LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
2- Le déterminant d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Cours de mathématiques - Exo7
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Matrices déterminants 1. Les matrices
Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Seules les matrices carrées ont des déterminants. Déterminants d'ordre 1 2 et 3. Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Les déterminants et les matrices inversibles Notes de cours chapitre 5 . ... Soit A = (a11) une matrice de type 1 × 1 le déterminant de A est.
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Déterminant
On retrouve ici qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coefficients diagonaux sont non nuls. 2.3 Déterminant d'une famille de
Déterminants
3.2 Propriétés du déterminant grâce aux matrices élémentaires et à Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . 4 PCSI de l'Essouriau 19-20
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
de l'artillerie il rédige un cours de mathématiques à l'usage de la marine et Deux matrices semblables ont même trace
Chapitre 3 - Déterminants - Cours
Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr. CHAPITRE 3. Déterminants. Plan du chapitre. I Déterminant d'une matrice carrée .
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal
confusion entre deux matrices contenant le même nombre d'entrées Par exemple une matrice de dimension 34 possède 3 rangées et 4 colonnes Celle?ci serait distincte d'une matrice 43 qui a 4 rangées et 3 colonnes quoiqu'elle compte également 12 entrées
Déterminant (mathématiques) : définition de Déterminant
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires Dans tout ce qui suit nous considérons des matrices à coef?cients dans un corps commutatif K les principaux exemples étant K = R ou K = C Nous
1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice? - univ-toulousefr
Proposition 1 3 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires Lemme 1 4 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnces onséccutives de ettec matrice sont identiques 2
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice carrée D = dij est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls Une telle matrice est fréquemment notée D =diag(d11d22 dnn) où certains ou tous les scalaires dii peuvent être égaux à zéro Exemples 1 100 030 002 = D 2 40 05 = ? D 3 1000 0000 0020 0005
Exo7 - Cours de mathématiques
1 3 Addition de matrices Dé?nition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Leur somme C = A+B est la matrice de taille n p dé?nie par cij = aij + bij En d’autres termes on somme coef?cients par coef?cients Remarque : on note indifféremment aij où aij pour les coef?cients de la
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Le d´eterminant nous donne une nouvelle m´ethode pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ee La matrice (A ij ) 1?ij?n des cofacteurs est appel´e la comatrice de A not´ee com(A) Si A est une matrice (nn) elle est inversible si et seulement si det(A) 6= 0
Comment définir le déterminant de la matrice?
Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel . Ce dernier est muni d'une base canonique. Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique.
Est-ce que le déterminant d'une matrice est nul?
Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques. La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires.
Quel est le déterminant de la matrice identité?
Il est noté det ( A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence. Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un.
Comment calculer le déterminant de la matrice triangulaire?
où M’ est une matrice triangulaire supérieure d’ordre n-1et où ?11est le premier coef?- cient diagonale de M. La propriété précédente permet d’af?rmer que det(M)=?11M’. Appliquons l’hypothèse de récurrence: le déterminant de M’ est égal au produit des coef?cients diagonaux de M’.
Déterminants
pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de
savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et
la résolution de systèmes linéaires.Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux
exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites
dimensions.1. Déterminant en dimension2et3
1.1. Matrice22
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre
diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+1.2. Matrice33
SoitA2M3(K)une matrice 33 :
A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
AVoici la formule pour le déterminant :
DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la
direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon
la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAa
11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAExemple 1.
Calculons le déterminant de la matriceA=0
@2 1 0 11 33 2 11
APar la règle de Sarrus :
detA=2(1)1+133+0123(1)0232111=6.21021
11311321320
BBBBBB@1
CCCCCCA
Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes
qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.1.3. Interprétation géométrique du déterminant
On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.
Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v
1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :A=det(v1,v2)=deta b
c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v
3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
det(v1,v2,v3) =det0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.
Démonstration.
Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas ona affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0
0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ jSi les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement
que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors
v02=v2ba
v1est un vecteur vertical :v02=0
dba cL"opération de remplacerv2parv0
2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle
vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v02) =deta0
b dba c =adbc=det(v1,v2).On pose alorsv0
1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0
1ne change ni
l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v02) =deta0
0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà
acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.P ourA=1 2
5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.Mêmes questions pour A=a b
c d etB=a00 c 0d0 3.Mêmes questions pour A=0
@2 0 1 21 23 1 01
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