LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
2- Le déterminant d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Cours de mathématiques - Exo7
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Matrices déterminants 1. Les matrices
Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Seules les matrices carrées ont des déterminants. Déterminants d'ordre 1 2 et 3. Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Les déterminants et les matrices inversibles Notes de cours chapitre 5 . ... Soit A = (a11) une matrice de type 1 × 1 le déterminant de A est.
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Déterminant
On retrouve ici qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coefficients diagonaux sont non nuls. 2.3 Déterminant d'une famille de
Déterminants
3.2 Propriétés du déterminant grâce aux matrices élémentaires et à Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . 4 PCSI de l'Essouriau 19-20
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
de l'artillerie il rédige un cours de mathématiques à l'usage de la marine et Deux matrices semblables ont même trace
Chapitre 3 - Déterminants - Cours
Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr. CHAPITRE 3. Déterminants. Plan du chapitre. I Déterminant d'une matrice carrée .
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal
confusion entre deux matrices contenant le même nombre d'entrées Par exemple une matrice de dimension 34 possède 3 rangées et 4 colonnes Celle?ci serait distincte d'une matrice 43 qui a 4 rangées et 3 colonnes quoiqu'elle compte également 12 entrées
Déterminant (mathématiques) : définition de Déterminant
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires Dans tout ce qui suit nous considérons des matrices à coef?cients dans un corps commutatif K les principaux exemples étant K = R ou K = C Nous
1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice? - univ-toulousefr
Proposition 1 3 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires Lemme 1 4 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnces onséccutives de ettec matrice sont identiques 2
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice carrée D = dij est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls Une telle matrice est fréquemment notée D =diag(d11d22 dnn) où certains ou tous les scalaires dii peuvent être égaux à zéro Exemples 1 100 030 002 = D 2 40 05 = ? D 3 1000 0000 0020 0005
Exo7 - Cours de mathématiques
1 3 Addition de matrices Dé?nition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Leur somme C = A+B est la matrice de taille n p dé?nie par cij = aij + bij En d’autres termes on somme coef?cients par coef?cients Remarque : on note indifféremment aij où aij pour les coef?cients de la
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Le d´eterminant nous donne une nouvelle m´ethode pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ee La matrice (A ij ) 1?ij?n des cofacteurs est appel´e la comatrice de A not´ee com(A) Si A est une matrice (nn) elle est inversible si et seulement si det(A) 6= 0
Comment définir le déterminant de la matrice?
Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel . Ce dernier est muni d'une base canonique. Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique.
Est-ce que le déterminant d'une matrice est nul?
Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques. La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires.
Quel est le déterminant de la matrice identité?
Il est noté det ( A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence. Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un.
Comment calculer le déterminant de la matrice triangulaire?
où M’ est une matrice triangulaire supérieure d’ordre n-1et où ?11est le premier coef?- cient diagonale de M. La propriété précédente permet d’af?rmer que det(M)=?11M’. Appliquons l’hypothèse de récurrence: le déterminant de M’ est égal au produit des coef?cients diagonaux de M’.
DeterminantChapitre 23
1 Determinant d'une matrice carree 3
2 Proprietes du determinant 6
2.1 Operations elementaires . . . . . . . . . . . .
62.2 Inversibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82.3 Determinant d'une famille de vecteurs . . . .
92.4 Determinant d'un produit . . . . . . . . . . .
102.5 Determinant de la transposee . . . . . . . . .
112.6 Developpement par rapport a une ligne ou
une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Determinant d'un endomorphisme 13
4 Autres applications des determinants 14
4.1 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . .
144.2Equation des hyperplans vectoriels . . . . . .15
Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.frPCSI5Lycee Saint Louis
Introduction
On se place dansR2muni de sa base canonique que l'on note (~i;~j). Soit~u;~vdeux vecteurs deR2, etP~u;~vle parallelogramme porte par les vecteurs~uet~v: P ~u;~v=f~u+~vj;2[0;1]g On noteA(P~u;~v) l'aire algebrique deP~u;~vc'est a dire que l'aire deP~u;~vest comptee : ?positivement si une mesure de l'angle (~u;~v) appartient a [0;]. ?negativement si une mesure de l'angle (~u;~v) appartient a ];0[.~u 1~u 2~ i~ jSoit~u1; ~u2; ~v1; ~v22R2. Soit2R. On a les proprietes suivantes : (1)A(P~u1+~u2;~v1) =A(P~u1;~v1) +A(P~u2;~v1) (2)A(P ~u1;~v1) =A(P~u1;~v1) (3)A(P~v1; ~u1) =A(P~u1;~v1)(4)A(P~u1; ~u1) = 0 (5)A(P~i;~j) = 1.Propriete 1Preuve.
