Traitement Numérique du Signal Polycopié dexercices corrigés
Le filtre défini par l'équation 1.7 est il causal ? Justifiez votre réponse. 1.3.3 Exercice 3 : synthèse d'un filtre passe-bas de type RIF. On veut
SAT ENS ENSSAT
19 sept. 2005 Analyse du filtre RIF Nous considérons un filtre RIF de longueur N = 8 dont l'équation ... – On prendra N = 7 dans la suite de l'exercice.
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Caractérisations des filtres numériques. ? Réponse impulsionnelle. ? Equation aux différences
ÉlectroniqueetInfo rmatiqueIndustrielle2
nde année- EII219septembre 2005
TraitementNumériqueduSignal
Fasciculedetravaux dirigéset examens
OlivierSentieys, DanielMénard
ENSSAT-Universitéde Rennes1
sentieys@enssat.fr http://www.irisa.fr/R2D26Rue deKerampont -BP447
22305LANNION- France
IRISA - ENSSAT
SATENSENSSAT
Institutde RechercheenInfo rmatiqueetSystèmes Aléatoires ÉcoleNationaleS upérieured eSciencesAppliquéesetdeTechnologieTechnopôleAnticipaLannion
iiTabledesmatières
1.1Analyse desfiltresnumérique s........ .............. .......1
1.1.1Celluleélé mentairedupremierord reRII...................1
1.1.2Celluledu secondordreRIIpuremen trécur sive.............. ..1
1.1.3Analysed'un filtrenumériqueRIF.. ............ .........2
1.1.4Filtragenumérique RIF(1) ... ... ..... ... ... ... ... ... 4
1.1.5Filtragenumérique RIF(2) ... .. ...... ... ... ... ... .. .4
1.1.6Filtragenumérique RIFc ascade.. ... ...... ... .. ... ... ..4
1.1.7É tudedesfiltresnumériquesRII envirgulefixe ... ... ..... ... ..5
1.2Synthèse desfiltresRII. ... ... ...... .. ... ... ... ... ... ..9
1.2.1Filtrepasse basdu deuxièmeo rdre.. ..... ...... ...... ... 9
1.2.2Filtrepasse haut. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..10
1.3Synthèse desfiltresRIF... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .. .10
1.3.1Méthodedufe nêtrage............. ...... ..........10
1.3.2Métho dedel'échantillonnagefréquentiel..... ... .. ... ... ... 11
1.4Trans forméedeFourierDiscrèteetRapide(T FDetTF R)..............13
1.4.1TFDbidimensionnelle.... ... ... .. ... ... ... ... ... ..13
1.4.2Transformée deFourierGlissante........... ..... .......13
1.4.3Transformée deFourierenBase4............. ..... ....13
1.4.4Optimisationdu calculdela TFRd'unesuite denombres réels. ... ... 13
1.4.5Optimisationdu calculdela TFRdedeux suitesdenomb resréels ... ..14
1.4.6ComparaisonentreTFSDetTFD ...... ... .. ... ... ... ..14
1.4.7TFDparconvo lution... ........ ..................15
1.4.8BruitsdanslaTFD. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 15
1.4.9Étude desbruitsdec alculdans latransformée deFourierRapide. .....16
1.4.10CalculsdeTFD... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 17
1.4.11Transforméee ncosinusdiscretrapide........ ...... .......17
1.5Analyse spectrale........ .......................... .19
1.5.1Questions..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .19
1.5.2Analysespe ctraled'unsignals inusoïdal................. ...19
1.5.3Analysespe ctraled'unsignal. ........................19
1.6Convolu tion......................... ... ... .. ... ..19
1.6.1Calculd'un econvolution...... ............... ......19
1.6.2Complexitéd ecalculd'uneconvolution.... ..... ...........20
1.7Interpolationet décimation..... ... ... ... .. ... ... ... ... ..20
1.7.1Interpolationlinéaire... ...... .. ... ... ... ... ... ... .20
11.7.2Suréchantillonnage ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 20
2Cor rectionsdesTravauxDirigésenTN S21
2.1Analyse desfiltresnumérique s........ .............. .......21
2.1.1Celluleél émentairedupremieror dreRII...................21
2.1.2Celluledus econdordreRIIpurement récurs ive............... .21
2.1.3Analysed'un filtrenumériqueRIF.. ............ .........21
2.1.4Filtragenumérique RIF(1) ... ... ..... ... ... ... ... ... 21
2.1.5Filtrage numériqueRIF( 2).. ... ...... .. ... ... ... ... .21
