetNdeux matrices carrées d"ordren,
etdeux réels. Alors'A(M+N) =A(M+N)(M+N)A=AM+ANMANAcaret sont des réels. D"autre part,'A(M)+'A(N) =(AMMA)+(ANNA) =AMMA+ANNA et donc'A(M+N) ='A(M) +'A(N). Ainsi,'est linéaire. •Ker('A) =C(A). En effet, soitM2Ker('A). AlorsAMMA= 0, doncAM=MA:M2C(A)et donc Ker('A)C(A). Réciproquement, soitM2C(A). AlorsAM=MA, doncAMMA= 0ce qui prouve queM2Ker('A)et donc queC(A)Ker('A). Finalement, on a bien Ker('A) =C(A). •C(A)est un sous-espace vectoriel deMn(R): c"est le noyau d"un endomorphisme deMn(R). 1/2 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-20153 Commutant d"une matrice diagonale
Pour trouver le commutant d"une matrice diagonale (ou d"une matrice "simple" au sens où elle comporte
beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre
un système den2équations àn2inconnues.Il peut être utile de retenir que :
•Multiplier à droite une matriceMpar une matrice diagonaleD(i.e. faire le produitMD) revient à multiplier
les colonnes deMpar les coefficients correspondants deD.•Multiplier à gauche une matriceMpar une matrice diagonaleD(i.e. faire le produitDM) revient à multi-
plier les lignes deMpar les coefficients correspondants deD.Exemple :Cherchons le commutant deD:=0
@0 0 0 01 00 0 11
A SoitMune matrice deC(D). CherchonsMsous la formeM=0 @a b c d e f g h i1 A . On aMD=0 @0b c 0e f 0h i1 A et DM=0 @0 0 0 def g h i1 A doncMD=DM()( b= 0; c= 0;d= 0 f=f; g= 0; h= 0()M=0 @a0 0 0e0 0 0i1 AFinalement,C(D)est formé de toutes les matrices d"ordre3diagonales. C"est donc un sous-espace vectoriel
deM3(R)de dimension3. Précisément, une base en est0 @0 @1 0 0 0 0 00 0 01
A ;0 @0 0 0 0 1 00 0 01
A ;0 @0 0 0 0 0 00 0 11
A1 A (on a vuque cette famille était génératrice puisque on a trouvé queMs"écritafois la première plusefois la deuxième
plusifois la troisième), et on montre aisément qu"elle est libre). Remarque :En fait, dans le cas oùDest diagonale,et que toutes les valeurs propres deDsont deuxà deux distinctes(i.e. les coefficients diagonaux deDsont tous différents),C(D)est l"ensemble des matrices
diagonales. Dans ce cas, on peut même montrer queI;D;D2;:::;Dn1est une base deC(D)(rappelons que nest l"ordre deD). Exemple (retour). Montrons que(I;D;D2)est une base deC(D). Comme c"est une famille de trois vecteurset queC(D)est de dimension trois, il suffit de montrer que la famille est libre. Soienta;b;ctrois réels
tels queaI+bD+cD2= 0. CommeaI+bD+cD2=0 @a0 0 0a0 0 0a1 A +0 @0 0 0 0b0 0 0b1 A +0 @0 0 0 0c0 0 0c1 A 0 @a0 00ab+c0
0 0a+b+c1
A ,aI+bD+cD2= 0donne immédiatement8 :a= 0 b+c= 0 b+c= 0, donca=b=c= 0: la famille(I;D;D2)est libre. Finalement,(I;D;D2)est une base deC(D).4 Cas général : obtention du commutant par diagonalisation!
SiAest diagonalisable, on peut trouver une matricePinversible, et une matrice diagonaleD, telles queA=
PDP1. On remarque alors queAM=MA()PDP1M=MPDP1()DP1M=P1MPDP1()DP1MP=
P1MPD()DN=NDoùN=P1MP.
Ainsi, on a l"équivalenceM2C(A)()N2C(D)oùN=P1MPetA=PDP1. On peut donc déduire le commutant deAde celui deD. Remarque :dans tous les cas, laissez-vous guider par l"énoncé! 2/2quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] matrice cours et exercices pdf
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