(1)~ i~ j~u 1~u 2~u3(2)~u
1~u 2~ i~ jCorollaire.
(6)A(P~u1;~v1) =A(P~u1;~v1)(7) A(P~u1;~v1+~v2) =A(P~u1;~v1) +A(P~u1;~v2)Generalisons ceci en dimension nie quelconque.
2PCSI5Lycee Saint Louis
1 Determinant d'une matrice carree
Dans tout le chapitreKdesigneraRouC, etnsera un entier naturel superieur ou egal a 2. Dans toute cette section, on identiera la matriceA2 Mn(K) avec len-uplet de ses colonnes (C1(A);:::;Cn(A))2 Mn;1(K)n. En particulier, pourf:Mn(K)!Kune application etA2 Mn(K), on notera indieremmentf(A) ouf(C1(A);:::;Cn(A)) la valeur prise parfenA. Denition.Soitf:Mn(K)!Kune application. On dit que : ?festmultilineairesifest lineaire par rapport a chaque colonne des matrices deMn(K) : pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour toutj2[j1;nj],X7!f(C1;:::;Cj1;X;Cj+1;:::;Cn)
est lineaire deMn;1(K) dansK. ?festantisymetriquesi pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour tout 1i < jn, f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn): ?festalterneesi pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour tout 1i < jn, C i=Cj)f(C1;:::;Cn) = 0:Exemple.L'applicationf:M2;1(R)2!Ra
c ;b d7! A(P(a;c);(b;d))est multilineaire (bilineaire), anti-
symetrique et alternee.Soitf:Mn(K)!Kune application multilineaire. On a l'equivalence suivante : fest antisymetrique,fest alternee:Propriete 2Preuve.
)SoientC1;:::;Cn2 Mn;1(K). Supposons queCi=Cjpour 1i < jn, alors : f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn): Donc 2f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) = 0 etf(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) = 0. (Supposons quefest alternee. ConsideronsC1;:::;Cn2 Mn;1(K) et 1i < jn. On a :0 =f(C1;:::;Ci+Cj;:::;Ci+Cj;:::Cn)
=f(C1;:::;Ci;:::;Ci+Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci+Cj;:::Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Ci;:::Cn) +f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Cj;:::Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::Cn) Ainsi, on a bienf(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn). 3PCSI5Lycee Saint Louis
Il existe une unique applicationf:Mn(K)!Ksatisfaisant les proprietes suivantes : ?festmultilineaire; ?festantisymetrique(et donc alternee egalement) ; ?f(In) = 1.Propriete 3Denition.
Cette application est appeleedeterminantet notee det. SiA2 Mn(K), alors det(A)2Kest appele le determinant de la matriceA.Notation.SiA=0 B BB@a1;1a1;2::: a1;n
a2;1a2;2::: a2;n.........
a n;1an;2::: an;n1 CCCA, on note det(A) =
a1;1a1;2::: a1;n
a2;1a2;2::: a2;n.........
a n;1an;2::: an;n Preuve pourn= 2.On raisonne par analyse-synthese : ?Analyse. Supposons qu'une telle applicationf:M2(K)!Kexiste, et soitA=a b c d 2 M2(K). Notonse1=1
0 ;e 2=0 1 2 M2;1(K). On a :
f(A) =f((ae1+ce2);be1+de2) =abf(e1;e1) +adf(e1;e2) +cbf(e2;e1) +cdf(e2;e2) = (adbc)f(I2) =adbc ?Synthese. On verie sans diculte quef:M2(K)!K;a b c d7!adbcest bien une
application multilineaire, antisymetrique et telle quef(I2) = 1.SoitA=a b
c d 2 M2(K). On a :
det(A) =adbc:Propriete 4 Exercice.Determiner l'expression explicite de det pourn= 3. ?Analyse. Supposons avoirfqui convient. SoitA=0 @x 1y1z1 x 2y2z2 x3y3z31
A . Par linearite par rapport 4PCSI5Lycee Saint Louis
a chaque colonne, on a : f(A) =x1f0 @1y1z1 0y2z20y3z31
A +x2f0 @0y1z1 1y2z20y3z31
A +x3f0 @0y1z1 0y2z21y3z31
A =x1y1f0 @1 1z1 0 0z20 0z31
A +x1y2f0 @1 0z1 0 1z20 0z31
A +x1y3f0 @1 0z1 0 0z20 1z31
A +x2y1f0 @0 1z1 1 0z20 0z31
A +x2y2f0 @0 0z1 1 1z20 0z31
A +x2y3f0 @0 0z1 1 0z20 1z31
A +x3y1f0 @0 1z1 0 0z21 0z31
A +x3y2f0 @0 0z1 0 1z21 0z31
A +x3y3f0 @0 0z1 0 0z21 1z31
A =x1y2z3f0 @1 0 0 0 1 00 0 11
A +x1y3z2f0 @1 0 0 0 0 10 1 01
A +x2y1z3f0 @0 1 0 1 0 00 0 11
A +x2y3z1f0 @0 0 1 1 0 00 1 01
A +x3y1z2f0 @0 1 0 0 0 11 0 01
A +x3y2z1f0 @0 0 1 0 1 01 0 01
A = (x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+x3y1z2x3y2z1)f(I3) =x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+x3y1z2x3y2z1 donc on a unicite. ?Synthese. Posonsf:M3(K)!K,0 @x 1y1z1 x 2y2z2 x3y3z31
A7!x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+
x3y1z2x3y2z1. On verie ensuite quefest lineaire et antisymetrique par rapport aux colonnes,
et quef(I3) = 1 donc on a existence. Remarque.Pourn2 quelconque, on a l'expression explicite suivante du determinant d'une matriceA= (ai;j)2 Mn(K).