2.1.6FiltrageNumérique RIFcascade ... ... ..... ... ... ... ... 23
2.1.7Étude desbruitsdec alculdans lesfiltresnumériquesRI I..... .....23
2.2Synthèse desfiltresRII.. ... .. ...... ... ... ... ... .. ... ..23
2.2.1Filtrepasse basd udeuxième ordre. ...... ..... ...... ... .23
2.2.2Filtrepasse haut.. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .23
2.3Synthèse desfiltresRIF... ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... .23
2.3.1Méthodedu fenêtrage............ ...... ...........23
2.3.2Métho dedel'échantillonnagefréquentiel.... ... ... .. ... ... .24
2.4Transf orméedeFourierDiscrèteetRapide(TF DetTFR )..............26
2.4.1TFDbi-dimensionnelle.... ... ... .. ... ... ... ... ... ..26
2.4.2Transformée deFourierGlissante........... ..... .......26
2.4.3Transformée deFourierenBase4............. ..... ....26
2.4.4Optimisationdu calculdela TFRd'unesuite denombres réels. ... ... 26
2.4.5Optimisationdu calculdela TFRdedeux suitesdenomb resréels ... ..26
2.4.6Comparaison TFTDetTFD... ... ... .. ... ... ... ... ..27
2.4.7TFDparconvo lution... ........ ..................28
2.4.8CalculsdeTFD.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .28
2.4.9Transformée enCosinusRapide............... ..... ....29
2.5Analyse spectrale........ .......................... .31
2.5.1Questions..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .31
2.5.2Analysespe ctraled'unsignals inusoïdal................. ...32
2.5.3Analysespe ctraled'unsignal. ........................32
2.6Convolu tion......................... ... ... .. ... ..32
2.6.1Calculd'un econvolution...... ............... ......32
2.6.2Complexitéd ecalculd'uneconvolution.... ..... ...........32
2.7Interpolationet décimation..... ... ... ... .. ... ... ... ... ..32
2.7.1Interpolationlinéaire... ...... .. ... ... ... ... ... ... .32
2.7.2Suréchantillonnage ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 32
3Exa mens33
3.1DSnovemb re2004 ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..33
3.2DSnovemb re2003. ...... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .37
3.3DSnovemb re2002. ...... ... ... .. ... ... ... ... ... ... .41
3.4DS novembre2001 ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..44
2 34Cor rectionsdesexamens49
4.1Co rrectionduDSdedécembre 2004.. ... ... ..... ... ... ... ... 49
4.2Correction duDSdenovembre2003 ... ... .. ...... ... ... ... ..52
4.3Correction duDSdenovembre2002 ... ... .. ...... ... ... ... ..54
4.4Correction duDSdenovembre2001 ... ... .. ...... ... ... ... ..56
AAbaquesdefiltrageanalogique59
A.1Filtresde Butterworth ... ........ ... ... ... ... ... ... ... .59 A.2Filtres deB essel..... ...... ... .. ... ... ... ... ... ... .. 59 A.3Filtresd eC hebyshev.... ......... .. ... ... ... ... ... ... .62 A.4Filtrese lliptiquesde Cauer.... ..... ...... ... ... ... .. ... .63Chapitre1
TravauxDirigésenTraitement
Numériquedu Signal
1.1Analyse desfiltresnumériques
1.1.1Celluleélémen tairedu premierordreRII
Soitlesystè mequi,à lasuitededonnéesx(n),f aitcorrespon drelasuitey(n)telleque: y(n)=x(n)+b.y(n-1) oùbestuneconstan te.1.Donn erlesréponsesimpul sionne llesetindiciellesdecesys tème.pardeuxméthodes
(suitenumérique, transforméeenZ).Que peutondir edelastabilit édufil tre.2.Étud ierl'analogieaveclesy stèmecontinudeconstantedetemp st,échantillonnéavec
lapé riodeT.3.Étudierla réponse fréquentielle dufiltre.
4.Donn erlastructurederéa lis ationdufiltre.
1.1.2Celluledu secondordreR II purementr écursive
Soitlesystèm equi,àl asuitededonnéesx(n),fa itcorrespond relasuitey(n)telleque : y(n)=x(n)-b 1 .y(n-1)-b 2 .y(n-2)1.Donn erlafonctiondetran sfe rtenZdusystème.
2.Endéduire laréponse impulsionnelledufiltre numérique.
3.Étudierla réponsefréquen tielledufiltre. Onregarderaplusparticulièrementl'influence
descoe ffi cientsb 1 etb 2 surlespôl esdelaf onctiondetransf ertH(z).4.Tracer lediagrammedespôles etzéros.
5.Don nerlesstructuresder éalis ation.
12TravauxDirigésenTrai tementNumériqueduSig nal
xy h0 h2 h3 h4 h6 T TTTTT T T T TFig.1.1:FiltreFIR
1.1.3Analysed'un filtrenumérique RIF
Soitunfiltre àréponse impulsionnellefiniedon tlesc hémadefonctionnementdans ledomaine temporelestdonnéfigure 1.1.Onp oseT
e lapério ded'échantillonnagedusystèmenumérique,T e =1.1.1.3.1E tudedelaréponse fréquentielle
1.Donn erlesexpressionsde l'équa tionauxdi
fférencesfiniesainsique lafonctiondetra ns-
fertenZ.2.Dét erminerettracerlaréponseimpuls ionnel leh(n)dufiltr e,lorsqueh
1 =h 5 =0.1, h 2 =h 4 =-0.3,h 3 =0.49.3.Calculerla réponsef réquentielleH(e
jΩ )dufilt re.Déterminersonmod uleetsaphase.Onnoteque :
e -jΩ 1 +e -jΩ 2 =2×e -j 1 2 2×cos(
2 1 24.Don nerlesvaleursdumodul eenΩ=0,π/2,,π,2π.
5.Tra cerapproximativeme ntsonmodule.Dequeltypedefiltres'agit-il?
1.1.3.2Description lel'architectureDSPcible
Nousavonsunc alculateurdety peDSP( spécialisédansletraitementdusigna l)don tles caractéristiquessont lessuivantes: -lec ycl ed'horlogeestd e100ns -les opérat ionsd'accumulation,oudemultip lication/additionsontexécutéesenuncycle; -les calcul ssontréalisésensimpl eprécision; -les donnée senentréeetensortied umulti plieursontcodéess urbbits; -les donnée senentréeetensortied el'add itionneursontcodé essurbbits; -les donnée ssontstockéesenmémoi resurbbits; -leb itd esignered ondan tissudelamultip licationn'estpasautomatiqu ementélimin é;1.1Analysedes filtresnumériques 3
-lalo id equant ificati onutiliséeestl'arrondi.1.1.3.3Complexitéd el'implantation dufiltre
1.Quel leestlacomplexitéd ufiltretel quer éaliséfigure1.1ennombredemulti plica tions
etd'ad ditions.Quelestlenombredemotsmémoiresn écessairesà l'exécuti ond ucalcul. (onconsidéreraune complexitépour Npointsdusignald' entrée traités).2.Quelleest danscecas lafréquenced'éc hantillonnagemaximale dusignal?
3.Donnerun schéma deprincipe deréalisationdufiltredansledomainefréquen tiel.Quelle
estlacomp lex itéalgorithmiquedecettenouvel lesolution(opérationsetmotsmémoire)? Comparerlesdeux approches, laméthode fréquentielleest-elleexacte?4.Donn erlecodeCdel'appli cat ionutilisant l'a rithm étiquevirguleflottante.
1.1.3.4Étude del'implantationdufiltreen virgulefixe
Lesdonnéesd'en tréeetde sortiesonts tock éesen mémoire.Nousconsidéronsquel'entrée du
filtreestcomprise dansl'interv alle]-1,1[.1.Dét erminerladynamiquedelasortiedu filtrey(n)àpa rtirdelanormedeChe bychev .
Endéduirele codagede lasortie.
2.Déterminerla positionde lavirguledes variablesintermédiairesetdes coe
ffi cients.3.Déterminerle codagedes variablesin termédiairesetdescoe
ffi cients.4.Ide ntifierlessourcesdebruitslié esàlaqua ntificationd'unsignal ausein dufiltre.
Rappelerbrièvementle modèledequantificationd'unsignaln umérique.5.Lebr uiteng endréparlesign alenentréedufiltreestnég ligé.Donn erlapui ssancede
bruitσ 2 f ensortiedu filtre.6.Main tenant,lesignald'entréeestbruitép arl 'opérationdequant ification(onnotela
puissancedece bruitσ 2 e ).Quelleest danscecas lapuissancedu bruitensortie ?Que conclure?7.Lesignal d'entréeest unesignalsin usoïdalde1Vcrête.Quelestlapuis sancedece
signal?Déterminerlerapport signalà bruitenen tréeetensortie dufiltre.8.Quelserait lenombre debitsp ourobtenirun RSBensortiesupérieure à40dB?
Onrapp ellequelerapportsignalàb ruitestdo nné parlarelation: RSB=Puissancedusignal
Puissancedubruit
2 x 2 b RSB dB =10log 2 x 2 b4TravauxDirigésenTrai tementNumériqueduSig nal
1.1.4Filtragen umériqueRIF(1)
Soitlefiltre numériques uivant :H(z)=0,1.(z
-1 +z -3 )+0,2.z -2Onpo seraT
e1.Donnezet tracezsa réponseimpulsionnelle h(n).Quellessontsescaractéristiques.