det(A) =X2Sn"()a(1);1a(2);2:::a(n);n;
ou la somme est prise sur l'ensemble des bijections (permutations) def1;:::;ngdans lui-m^eme, et ou "est ce qu'on appelle la signature de. Cette formule n'est pas a savoir (hors programme), mais il est interessant de retenir que det(A) est une fonction polynomiale en les coecients de la matriceA. Un determinant est ainsi continu, de classeCk... si les coecients le sont.Remarque.
?Consideronsf:M2(R)!R
A=a b c d7! A(P(a;c);(b;d)). On a vu quefest multilineaire (par
rapport a chacune de ses colonnes), antisymetrique. De plusfverief(In) = 1. Par unicite, on a doncf= det. Ainsi en notant~u= (a;c);~v= (b;d)2R2, on en deduit que det(A) est l'aire algebrique du parallelogramme construit sur les vecteurs~u,~v: det(A) =A(P~u;~v). ?DansR3: soit~u= (a1;a2;a3);~v= (b1;b2;b3) et~w= (c1;c2;c3)2R3. On peut montrer quedet0 @0 @a 1b1c1 a 2b2c2 a3b3c31
A1 A est le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs~u;~vet~w. 5PCSI5Lycee Saint Louis
Donnons les premieres proprietes sur le determinant d'une matrice.SoitA2 Mn(K) une matrice carre. (1)Si une colonn ede Aest nulle, alors det(A) = 0.
(2) Si deux colon nesde Asont egales, alors det(A) = 0. (3) P ourtout 2K, det(A) =ndet(A) (Attention a ne pas se tromper ici !)Propriete 5 Preuve.Les points (1) et (3) decoulent immediatement de la multilinearite, le point (2) decoule de det alternee.2 Proprietes du determinant
2.1 Operations elementaires
Rappel. Matrices d'operations elementaires.
Pour 1i;jnet2K, on a deni les matrices d'operations elementaires suivantes : ?matrice de dilatation (6= 0) :Di() =0 BBBBBB@1
11 CCCCCCA2 M
n(K). ?matrice de transposition :Pi;j=0 BBBBBB@1
1 1 11 CCCCCCA2 M
n(K). ?matrice de transvection :Ti;j() =0 BBBBBB@1
1 11 CCCCCCA2 M
n(K).Soit 1i;jn,2KetA2 Mn(K). On a : (1)det(ADi()) =det(A) (6= 0) ; (2) det( APi;j) =det(A) ; (3) det( ATi;j()) = det(A).Propriete 6Preuve.
6PCSI5Lycee Saint Louis
(1)ADi() est la matrice obtenue en appliquantCi CiaA. Par multilinearite de det, on a bien det(ADi()) =det(A). (2)APi;jest la matrice obtenue en appliquantCi$CjaA. Par antisymetrie de det, on a bien det(APi;j) =det(A) (3)ATi;j() est la matrice obtenue en appliquantCj Cj+CiaA. Par multilinearite de det qui est alternee, on a bien det(ATi;j()) = det(A).Remarque.PourA=In, on obtient :
det(Di()) =; det(Pi;j) =1 ; det(Ti;j()) = 1: En particulier siEest une matrice d'operation elementaire, alors det(E)6= 0 et pour toute matriceA2 Mn(K), det(AE) = det(A)det(E).SoitT= (ti;j)2 Mn(K) une matrice triangulaire (superieure ou inferieure) ou diagonale.
Alors :
det(T) =t1;1t2;2:::tn;n:Propriete 7(Determinant d'une matrice triangulaire)Preuve.Traitons le cas ouTest triangulaire superieure (la preuve est la m^eme siTest triangulaire
inferieure). La preuve consiste a appliquer l'algorithme de Gauss sur les colonnes deT.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] matrice deisenhower excel
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