2.Calc ulezlaréponsefréquentie lledus ystème.Tracezsonmodul eetsaphase.Onmontrera
quelaphase dufi ltreestlinéair e.Donn ezlafréquencede coupureà- 3dB.3.Quel typedefiltrees tréalisé ?
4.Donnezl'expression delasortie y(n)dufiltreen fonctionde l'entréex(n).Calculezet
dessinezlesignaldesortie du filtrey(n)pourn=0...7lorsquel'entrée est: x(n)=1n=0,1
0ailleurs
1.1.5Filtrage numériqueRIF (2)
Soitle filtrederép onseimpulsionnellesuiv ante: h(n)=a 0δ(n)+a
1δ(n-1)+a
2δ(n-2)+a
1δ(n-3)+ a
0δ(n-4)
1.Donnerl'expression del'équation auxdi
fférencesfiniesde cesfiltreset desa fonction de
transfertenZ2.Endéduire laréponse fréquentielle H(e
jΩ ),p uisl'express iondesonmoduleetdesa phase.3.Calculerles valeursdu modulep ourΩ=0,π,2π,
24.Déte rmineroùsetrouveleminimumetlem aximum decem odule.Endéduireque lt ype
defiltrep eutêtreréalisé parh(n).5.Trou verlesvaleursdescoe
ffi cientsa i telsque|H(e jΩ )|soitégal à1,0.5,0en,respecti- vement,Ω=0, 2π,aveca
i ≥0?i6.Chercher F
c lafréquencede coupureà-3dBdufiltresi lafréquenced'éc hantillonnage F e =40 kHz1.1.6Filtragen umériqueRIFcascade
Soitlesfiltres dusecondordre suivant :
H i (z)=b i 0 +b i 1 z -1 +b i 2 z -2 ,i=0···21.1.6.1Étude desfonctionsde transfert
1.Donnerl'expression del'équationaux di
fférencesfiniesde cesfiltres
2.Donnerune structurederéalisation decesfiltres
3.Donn erlesynoptiqued'un emi sesousformeparallèledecesfiltr esquel'onnotera M(z)
4.Donn erlesynoptiqued'un emi sesousuneformecascadedecesfil tresquel'onnoter a
N(z)5.Endéduire lesf onctionsdetransfert M(z),N(z)enfonctiondes b
i j1.1Analysedes filtresnumériques 5
1.1.6.2É tudedelacomplexitéd'uneimplan tationcascade
1.Quel leestlacomplexitéd ufiltraget ypeN(z)ennombre demultiplicationsetd'addi-
tions?2.Onco nsidèr eunesignalaudiodequalitéHiF ienentré edufiltre(F
e =44.1kHz),quel doitêtrelete mpsdecyclee tlacapa citémémoired'u nemach ineréalisantmul tipli cat ion etadditionen parallèle?1.1.6.3E tudedesbruitsde calcul
Lesdonnée sdel'entréeetdelasort iesont codéessurdesmotsdebbitsutilesen complément à2. Ladyna miq uedesnombresest[-1,1].Lama ch inedetraitementpos sèdeu niquementdes opérateurstravaillan tsurbbits.1.Expr imerlebruitensortied'unfi ltr eH
i (z)enfon ctiondubruitenentréedan slescas oùlesc oe ffi cientsmultiplicat ifsinfluentsurlepuissancedubruit2.Endéduire lebruiten sortiedu filtreN(z)encons idérantquelebruitenentréedufiltre
provientdelaconversionanalogique numérique.L'ordre delamise encascadea-t-elle uneinfluence ?3.Quel leestlavaleurmaxima ledusigna ld' entréed'unfiltreH
i (z)pourqu'iln 'yaitpas dedébordemen tdecalcul?Exprimercerésultaten fonctiondes b i j4.En déduirelav aleurmaximaledu signald'entrée dufiltreN(z)pouréviter toutdébor-
dement.1.1.6.4Applicationn umérique
Lescoe
ffi cientssontlessuiva ntspourlestr oisfil tresélémentaires: b i 0 =0.5,b i 1 =0.75,b i 2 =0.5,i=0···21.Donn erlaréponseimpulsi onn ellepuisfréquentiell edesfiltresH
i (z),puisdufiltreN(z)2.Don nerlebruitensortied ufi ltreN(z),puissadynamiquemaximaleenentrée.Expliquer
commentempêcherles débordements.1.1.7Étudedes filtresnumériques RIIe nvirgule fixe
Lescalculsd'une celluledusecond ordred'unfiltre RIIs ontdonnés parl'équation ci-dessous oùlesa i etb i sontdesconst antes,que l'onsupposeranonentachéesdebrui tetdemodul e H(z)= N(z) D(z) =N(z).H D (z)= M i=0 b iquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] exercice corrigé fonction racine carrée 1ere es
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